1) их записи (хранения) в памяти машины Тьюринга,
2) их сравнения друг с другом на предмет установления их равенства-неравенства,
3) их перемножения друг с другом,
4) прибавления к ним единицы.
EEV:
В.Н. Левин, Вы пишите мне, что я не разглядел в термине «набор» первичного понятия МНОЖЕСТВА. Математики при изучении доказательства вообще не должны ничего разглядывать. Если Вы хотите сказать «множество», то и говорите «множество», не заставляя никого ничего «разглядывать». Ну так что где ответ на мое возражение? Заменяете слово «набор» словом «множество»? Или нет?
С. Шилов:
Валентин Николаевич, у меня, с учетом Ваших блестящих конструктивистских интерпретаций принципа конечности простых чисел, которые (интерпретации) сами по себе аксиоматически закладывают тип математики, есть такой полезный вопрос: какова может быть конструктивистская интерпретация (формализация) принципа делимости на ноль как некоторой альтернативы счета (точнее счет является субъективной альтернативой делимости на ноль)? как конструктивистски записать переход (формулу перехода? как интерпретацию формулы Единицы «единица есть множество простых чисел») от 10 к 1 / 0 , вывернуть, так сказать, десятичную систему наизнанку хранящейся в ее «подсознании» истины, о которой она постоянно свидетельствует в десятичных дробях и т.д., но не может использовать собственное свидетельствование?
Следующее. Конечно-конструктивистская машина универсального алгоритма (вспомним дискуссию о троичном коде «ноль единица простое число») может быть основой трансформации того, что Хайдеггер называл «сущностью техники», и того, что он называл одним словом ПОВОРОТ.
Михаил М.:
В.Н. Левин, я искренне пытаюсь понять Вашу точку зрения и Ваши базовые предпосылки. Присоединяюсь к недоумению EEV относительно удовлетворяющих Вас конструктивных способов описания, задания, «получения» множеств. И множества у Вас уже стали непредставимы в виде множеств... Если для Вас недостаточно иметь алгоритм перечисления всех элементов множества, то какие же представления множеств Вам нужны? Как говорят в американских банках какими «биллами» (купюрами) Вы желаете иметь Ваши деньги? Как Вы вообще рассуждаете о каком-то множестве, если для оно для Вас непредставимо? Я, например, так не могу. Мне, чтобы начать исследование конечности, бесконечности, других свойств множества, сначала надо иметь его описание, желательно конструктивное каким-то алгоритмом, хотя не для всех множеств это возможно. Может быть, Вам мешает вот это Ваше утверждение: «Конструктивистская Машина ТьюрингаПоста в качестве исходных аксио, имеет неконструктивистскую аксиому о бесконечном быстродействии процессора, бесконечной длине ленты, на которой записываются исходные, промежуточные данные и результаты расчетов, бесконечном размере памяти для записи (хранения) алгоритма». Должен поправить, скорость работы для машин Тьюринга не оговаривается, может быть и сколь угодно малой. У машин Тьюринга лента является единственным видом памяти, нет особой памяти для хранения алгоритмов, Алгоритм каждой машины Тьюринга намертво «зашит» в ее устройстве и, разумеется, конечен. От ленты требуется не актуальная бесконечность, а возможность наращивать по мере необходимости (потенцальная бесконечность). Т.е. концепция Тьюринга вполне конструктивна с житейской точки зрения конечное устройство работает с конечным устройством памяти (лентой), если памяти не хватает, то приостанавливаемся, наращиваем память, продолжаем вычисления и т.д., либо до завершения вычислений, либо вечно. Вы также пишите: «Более того, истинны утверждения, что для достаточно больших чисел ОТСУТСТВУЮТ способы: 1) их записи (хранения) в памяти машины Тьюринга, 2) их сравнения друг с другом на предмет установления их равенства-неравенства, 3) их перемножения друг с другом; 4) прибавления к ним единицы». Поосторожнее, целые числа определяются индуктивно прибавлением единицы к предыдущему числу. Так у Вас и множество целых чисел окажется конечным какие уж доказательства при таких предпосылках.
Андрей Св.:
Уважаемые господа, разрешите задать вопрос. Для чего человечеству понадобилась машина Тьюринга в традиционном ее понимании (а другого по-моему и быть не может, тогда это не м.Т.) очень даже понятно, и о том, что с её помощью сделано, написано море книг. В том числе как мне представляется, и конструктивная математика (точнее математическая логика) эт. е. её порождение. Так вот мой вопрос: зачем понадобилась «конечная» машина Тьюринга, что это такое, и как она работает?
В. Н. Левин:
EEV, Вы пишите мне: «Вашу исходная фраза «ПРЕДСТАВИТЬ ВСЕ простые числа одним набором НЕЛЬЗЯ!» заменяем на: «Представить все простые числа одним множеством нельзя, или, другими словами: множество простых чисел не составляет одно множество».
