Двойно'е отноше'ние (сложное, или ангармоническое) четырёх точек M1, M2, Мз, M4 на прямой (рис. 1 ), число, обозначаемое символом (M1M2M3M4 ) и равное
При этом отношение M 1 M 3 /M 3 M 2 считается положительным, если направления отрезков M 1 M 3 и M 3 M 2 совпадают, и — отрицательным при различных направлениях. Д. о. зависит от порядка нумерации точек, который может отличаться от порядка следования точек на прямой. Наряду с Д. о. четырёх точек, рассматривается Д. о. четырёх прямых, проходящих через точку О. Это отношение обозначается символом (m 1 m 2 m 3 m 4 ). Оно равно
причём угол (mi mj ) между прямыми mi и mj ) рассматривается со знаком.
Если точки M 1 , M 2 , М з , M 4 лежат на прямых m 1 , m 2 , m 3 , m 4 (рис. 1 ), то
(M 1 M 2 M 3 M 4 ) = (m 1 m 2 m 3 m 4 ),
поэтому, если точки M 1 , M 2 , М з , M 4 и M’ 1 , M 2 ’, М з ’, M 4 ’ получены пересечением одной четвёрки прямых m 1 , m 2 , m 3 , m 4 (рис. 1), то (M 1 ’, M 2 ’, М з ’, M 4 ’) = (M 1 M 2 M 3 M 4 ).
Если же прямые m1 , m2 , m3 , m4 и m1 ’, m2 ’, mз ’, m4 ’ проектируют одну четвёрку точек M1 , M2 , Мз , M4 (рис. 2 ), то (m1 ’ m2 ’ mз ’ m4 ’) = (m1m2m3m4 ).
Д. о. не меняется также и при любых проективных преобразованиях , т. е. является инвариантом таких преобразований, и поэтому Д. о. играют важную роль в проективной геометрии . Особенно важную роль играют четвёрки точек и прямых, для которых Д. о. равно — 1. Такие четвёрки называют гармоническими (см. Гармоническое расположение . ).
Э. Г. Позняк.
Рис. 1 к ст. Двойное отношение.
Рис. 2 к ст. Двойное отношение.