Дальше, на той же странице, Гельмгольц пресерьезно рассуждает о "пространстве четырех измерений"; - да, четырех измерений. Это что такое? дело просто:
Напишем букву а; припишем с бока, вверху, маленькую цифру 4; будет что? Будет а4. А это что? - Это: количество или величина а в четвертой степени. Переложим на геометрический язык. Степень на языке геометрии называется "измерение". Что же будет это а4? - Будет "пространство четырех измерений". А если вместо 4 напишем, например, 999, то будет скольких измерений пространство? - Будет "пространство девятисот девяноста девяти измерений". А если вместо 999 запишем 1/10, то будет? - "пространство одной десятой доли одного измерения".- А ведь оно точно: очень, очень недурны "новые системы геометрии".
Но Гельмгольцу воображается, что сочинившаяся у него в голове белиберда о "пространстве двух измерений" и о "пространстве четырех измерений" - нечто имеющее важный смысл. И он рассуждает о "возможности" таких "пространств" совершенно серьезно. Например, на той же 4-й странице:
"Так как никакое чувственное впечатление от такого неслыханного события, как появление четвертого измерения, нам неведомо, так же как неведомо и впечатление от образования нашего третьего измерения гипотетическим существам двух измерений, то представление четвертого измерения для нас столь же недоступно, как недоступно для слепорожденного представление о цветах".
Итак, несуществование четвертого измерения для нас лишь следствие особенного устройства наших чувств! - Это не факт, что пространство имеет три измерения,- это лишь так кажется нам! Это не природа вещей иметь три измерения,- это лишь иллюзия, производимая плохим устройством наших чувств! Мы в этом отношении лишь "слепорожденные"!
Милые мои друзья, возможно ли человеку, находящемуся в здравом рассудке, иметь такую нелепую белиберду в голове? - Пока он не "философствует", невозможно. Но если он, не будучи подготовлен к пониманию и оценке философии Канта, пустится философствовать во вкусе - он полагает Канта, то всякая бессмыслица может образоваться в его голове от возникновения в этой его бедненькой голове комбинации слов, смысл которых не ясен ему. И, не понимая, о чем и что думает он, может он воображать всякую такую бессмыслицу глубокомысленною премудростью.
Вообразим, что какая-нибудь русская деревенская женщина, не знающая по-французски, хочет щегольнуть в качестве великосветской дамы, прекрасно говорящей по-французски. Она ловит на лету кое-какие французские фразы; вслушаться в чуждую ей интонацию она не умеет; да и те звуки, которые удалось расслышать ей, она не умеет порядочно выговорить; - а конструкция фраз вовсе непонятна ей. И что выйдет из ее великосветского французского разговора? - Она окажется дурою, говорящею нечто совершенно идиотское. Но она, быть может, очень умна; лишь один порок в ее уме: глупое желание щегольнуть своею великосветскостью. Только. Но до чего может довести ее эта ее слабость? - Границ глупостям и бедам, которым она может подвергнуться через эту свою фанаберию, нет никаких; но обыкновенно дело не доходит до того, чтобы такие дуры теряли рассудок в медицинском смысле слова, хоть и до этого доходят многие из них. Обыкновенно бедствия таких дур ограничиваются тем, что они попадают в руки плутов и плутовок, бывают обобраны и, обобранные, осмеянные, оплеванные, возвращаются в свою деревенскую глушь.
Мы увидим, что с Гельмгольцем и подобными ему его товарищами по естествознанию, любящими щеголять в качестве философов, происходит то же лишь маленькое, сравнительно говоря,- лишь маленькое бедствие: они не утрачивают рассудка; они лишь попадаются в руки недобросовестных людей. Только.
Возвращаемся к статье этой мужского пола мужички, очень умной деревенской бабы в своей деревне, но - к сожалению - бабы, пустившейся в столицу дивить столичных жителей своей великосветскостью.- Математика.Что, математика! - Кому она интересна, кроме математиков? Это глухая деревня, до которой никому нет дела, кроме ее жителей. Философия - вот это совсем иное. О философах идет говор по всему образованному обществу целого света. Это - столичные люди, вельможи в столице. И что будет, что, если та баба появится на бале столичных вельмож? - Она прославит себя на весь свет своим умом и великосветскими своими знаниями и талантами.