Протестую. Ваша связка «другими словами» в корне меняет смысл исходной фразы. Допущения «представим», «допустим», лежат в плоскости Субъекта, являются характеристиками ЕГО состояния. В цитате, которую Вы привели, я утверждал о том, что Евклид сделал вывод, выводящий его за пределы его собственных предположений, я упрекал его за неявное использование ОНТОЛОГИЧЕСКИХ гипотез. Вы Вашей подменой совершаете ту же самую некорректность делаете прыжок из плоскости свойств СУБЪЕКТА в плоскость свойств ОБЪЕКТА, которому в прыжке ПРИПИСЫВАЕТЕ «естественные» свойства, придуманные Вашей подкоркой. Вы также подразумеваете, что «ЛЮБУЮ совокупность объектов можно объявить множеством, ввиду определения понятия МНОЖЕСТВО». Вот это уже ДУДКИ! Кризис в основаниях математики в начале XX в. случился, в частности, из-за того, что корректного определения понятию множества найти не смогли. Пример известный парадокс Рассела: «Возьмём множество W всех таких множеств, которые не являются элементами самих себя. Оно непусто. Например, множество цыплят не цыпленок. Спрашивается, множество W является элементом самого себя или нет? Если НЕТ то его надо включить в W. Если ДА (включили) значит, по определению W его надо из W исключить! ПАРАДОКС!»
Михаил М.:
Андрей Св., уточните вопрос. Вы спрашиваете вообще о машинах Тьюринга, или создалось впечатление, что есть особые, «конечные» в противовес «бесконечным»? На самом деле таких разновидностей нет. По определению, классическая машина Тьюринга это конечный автомат, управляющий головкой, под которой находится лента, разбитая на ячейки. В каждом такте работы автомат может перейти в другое состояние, а головка может записать или стереть символ некоторого алфавита в находящейся под ней ячейке, либо может сдвинуть ленту на одну ячейку вправо или влево. Считать ленту изначально бесконечной, либо надстраиваемой по мере необходимости дело вкуса, на вычисления не влияет. Ничего не изменится также, если считать, что лента конечна, но машина может делать новые ячейки делением крайних ячеек пополам. Зачем придумали такие машины? Так интересно же, что можно вычислять столь простыми агрегатами как выяснилось всё, что может вычислить любое другое устройство. Доказать это конечно нельзя, но, поскольку более «мощных» вычислителей придумать не получается, можно принять за аксиому, что и гласит «тезис Тьюринга».
В.Н. Левин:
Андрей Св., Вы спрашиваете: «Для чего человечеству понадобилась машина Тьюринга в традиционном ее понимании ... очень даже понятно, ...Так вот мой вопрос: зачем понадобилась конечная машина Тьюринга, что это такое, и как она работает».
Уважаемый Андрей! Каждый ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ программист знает, что «конечная машина Тьюринга» т. е. «умозрительный» компьютер определит свойства «вычислимости-невычислимости» функций иначе, чем традиционная машины Тьюринга. К чему может привести теоретизирование, отталкивающееся от «конечной машины» (согласен, это уже не машина Тьюринга) НЕ ЗНАЮ. Тема явно поисковая. Может, кто-нибудь что-то фундаментальное здесь откроет. Как знать заранее?
В добавление если возникнет вопрос, чем «вычислимость» по «конечной машине» отличается от «вычислимости» по машине Тьюринга.
Для «конечной машины» мало предъявить алгоритм, чтобы считать соответствующую функцию «вычислимой».
Необходимо, чтобы предъявленный алгоритм приводил к объявленному результату в заранее указанных ограничениях по времени и по использованному объему памяти.
Например, если Вы программируете систему противоракетной обороны, то Вы должны уметь в ОГРАНИЧЕННОЙ памяти за считанные секунды размещать и обрабатывать колоссальные объемы информации.
Далеко не каждая «вычислимая» по Тьюрингу функция окажется при этом вычислимой за требуемое время.
Сергей Шилов, Вы задали сложный вопрос о делимости на ноль. Сходу трудно ответить. Математическая операция деления взялась из практики: делить на заданное количество ЧАСТЕЙ. В знаменатель ставится количество частей. Если частей одна или более все интерпретируется обычной практикой. Но если частей НОЛЬ? Что значит: «Разделить так, чтобы частей не было»? Можно интерпретировать так: деление на ноль это такая операция, при которой объект превращается в «неимеющий частей», т. е. в НЕДЕЛИМЫЙ, в какое-то подобие простого числа. Вообще, надо подумать как можно интерпретировать выражение «1/0».
