Скаля'рное произведе'ние векторов а и b , скаляр , равный произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними; обозначается (а, b ) (или ab ). Например, работа постоянной силы F вдоль прямолинейного пути S равна (F , S ). Свойства С. п.: 1) (а, b ) = (b,а ), 2) (aа , b ) = a(а, b ) (a — скаляр), 3) (a , b + c )= (a, b ) + (а , с ), 4) (a , a ) > 0, если а ¹ 0, и (а , а ) = 0, если а = 0.
Длина вектора а равна . Если (а, b ) = 0, то либо а = 0, либо b = 0, либо a ^ b. Если а = (a1 , a2 , a3 ) и b = (b1 , b2 , b3 ), то (а, b ) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 (в прямоугольных декартовых координатах). Понятие «С. п.» обобщают на n -мерные векторные пространства , где равенство (а, b ) = принимают за определение С. и. и с помощью так определённого С. п. вводят геометрическое понятия длины вектора, угла между векторами и т. д. Бесконечномерное линейное пространство , в котором определено С. п. и выполнена аксиома полноты относительно нормы (см. Полное пространство ), называют гильбертовым пространством . Гильбертовы пространства играют важную роль в функциональном анализе и квантовой механике. Для векторных пространств над полем комплексных чисел условие 1) заменяют условием (а, b ) = и С. п. определяют как .
Векторы а и b можно рассматривать как кватернионы a1 i + a2 j + a3k и b1 i + b2 j + b3 k. Тогда их С. п. равно взятой с обратным знаком скалярной части произведения этих кватернионов (а векторное произведение — векторной части).