И вот мы видели, эта почтенная, не спорю, напротив, сам говорю: глубоко уважаемая мною за свою хорошую деревенскую деятельность - баба мужского пола, г. Гельмгольц,- предприняла экскурсию в столицу, и мы уже созерцали с восхищением первые подвиги ее на бале в вельможеском салоне Канта. Баба щегольнула в качестве "гипотетического существа двух измерений" и очень занимательно изобличила людей: они не знают пространства четырех измерений лишь потому, что у них недостает физиологического органа для восприятия впечатлений от четвертого измерения.
Почтенная персона приобрела апломб, торжествуя успешность этих своих подвигов. Дальше она очень грациозно объясняет нам, что "разумные существа двух измерений могут жить в разных, совершенно разнохарактерных "пространствах", имеющих по два измерения".
Друзья мои, ведь это буквально так в статье этой деревенской бабы, господина Гельмгольца. Это на 5-й странице его статьи.
Из разных пространств двух измерений - первое "пространство" есть "бесконечная плоскость" (страница 5, строка 8). В этом "пространстве" существуют, как и в нашем, "параллельные линии". Кто открыл, что "плоскости - то есть наша мысль о границе геометрической части пространства, о границе геометрического тела, есть сама уж "пространство",- из статьи Гельмгольца не видно. Кто этот родоначальник "новых систем геометрии"? - Я не знаю. Я предположил, в нашей прошлой беседе, что это - Гаус. Верна ли моя догадка? - не знаю, разумеется. Но я желал бы, для чести математики, чтоб оказалось: я не ошибся в моей догадке. Потому что, иначе - позор распространяется на всех, на всех великих математиков, живших после Лагранжа и Лапласа. Все эти эпигоны, все окажутся виновниками позора, если не виновен в нем лишь один из них, величайший из них, Гаус. Я поговорю о неизбежности этой "рогатой дилеммы": если не один Гаус, то все авторитетные математики, жившие после Лапласа и живущие теперь. Я делал мою догадку о Гаусе лишь для того, чтобы сохранять для себя возможность не винить хоть других. А Гаус уж во всяком случае виноват. То - буду винить лишь его - рассудил я в прошлой нашей беседе. Вдумываясь в дело, я стал видеть после того: едва ли возможно оправдать и других его сотоварищей. Но мы поговорим об этом. А пока возвращаемся к просмотру белиберды Гельмгольца.
Итак, первый сорт "пространства двух измерений" - бесконечная плоскость. Кто сочинил это нелепое сочетание слов, не знаю.- Хочу думать: Гаус.- Так ли? - Для сущности дела все равно.
Второй сорт: "сферическая поверхность". В этом пространстве нет "параллельных линий".- И много у него других оригинальностей, не согласных с "геометриею Эвклида". Все эти оригинальности, впрочем, известны мне: я еще не забыл теорем "Эвклида" о поверхности шара. Они вовсе не те, какие относятся у "Эвклида" к фигурам на плоскости. Начать хоть с того, что, например, треугольник на плоскости вовсе не "сферическая поверхность". Это и все тому подобное не только изложено у "Эвклида", но и памятно до сих пор мне, хоть я забыл почти всего "Эвклида".
Есть еще "яйцеобразная поверхность". И это я знаю. Теорем о ней не знаю. Но все то, что толкует о ней Гельмгольц, вот уже лет сорок знаю,- лет с десяти знаю, с той поры, когда учился "Эвклиду". У "Эвклида" об этой поверхности не говорится. Но все те разницы ее от сферической поверхности, о которых толкует Гельмгольц, известны всякому, знающему теоремы "Эвклида" о поверхности шара.- Точно так же с десятилетнего возраста известно мне и все остальное, о чем толкует техническая, собственно геометрическая часть статьи Гельмгольца: вся эта новооткрытая премудрость известна со времени "Эвклида" всем, хоть немного учившимся "Эвклиду". Новость лишь то, что "новейшие" мудрецы, г. Гельмгольц с компаниею, избитые кулаками Канта, воображают, в расстройстве мыслей от головной боли, эти "поверхности", эти границы геометрических тел, "пространствами". Новость такого же рода, как то, что можно, например, возводить "пару сапогов" в квадрат или куб или извлекать из "пары сапогов" квадратный корень.