Андрей Св:
Не нужно быть профессиональным программистом, чтобы понять как устроена и работает традиционная машина Тьюринга. Вот я и спрашиваю как устроена и как работает машина Тьюринга с конечными характеристиками? А если она устроена и работает точно так же, то для чего она нужна в таком случае?
С. Шилов:
В. Н. Левин, Вы пишите: «Что значит: разделить так, чтобы частей не было? Можно интерпретировать так: деление на ноль это такая операция, при которой объект превращается в неимеющий частей, т. е. в НЕДЕЛИМЫЙ, в какое-то подобие простого числа».
ЗАМЕЧАТЕЛЬНО! Я с другой стороны пришел к выводу принципа делимости на ноль. Деление целого числа на ноль есть простое число p, деление целого числа на ноль как полное и непротиворечивое стационарное состояние есть множество простых чисел. Простое число, деленное на ноль, есть число мнимых единиц. Таков непосредственный смысл простого числа, раскрываемый физической математикой. Последовательность простых чисел истинный числовой ряд есть система счисления. Система счисления простых чисел имеет своим основанием ноль. Это временная система счисления, она представляет ход времени как истинное движение числа. Истинная запись числового ряда есть система счисления по основанию «ноль». Каждое простое число есть запись числа, выражающегося отношением целого числа (собственным отношением) к нолю (делением целого числа на ноль). В данной системе конечное число чисел: сумма всех величин, обратных простым числам, равна четырем. Здесь я предполагаю, что обнаруженное современной математикой явление того, что сумма всех величин, обратных простым числам, для известного числа простых чисел (около 50 млн) не превышает четырех, что это явление следует считать началом физической математики, в которой принцип конечности числа простых чисел приводит к отказу от гипотезы бесконечности, к отказу от последних оснований евклидова мышления. Принцип конечности числа простых чисел вслед за принципомпостоянства скорости света завершает научную революцию 20-х годов прошлого века.
Андрей Св., Вы пишите: «Не нужно быть профессиональным программистом, чтобы понять как устроена и работает традиционная машина Тьюринга. Вот я и спрашиваю как устроена и как работает машина Тьюринга с конечными характеристиками? А если она устроена и работает точно так же, то для чего она нужна в таком случае?».
Наша с Левиным КОНЕЧНАЯ МАШИНА («более мощная», чем машина Тьюринга) это МАШИНА, ЛЕНТОЙ КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ ЛЕНТА МЁБИУСА. Такая машина будет способна выполнять троичный код «ноль единица простое число», переход от ЛОГИКИ («нольединица») к РИТОРИКЕ («нольединицапростое число»), переход от «данет» к «данетсуждение». Это и так называемая машина искусственного интеллекта, и принцип машины времени (суть которой не путешествия во времени, а моделирование-производство времени).
В.Н. Левин:
Сергей Шилов, продолжая думать над Вашим вопросом о смысле деления на НОЛЬ, я обращаю внимание на неоднозначную природу понятий «умножение» и «деление» в математике.
Укажу ТРОЙНУЮ природу УМНОЖЕНИЯ.
Его двойная природа видна сразу.
С одной стороны, умножение происходит из практического СЛОЖЕНИЯ как операция над МНОЖЕСТВАМИ, имеющими одинаковое число элементов.
При этом сомножители принципиально НЕОДНОРОДНЫ: один из них указывает число элементов в каждом из рассматриваемых множеств, другой число множеств.
С этой стороны, умножение предполагает ОБЪЕДИНЕНИЕ множества множеств в ОДНО множество, число элементов которого и объявляется ПРОИЗВЕДЕНИЕМ.
С другой стороны, умножение предполагает непростое, РАЗДЕЛЁННОЕ существование совокупности элементов, численность которой определяется умножением, т. е. оно предполагает ДЕЛЕНИЕ как свершившийся факт, притом неважно, было ли в реальности РАЗДЕЛЕНО некоторое изначально ЦЕЛОЕ множество, либо множества, изначально обособленные, впервые сводятся в ЕДИНОЕ.
С этой стороны умножение есть операция, обратная ДЕЛЕНИЮ, происходит от ДЕЛЕНИЯ.
Грубо говоря, первыми «практическими» математическими операциями были:
СЛОЖИТЬ ОТНЯТЬ ПОДЕЛИТЬ.
И в этой «первобытной» математике деление на НОЛЬ было нормальной операцией как операция рассмотрения объекта принципиально ЦЕЛЫМ, неделимым на части (имеющим НОЛЬ частей), т. е. не отдаваемым НИКОМУ, оставляемым в ОБЩЕЙ СОБСТВЕННОСТИ.
От ДЕЛЕНИЯ возникает и идея ДРОБНОГО (нецелого) числа.
Умножение исторически возникло гораздо ПОЗЖЕ.
За ним стоит, например, практика пересчета ВОЙСКА, разбитого на десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч.