125. Кошки и котята
Четыре кошки и 3 котенка весят 15 кг, а 3 кошки и 4 котенка весят 13 кг.
Сколько весит каждая кошка и каждый котенок в отдельности?
Постарайтесь и эту задачу решить устно.
Рис. 126.
126. Раковина и бусины
Три детских кубика и 1 раковина уравновешиваются 12 бусинами (рис. 127), 1 раковина весит столько же, сколько 1 кубик и 8 бусинок (рис. 128).
Рис. 127.
Рис. 128.
Сколько бусин нужно положить на свободную чашку весов, чтобы уравновесить раковину на другой чашке?
127. Вес фруктов
Вот еще задача в этом роде. Рис. 129 показывает, что 3 яблочка и 1 груша весят столько же, сколько 10 персиков, а 6 персиков и 1 яблочко – столько же, сколько 1 груша.
Рис. 129.
Сколько персиков надо взять, чтобы уравновесить одну грушу?
128. Сколько стаканов?
На рис. 130 и 131 вы видите, что:
– бутылка и стакан уравновешиваются кувшином;
– бутылка сама по себе уравновешивается стаканом и блюдцем;
– два кувшина уравновешиваются тремя блюдцами. Сколько надо поставить стаканов на свободную чашку весов, чтобы уравновесить бутылку?
129. Гирей и молотом
Надо развесить 2 кг сахарного песку на 200-граммовые пакеты. Имеется только одна 500-граммовая гиря, да еще молоток, весящий 900 г.
Как получить все 10 пакетов, пользуясь этой гирей и молотком?
130. Задача Архимеда
Самая древняя из головоломок, относящихся к взвешиванию, без сомнения, та, которую древний правитель сиракузский Гиерон задал знаменитому математику Архимеду.Рис. 130. Задача о стаканах и бутылке.
Рис. 131. Чем уравновесить бутылку?
Рис. 132. Затруднение при развешивании.
Предание повествует, что Гиерон поручил мастеру изготовить венец для одной статуи и приказал выдать ему необходимое количество золота и серебра. Когда венец был доставлен, взвешивание показало, что он весит столько же, сколько весили вместе выданные золото и серебро. Однако правителю донесли, что мастер утаил часть золота, заменив его серебром. Гиерон призвал Архимеда и предложил ему определить, сколько золота и сколько серебра заключает изготовленная мастером корона. Архимед решил эту задачу, исходя из того, что чистое золото теряет в воде 20-ю долю своего веса, а серебро – 10-ю.
Если вы желаете испытать свои силы на подобной задаче, примите, что мастеру было отпущено 8 кг золота и 2 кг серебра и что, когда Архимед взвесил корону под водой, она весила не 10, а всего 91/4 кг. Попробуйте определить по этим данным, сколько золота утаил мастер. Венец был изготовлен из сплошного металла, без пустот.
Решения задач 121-130
121. Обычно отвечают, что бревно вдвое более толстое, но вдвое более короткое, не должно изменить своего веса. Однако это неверно. От увеличения поперечника вдвое объем круглого бревна увеличивается вчетверо; от укорочения же вдвое объем уменьшается всего в два раза. Поэтому толстое короткое бревно должно быть вдвое тяжелее длинного тонкого, т. е. весить 60 кг.122. При погружении в воду железная вещь (сплошная) теряет 8-ю долю своего веса [7] . Поэтому и гири, и гвозди под водой будут иметь 7/8 своего прежнего веса. И так как гири в 10 раз легче гвоздей, то и под водой они будут легче их в 10 раз. Следовательно, десятичные весы останутся и под водой в равновесии.
123. Из условия задачи мы знаем, что вес бутылки + вес керосина = 1000 г.
А так как кислота вдвое тяжелее керосина, то вес бутылки + двойной вес керосина = 1600 г.
Отсюда ясно, что разница в весе: 1600–1000, т. е. 600 г, есть вес керосина, налитого в бутылку. Но бутылка вместе с керосином весит 1000 г; значит, бутылка весит 1000 – 600 = 400 г.
Действительно, вес кислоты (1600 – 400 = 1200 г) оказывается вдвое больше веса керосина.124. Три четверти бруска мыла плюс гиря в 3/4 килограмма весят столько же, сколько целый брусок. Но целый брусок – это 3/4 бруска плюс 1/4 бруска. Значит, 1/4 бруска весит 1/ 4 кг. И следовательно, целый брусок весит в четыре раза больше, чем 3/4 кг, т. е. 3 кг.
125. Сравнивая оба взвешивания, легко увидеть, что от замены одной кошки одним котенком вес груза уменьшился на 15–13, т. е. на 2 кг. Отсюда следует, что кошка тяжелее котенка на 2 кг. Зная это, заменим при первом взвешивании всех четырех кошек котятами: у нас будет тогда 4 + 3 = 7, а стрелка весов, вместо 15 кг, покажет на 2 × 4, т. е. на 8 кг меньше. Значит, 7 котят весят 15 – 8 = 7 кг.
Отсюда ясно, что котенок весит 1 кг, взрослая же кошка
1 + 2 = 3 кг.
Рис. 133.
126. Сравните первое и второе взвешивания. Вы видите, что раковину при первом взвешивании можно заменить 1 кубиком и 8 бусинами, потому что они имеют одинаковый вес. После такой замены у нас окажется на левой чашке 4 кубика и 8 бусин, которые будут уравновешиваться 12 бусинами. Сняв теперь с каждой чашки по 8 бусин, мы не нарушим равновесия; останется же у нас на левой чашке 4 кубика, на правой – 4 бусины. Значит, кубик и бусина весят одинаково.
Теперь определим, сколько бусин весит раковина: заменив (второе взвешивание) на правой чашке кубик бусиной, узнаем, что вес раковины = весу 9 бусин.
Полученный результат легко проверить: замените при первом взвешивании кубики и раковины на левой чашке соответственным числом бусин – получите 3 + 9 = 12 бусин, как и должно быть.127. Заменим при первом взвешивании 1 грушу на 6 персиков и 1 яблочко: мы вправе это сделать, так как груша весит столько же, сколько 6 персиков и яблочко. У нас окажется на левой чашке 4 яблочка и 6 персиков, на правой – 10 персиков. Сняв с обеих чашек по 6 персиков, узнаем, что 4 яблочка весят столько, сколько весят 4 персика. Другими словами, один персик весит столько же, сколько одно яблочко. Теперь уже легко сообразить, что вес груши равен весу 7 персиков.
128. Эту задачу можно решить по-разному. Вот один из способов.
Заменим при третьем взвешивании каждый кувшин 1 бутылкой и 1 стаканом (из первого взвешивания следует, что весы при этом останутся в равновесии). Таким образом, 2 бутылки и 2 стакана уравновешиваются 3 блюдцами. На основании второго взвешивания, каждую бутылку мы можем заменить 1 стаканом и 1 блюдцем. Получив, что 4 стакана и 2 блюдца уравновешиваются 3 блюдцами.
Сняв с каждой чашки весов по 2 блюдца, узнаем, что 4 стакана уравновешиваются 1 блюдцем.
И следовательно, бутылка уравновешивается (сравни со вторым взвешиванием) 5 стаканами.129. Порядок отвешивания таков. На одну чашку кладут молоток, на другую – гирю и столько же сахарного песка, чтобы чашки уравновесились; ясно, что насыпанный на вторую чашку песок весит 900–500 = 400 г. Эту операцию выполняют еще три раза; остаток песка весит 2000 – (4 × 400) = 400 г. Теперь нужно содержимое каждого из пяти полученных 400-граммовых пакетов разделить пополам, на два равных по весу пакета. Делается это без гирь, очень просто: содержимое 400-граммового пакета рассыпают в два блюдца, поставленные на разные чашки, до тех пор, пока весы не уравновесятся.
130. Если бы заказанный венец был сделан из чистого золота, он весил бы вне воды 100 кг, а под водой терял 20-ю долю этого веса, т. е. полкилограмма. В действительности же венец, как мы знаем, теряет в воде не 1/2, а 10 – 91/4 = 3/4 кг. Это происходит потому, что он содержит серебро – металл, теряющий в воде не 20-ю, а 10-ю долю своего веса. Значит, серебра в венце столько, что венец теряет в воде не 1/2 кг, а 3/4 кг – на 1/4 кг больше. Если в нашем чисто золотом венце мысленно заменить 1 кг золота серебром, то венец будет терять в воде на 1/10 – 1/20 = 1/20 кг больше, чем прежде. Следовательно, чтобы увеличить потерю веса на требуемую величину – 1/4 кг, необходимо заменить серебром столько килограммов золота, сколько раз 1/20 кг содержится в 1/4 кг. Поскольку 1/4: 1/20 = 5, получаем: в венце вместо выданных 2 кг серебра и 8 кг золота 5 кг серебра и 5 кг золота. Три килограмма золота мастер заменил серебром и утаил.