"Новейшие создатели" новых "систем" математики, разумеется, не затруднятся задачею возвести "пару сапогов", например, в квадрат. Стоит им написать формулу:
п2 а2
и они тотчас сообразят: "пусть а будет "сапог"; пара сапогов будет 2а: и, возводя 2а в квадрат, они получат
4а2
и прочтут это так: "пара сапогов, возведенная в квадрат, равняется четырем сапогам в квадрате". Но что ж это такое, четыре сапога в квадрате? - Для нас, говорящих по-русски, очевидно, что это такое: четыре сапога в квадрате,- это "сапоги всмятку".- Так легко разрешается по "новой системе математики" задача, совершенно несовместная с человеческим смыслом, по ошибочному мнению людей, держащихся старой, общеизвестной "системы математики".
Вот другая задача, которую так же легко разрешит Гельмгольц с компаниею: "Дано сборище из 64 педантов, одуревших от избытка тщеславия; требуется: извлечь квадратный корень".- Ответ будет: "8 квадратных корней таких педантов".- Так. А кубический корень? - Ответ: "4 кубические корня таких педантов".
Возвращаемся к статье бедняги, сбившегося с толку на щегольстве своим знакомством с философиею Канта.
Яйцеобразное пространство двух измерений неудобно для жизни разумных существ двух измерений: передвигаясь по нем, они растягивались бы и сжимались бы неравномерно, вроде того как мнется передвигаемый по скорлупе яйца кусочек плевы того яйца. Это правильно, я знаю. И точно: какой уж тут был бы "разум" у "существ двух измерений", когда их головы были бы постоянно размяты растягиванием и сжиманием. Но... но... но... если предположить, что эти "разумные существа двух измерений" - устрицы двух измерений? Тогда они сидят, приросши к месту, и неудобства им нет, да и голов-то у них нет. Какое же затруднение для них яйцеобразность их пространства? - Ах, да, впрочем! Устрицы не имеют рук; писать книг не могут поэтому. А для Гельмгольца вся сущность "разумной жизни" - писание книг и статей о математике. Понятно: о "яйцеобразном пространстве двух измерений" не стоит и толковать: разумным существам двух измерений не стоит жить в нем.
Но "сферическое пространство двух измерений" - очень хороший сорт пространства.
Третий прекрасный сорт - "псевдосферическое пространство двух измерений". Его вид? - Поверхность кольца, сделанного из проволоки, согнутой и спаянной концами. Изобретатель этого пространства - известный, по словам Гельмгольца,- известный! - Чем же именно? глупостью? Итальянский математик Бельтрами.- Я надеюсь, эта его глупость была и у него,- как, я надеюсь того же и о Гельмгольце,- лишь мимолетным расстройством мыслей, и известен он не этою своею глупостью, а какими-нибудь дельными работами.- В одном отношении, впрочем, очень прискорбна эта, хоть и мимолетная, глупость! Образумившись, Бельтрами должен был бы отступиться от нее. А он этого, по-видимому, не сделал. Итак: он еще не вполне исцелился. И она продолжает давить, как свинцовая дурацкая шапка, его голову. Да; впасть в глупость легко невежде, одолеваемому тщеславием. Исцелится трудно. Потому-то и непростительна коренная глупость тщеславных невежд: глупость оставаться невеждами, когда им хочется философской славы. Поучились бы;авось, и тщеславие исчезло бы вместе с невежеством. А то лишь стыдят себя и позорят свою специальность своими дикими фантазиями.
"Псевдосферическую поверхность", по словам Гельмгольца, имеют и некоторые другие фигуры, кроме фигуры проволоки, согнутой в кольцо. Он перечисляет эти разные формы псевдосферической поверхности. Все они формы очень элементарные. Были ль даны каждой из них особые формулы до Бельтрами? - Не знаю. Но даже для меня ясно: все эти формулы очень легкие видоизменения формул линий второй степени. Например: поверхность кольца из круглой проволоки имеет своими формулами очень легкие видоизменения формул цилиндрической поверхности прямого цилиндра; то есть формулы поверхности того кольца очень легко и просто выводятся из формул круга. И я полагаю: если у Бельтрами в той его глупости есть какие-нибудь формулы, не находящиеся в трактатах или статьях Эйлера и Лагранжа, то лишь потому не напечатали этих формул Эйлер и Лагранж, что находили не заслуживающими печати, очевидными для всякого порядочного математика короллариями других формул.
