Ребята снова загалдели. Сева приложил палец к губам:
- Эй, вы, потише! А не то сюда весь дом сбежится...
Когда все немного успокоились, Олег предложил для вычисления однозначной суммы цифр еще более короткий способ, чем мой. Он просто-напросто вычеркивал в числе цифры, которые в сумме давали 9. Для этого он воспользовался моим же примером: 187254683. Сначала он вычеркнул 1 и 8, затем 7 и 2, далее 5 и 4, наконец, 6 и 3. Осталась одна цифра - 8!
И снова шум, гам, крики "ура!"...
- Но самое замечательное, - сказал я, когда активисты наконец усовестились, - что с помощью однозначной суммы цифр можно проверять правильность, а лучше сказать - неправильность некоторых вычислений. Вот, например, сложим числа 138 и 244. Сумма их равна 382. Допустим, мы ошиблись и получили в сумме 381. Произведем проверку. Однозначная сумма цифр числа 138 равна 3, а числа 244 - 1. Сумма этих сумм: 1+3=4. Но так как однозначная сумма цифр числа 381 равна 3, значит, сразу видно, что допущена ошибка. А вот однозначная сумма цифр числа 382 как раз и есть 4. Точно так же можно проверить правильность ответа при умножении и при возведении в степень.
Нулик потребовал немедленных доказательств, но из-за позднего времени мы их отложили и перешли ко второму вопросу.
К счастью, на него ушло гораздо меньше времени, несмотря на то что активисты галдели по-прежнему.
Улучив удобный момент, Сева изловчился и довел до сведения малопочтенного собрания, как летели утки после выстрела барона Мюнхгаузена.
- Вначале, как вы помните, они летели вереницей, по порядку номеров: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Но, услышав выстрел, мигом перестроились и образовали в воздухе острый угол. При этом ясно, что одну сторону угла составляли утки с четными номерами - 2, 4, 6, 8... а другую сторону - с нечетными: 1, 3, 5, 7, 9... И конечно же, на бечевке оказались утки нечетные. Потому что, когда барон складывал номера этих уток подряд, у него вслед за единицей оказалось число 4 (1+3=4), далее 1+3+5=9, затем 1+3+5+7=16... Таким образом, в сумме у него все время получались квадраты количества отсчитываемых уток: 1=1^2, 4=2^2, 9=3^2, 16=4^2 и так далее.
- До-ка-за-тель-ства! До-ка-за-тель-ства! - скандировали активисты.
- Обратите внимание, - успокоил их Олег, - любое нечетное число можно получить, умножив его порядковый номер на два и вычтя затем единицу. Например, 7 - четвертое по порядку нечетное число. Умножим 4 на 2 и вычтем 1 - получим: 4*2-1=7. Обобщая это правило, можно сказать, что всякое "иксовое" нечетное число равно (2x-1). А теперь сложим икс последовательных нечетных чисел, начиная с единицы. По правилу арифметической прогрессии надо сложить первый и последний члены, умножить сумму на число всех членов и разделить на два. Итак, обозначив сумму икс членов латинской буквой S, найдем, что
1+(2x-1)
S = - - - x = x^2.
2
- Что и требовалось доказать, - закончил Олег под дружный вздох удовлетворения.
Переждав очередной взрыв активистских эмоций, Таня быстро и толково разобралась в другой закономерности утиных номеров. Она обратила внимание присутствующих на то, что если брать по порядку сперва число 1, затем сумму двух последующих нечетных чисел: 3+5, далее сумму трех последующих нечетных чисел: 7+9+11, затем - сумму четырех и так далее, то при этом как раз получается та любопытная зависимость, которую подметила Единичка. Эти суммы представляют из себя кубы последовательных целых чисел:
1 = 1^3
3+5 = 2^3 = 8
7+9+11 = 3^3 = 27
13+15+17+19 = 4^3 = 64 и так далее.
- Точно подмечено, - сказал Олег. - Но из этого вытекает еще одна любопытная штука. Попробуем сложить правые и левые части Таниных равенств:
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 1^3+2^3+3^3+4^3.
- Но ведь только что, - продолжал Олег, - Сева доказал, что левая часть этой суммы должна быть полным квадратом. А так как слева написано 10 последовательных нечетных чисел, то очевидно, что 10^2=1^3+2^3+3^3+4^3. Но это еще не все. Ведь 10=1+2+3+4, не так ли? Следовательно, получается вот что:
(1+2+3+4)^2 = 1^3+2^3+3^3+4^3.
- Это что же, справедливо только для четырех чисел? - спросил взлохмаченный активист.
- А мы сейчас проверим, - вступил в свои права президент.
Оказалось, что правило пригодно и для двух, и для трех, и для пяти, и шести, и семи чисел...
- А теперь - перерыв! - решительно объявил Нулик.
