Тэ'та-фу'нкции,целые функции , отношения которых представляют эллиптические функции . Основные четыре Т.-ф. определяются следующими быстро сходящимися рядами:
q1 (z ) = 2q 1/4 sin z — 2q 9/4 sin 3z + 2q 25/4 sin 5z + ...,
q 2 (z ) = 2q 1/4 cos z + 2q 9/4 cos 3z + 2q 25/4 cos 5z + ...,
q 3 (z ) = 1 + 2q cos 2z + 2q 4 cos 4z + 2q 9 cos 6z + ...,
q 4 (z ) = 1 — 2q cos 2z + 2q 4 cos 4z — 2q 9 cos 6z + ..., где |q | < 1. При добавлении p к аргументу z эти функции приобретают соответственно множители —1, —1, 1, 1, a при добавлении pt, где t связано с q соотношением q = e pi t , множители —N, N, N, —N (N = q- 1 e –2 i k ). Отсюда следует, что, например, отношение J1 (z )/J4 (z ) представляет мероморфную функцию , не изменяющуюся при добавлении к аргументу 2p или pt, то есть эллиптическую функцию с периодами 2p и pt. Обобщением указанных Т.-ф., введённых К. Якоби (обозначения Якоби несколько иные), являются Т.-ф., построенные А. Пуанкаре для представления автоморфных функций .
Лит.: Уиттекер Э.-Т., Ватсон Дж.- Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.