Но так ли, или нет,- для сущности дела все равно. Пусть Бельтрами в той своей глупости дал какие-нибудь новые формулы, не совсем маловажные. Все-таки неизмеримо глуп общий характер обеих его работ, на которые ссылается Гельмгольц. Это видно по самым заглавиям их.- "Опыт истолкования не-Эвклидовой геометрии"; и - "Основная теория пространств постоянной кривизны".- Я рад был бы свалить всю вину глупости на Гельмгольца, предположивши, что он вложил сам дикую фантазию свою в работы Бельтрами, имевшие лишь дельную, разумную цель найти формулы для тех поверхностей: кольцеобразной, двуседловидной и бокалообразной. Важны ли, не важны ли эти формулы, новы ли они, или не новы в науке,- было бы все равно: цель работ,дельная; и если автор доискивался решений, уж данных другими, лишь неизвестных ему, это могло бы оказаться лишь случайным его незнанием, и я рад признавать все такие случаи извинительными. Но - нет! - Бельтрами сочинял "не-Эвклидову геометрию",- он сам; не Гельмгольц вложил в его работы эту невежественную фантазию; он сам хвалится: он изобрел новую геометрию. И не Гельмгольц вложил в его работы нелепое перепутывание понятий "линия" и "поверхность" с понятием "пространство"; нет, он сам говорит о "кривых пространствах"; - о, урод!
Гельмгольц нашел, впрочем, что Бельтрами имел предшественника. Этот предтеча сочинителя "кривых пространств", бывший профессором в Казани, некто Лобачевский 1. Еще в 1829 г., говорит Гельмгольц, "была составлена Лобачевским система геометрии", которая "исключала аксиому параллельных линий;- и тогда еще было вполне доказано, что эта система столь же состоятельна, как и Эвклидова". И система Лобачевского "вполне согласуется" с новою геометриею Бельтрами...
Что такое "геометрия без аксиомы параллельных линий"? - Ребятишки забавляются тем, что прыгают на одной ноге. Быстро продвигаться вперед этим способом они, разумеется, не могут; и передвинуться далеко,- например, версты на две - не могут. Но при усердии все-таки не очень медленно передвигаются на расстояния, не вовсе ничтожные: иной, прыгая, не отстает от человека, идущего тихо; и провожает его целую четверть версты. Это очень трудный подвиг. И достойный всякой похвалы. Но лишь когда это - шалость ребенка. А если взрослый человек,- и не для шалости, а серьезно, по своим серьезным делам, пустится путешествовать, прыгая на одной ноге, это будет путешествие не вполне безуспешное,- нет! - только совершенно дурацкое.
Можно ли писать по-русски без глаголов? - Можно. Для шутки пишут так. И это бывает, иной раз, довольно забавною шалостью. Но вы знаете стихотворение:
Шелест, робкое дыханье,
Трели соловья 2,
только и помнится мне из целой пьесы. Она вся составлена, как эти два стиха, без глаголов. Автор ее - некто Фет, бывший в свое время известным поэтом. И есть у него пьесы, очень миленькие. Только все они такого содержания, что их могла бы написать лошадь, если б выучилась писать стихи - везде речь идет лишь о впечатлениях и желаниях, существующих и у лошадей, как у человека. Я знавал Фета. Он положительный идиот: идиот, каких мало на свете. Но с поэтическим талантом. И ту пьеску без глаголов он написал, как вещь серьезную. Пока помнили Фета, все знали эту дивную пьесу, и когда кто начинал декламировать ее, все, хоть и знали ее наизусть сами, принимались хохотать до боли в боках: так умна она, что эффект ее вечно оставался, будто новость, поразителен.
Вы знаете, необходимейшая из согласных на французском, итальянском или испанском языках буква L; - она входит в состав "члена",- того местоимения, без которого мудрено сказать десять слов кряду. И что ж? - во времена щегольства побеждением лингвистических законов были писаны во множестве на этих языках, стихотворные вещицы без буквы L. На испанском языке есть даже целая эпическая поэма, целая огромная книжища, без буквы L. Имя глупца, автора ее, уж забыл 3. Можете, если хотите, справиться в каком-нибудь трактате об испанской поэзии "времен упадка вкуса" в XVII столетии.