- Перерыв! Перерыв! - загалдели активисты. И все, с удовольствием покинув тесную комнату, повалили во двор - поразмяться. Энергичнее всех "разминался" Пончик, - его, бедного, так стиснули на заседании, что он и дышать-то не мог, не то что двинуться!
После разминки выяснилось, что половина актива, уподобившись только что выпавшему снежку, растаяла. Зато другая половина честно вернулась на заседание и не прогадала: обсуждался волшебный полет Магистра в лифте имени Альберта Эйнштейна.
Слово по этому вопросу единогласно предоставили мне.
- Вы, конечно, не забыли, - начал я, - что лифт унес наших путешественников очень далеко от Земли, так далеко, что рядом не оказалось никакого небесного тела, а значит, и поля тяготения. А раз так, естественно, что все находящееся в кабине лифта, в том числе Магистр с Единичкой, потеряло вес и повисло в воздухе. Свободно плавал в воздухе карандаш. Перестал раскачиваться маятник... Но вот наступил момент, когда все пришло в движение: маятник снова закачался, а люди и вещи попадали на пол, то есть стали вести себя так, как вели бы себя на земле. (Нет-нет, Нулик, оставь вазу в покое. На сей раз мы обойдемся без твоих экспериментов.) Итак, что же произошло в кабине?
- Кабина вновь очутилась в поле земного притяжения, - предположил Сева.
- Возможно, - уклончиво ответил я. - Именно так и полагал Магистр. Но Магистр - человек трезвый, а мы с вами фантазеры. Почему бы нам не предположить, что кто-то, какое-то фантастическое существо потянуло лифт вверх? И не как-нибудь, а именно с тем самым ускорением, с которым все предметы свободно падают на землю. Попробуй тут угадай, что же произошло на самом деле? Ведь в этом случае поле земного тяготения и равномерно ускоренное движение проявляются одинаково. Они равновозможны, или, как говорят, эквивалентны. Именно в этом и состоит знаменитый принцип эквивалентности, высказанный Эйнштейном в его общей теории относительности. Из этого принципа вытекают многие неожиданные выводы, но... говорить о них нам (я великодушно сделал ударение на слове "нам"), пожалуй, рановато. Всякому овощу свое время!
- Ну вот, - недовольно пробурчал президент, - всегда так...
- Ничего не поделаешь, старина, - утешал его Сева. - Хватит с нас и того, что мы наконец поняли, почему лифт назван именем Эйнштейна. Так что перейдем к следующему приключению Магистра.
Но из Севиного благого намерения ничего не вышло: президент срочно вспомнил, что в Арабелле, в доме на Восьмой улице, тоже имеется лифт и неплохо бы в нем прокатиться. Сунув под мышку Пончика, он удалился, а заседание... Заседание, сами понимаете, закрылось.
ПУТЕВЫЕ ЗАМЕТКИ РАССЕЯННОГО МАГИСТРА
У подножия Парнаса
Ну-с, хотя голова моя еще побаливает после ушиба, я все же продолжу свои заметки. Конец их вы уже знаете, начало - тоже. Так что остается середина.
Итак, мы с Единичкой очутились у подножия горы Парнас, стало быть в Греции, к тому же - в Древней Греции, в VII веке до нашей эры.
Люблю путешествовать во времени, особенно назад, - всегда увидишь что-нибудь новенькое! К сожалению, на этот раз ни спортивных, ни поэтических соревнований мы не застали: они тут проводятся раз в четыре года. Зато мы побывали в Дельфах и видели великолепный храм Аполлона, где находится знаменитый дельфийский оракул.
Говорят, время от времени оракул начинает вещать человеческим голосом и предсказывать будущее. Единичка над этими слухами только смеется: это, мол, все мифы - значит, выдумки. Какая-нибудь там пифия спряталась за ширму и болтает, что ей вздумается... Признаться, и я полагаю так же, но зачем говорить об этом вслух и обижать местных жителей?! Никогда не надо показывать, что ты умнее других. Я, например, никогда так не делаю.
И все же оракул меня разочаровал. Представьте себе самый обыкновенный куб, вернее, кубище без окон и дверей. Здесь жители Дельф... как их там... да, дельфины, чтобы умаслить своих богов, приносят им жертвы: режут быков, овец и прочую живность. Жертвы эти называются... дай бог памяти... кажется, катакомбами. Ну и кровожадны греческие боги! А дельфины тоже хороши: я бы на их месте ни за что никаких богов слушаться не стал.
Только я так подумал, как откуда-то послышался низкий голос:
- Больно вы прытки. Попробуйте-ка не послушаться богов! Они вам такое покажут... Мне они, например, велели построить вместо этого куба новый, да такой, чтобы он тютелька в тютельку был вдвое больше старого. А как это сделать, ума не приложу.
"Уж не пифия ли это говорит? - подумал я. - А может, и сам оракул?"
Но, слава бывшим богам, из-за куба выглянул самый обыкновенный каменщик. В руках он держал линейку и циркуль. Я спросил:
- Зачем нужно перестраивать куб?