Мало ли каких фокус-покусов может выделывать желающий выделывать фокус-покусы? Для шутки в часы отдыха это, пожалуй, не глупая забава. Но кто фокусничает не для забавы, а серьезно усердствует сочинять ребусы, шарады, каламбуры, воображая "пересоздать" науку этими дурачествами, тот занимается дурацким трудом, и если не родился,- то добровольно становится глупцом.
----
Продолжать ли разбор глупости Гельмгольца? - "Довольно",- давно думаете, вероятно, вы.- Нет, мои милые дети,- по-моему, следовало бы продолжать. Я люблю доводить все до прозрачнейшей ясности, и не знаю сам, не хочу замечать в других утомления длиннотою моих разъяснений. Но пора кончать, потому что через несколько часов будет пора отдавать письмо на почту; и я оставляю без разбора все дальнейшие подробности белиберды Гельмгольца. Перехожу к восстановлению математической истины, изуродованной этою белибердою.
В чем реальный смысл формул, дурацки примененных Гельмгольцем с компаниею к понятию "пространство"? - Это формулы "о пути луча света".
В нашем непосредственном соседстве,- на расстоянии нескольких метров от наших глаз, путь луча света, при обыкновенных условиях прозрачности и температуры атмосферы - прямая линия. Если мы берем пук лучей, он, расходясь по прямым линиям, образует простой конус, прямой конус, конус "Эвклида",- единственный конус, формулу которого я знаю. Правильно ли я называю этот конус элементарной геометрии? - Все равно; дело не в том, знаток ли я математики; я не знаю и не хочу знать ее. Мне некогда узнавать ее. И никогда у меня не было досуга на то. Дело лишь о том, чтобы вам были понятны мои мысли. Я говорю о том конусе, который для удобства нашего анализа мы рассматриваем как геометрическое тело, производимое вращением прямолинейного, плоского прямоугольного треугольника около одного из катетов; этот катет будет "ось", другой катет даст базис конуса; гипотенуза даст поверхность конуса. Правильны ли мои выражения? - Плевать я хочу на то. У меня дело не о словах. Я хочу лишь, чтобы вы видели, о каком конусе я говорю.
Этот конус, конус Эвклида, конус пука лучей света в нашем непосредственном соседстве. Вот об этих-то прямолинейных лучах света верны формулы, глупейшим образом превращенные нелепостью фантазии - чьей? - не знаю; хочу думать: фантазии Гауса,- в формулы "гомалоидного пространства трех измерений",- или "Эвклидова пространства". Кто сочинил термин "гомалоидное пространство"? - По-видимому, только уж сам Бельтрами, сочинитель "кривых пространств", а не Гаус. Но все равно во всех нелепостях ничтожного ученика виноват великий учитель. Все эти разные "пространства" повытасканы из исследования Гауса "о мере кривизны поверхностей". Я полагаю, что эта работа 4 Гауса - работа дельная и очень важная. Так ли, не знаю. Но думаю: так. И готов превозносить за него Гауса. Но, очевидно, что Гаус был сбит с толку философиею Канта и, когда пускался философствовать, завирался. И - в исследовании ли "о мере кривизны" или в каком другом своем труде он зафилософствовался, по Канту, о "формах нашего чувственного восприятия", о предмете вовсе чуждом его специальности. И, зафилософствовавшись, сбился; ему вообразилось, что Кант отчасти прав, отчасти не прав в своей "теории чувственного восприятия". И он принялся поправлять Канта, оставаясь в сущности,- он, простодушная, невежественная деревенщина по этому "диалектическому", а вовсе не математическому вопросу,- по вопросу о достоверности наших чувственных восприятий,одурачен Кантом. Ему ли, неотесанному мужику из глухой деревни, бороться с Кантом? - Он даже не понял Канта; и, опровергая его, повторил его мысли в изуродованном виде. Об этом после. Довольно пока того, что у Канта нет таких мужицких несуразностей невежественной деревенской нескладной речи, как "пространство двух измерений" или "четырех измерений".- Сам ли Гаус сочинил эти глупости? - Или только наболтал такой чепухи, что Гельмгольц, Бельтрами и компания нашли в этой чепухе материал для своих собственных глупостей,- это по отношению к сущности дела все равно.
Но для чести математики было бы лучше, если бы эти глупости оказались высказанными у самого Гауса. Тогда,- тогда,- я не винил бы других авторитетных математиков, что они или повторяют Гауса, или молчат, не хохочут, читая нелепости Гельмгольца, Бельтрами, Римана, Либмана и компании, цитируемых Гельмгольцем в качестве его сподвижников. Сила гения Гауса - сила гиганта,- сравнительно со всеми, жившими после Лапласа и нынешними математиками. Пигмеи охвачены руками гиганта,- чего требовать от них, Гельмгольца с компаниею? - Как винить их? - Дрыгают ручонками и ножонками и пищат, как велит гигант. А остальные пигмеи,- масса "великих",великих! - Но пусть они "великие",- масса остальных великих математиков,эти посторонние, эти зрители, пигмеи - трепещут, и недоумевают, и дивятся, и молчат; - как винить и их?
Так судил бы о них я,- если виноват, собственно, Гаус: не презирал бы я их, а лишь сожалел бы о них. Они были бы, собственно говоря, невинные жертвы Гауса.
Но едва ли так. Вникая в тон статьи Гельмгольца, я нахожу себя принужденным полагать: правда, непосредственным образом, именно из Гауса почерпнули свою белиберду Гельмгольц, Бельтрами и компания. Но те дикие фантазии Гауса во вкусе Канта - это, по-видимому, общие фантазии всех авторитетных математиков нашего времени. Все они возводят сапоги в квадрат, извлекают кубические корни из голенищ и из ваксы, потому все совершенно благосклонны к пространствам и двух, и четырех, и миллион четырех измерений, к пространствам и треугольным, и яйцеобразным, и табакообразным, и шоколадообразным, и чаеобразным, и дубообразным, и дубинообразным, и болванообразным,- словом, ко всему дурацки-бессмысленному.
Это горько писать. Но тон статьи Гельмгольца ведет к такому предположению.
Отчего положение дел в математике таково, что приводит меня к такому предположению,- хочу надеяться, все-таки ошибочному? - Вы видите, я все еще только добираюсь до изложения первой причины тому, до зависимости естествознания вообще, и, в частности, математики, от доктрин идеалистической философии и главным образом от системы Канта. Мы доберемся до этого. Но прежде покончим со статьею жалкого бедняжки Гельмгольца, раскрывшею передо мною позор несчастной, осиротевшей по кончине великого старика Лапласа, бедной, преданной на поругание людям средневекового мрака,- несчастной обесчещенной математики.
К чему писал простофиля-деревенщина, баба-мужичка мужского пола, великий - знаю - натуралист и великий - охотно верю - математик Гельмгольц свою злополучную статью?
Прежде чем цитировать идиотски-самохвальный финал ее, припомним реальную истину, искаженную философскою белибердою его диких фантазий.
Луч света идет в непосредственном соседстве наших глаз, положим на пространстве нескольких метров - при обыкновенном состоянии атмосферы, по прямой линии. Пук лучей света в этом случае - прямой конус. Те чудаки начинают свои фантазии, сознательно ли, или, по-видимому, вовсе бессознательно,- с мыслей, относящихся к этому факту; с мыслей правильных. Но Кант выбил из их бедных голов научную истину: "три измерения - это качество вещества, это сама природа вещей". Они хотят щеголять в качестве философов. Они забывают о конусе лучей света; раздумывают лишь о базисе этого конуса; базис этот - поверхность, произошедшая от вращения одного из катетов, то есть от вращения прямой линии; то есть это: плоскость. Они расширяют эту плоскость "до бесконечности" и - воображают, что они изобрели "гомалоидное пространство двух измерений". Как пойдут лучи света по этому "пространству"? - О конусе лучей они уж давно забыли. И решают: лучи пойдут параллельными линиями по этой плоскости. Но и о лучах они забывают; и готовы "формулы аналитического исследования", создающего "геометрию гомалоидного пространства двух измерений".