151. Стакан гороху
Вы много раз держали в руках горошину и не менее часто имели дело со стаканом. Размеры того и другого вам должны быть поэтому хорошо знакомы. Представьте теперь стакан, доверху наполненный горохом, и вообразите, что все эти горошины поставлены в один ряд, вплотную одна к другой.
Как вы думаете: этот ряд окажется длиннее обеденного стола или короче?
152. Листья дерева
Если бы сорвать с какого-нибудь старого дерева, скажем, с липы, все листья и положить их рядом, без промежутков, то какой приблизительно длины получился бы ряд? Можно ли им окружить большой дом, например?
153. Миллион шагов
Вы, конечно, очень хорошо знаете, что такое миллион, и столь же хорошо представляете себе длину своего шага. А раз вы знаете и то и другое, то вам нетрудно будет ответить на вопрос: как далеко вы отойдете, сделав миллион шагов? Больше, чем на 10 км, или меньше?
154. Квадратный метр
Я знал школьника, который, услышав впервые, что в квадратном метре миллион квадратных миллиметров, не хотел этому верить. Никакие разъяснения не были для него убедительны. «Откуда их берется так много? – недоумевал он. – Вот у меня лист миллиметровой бумаги длиной и шириной ровно в метр. Неужели в этом квадрате целый миллион миллиметровых клеточек? Ни за что не поверю».
– А ты пересчитай, – посоветовали ему.
– И пересчитаю! В воскресенье у меня будет свободное время, я и займусь этим делом.
В воскресенье он встал рано утром и сразу же принялся за счет, аккуратно отмечая точками сосчитанные квадратики. Каждую секунду появлялась новая точка под острием его карандаша; работал он усердно, и дело шло быстро. Но убедился ли он в этот день, что квадратный метр действительно заключает миллион миллиметровых клеточек?
155. Кубический метр
В одной школе учитель задал вопрос: какой высоты получился бы столб, если поставить один на другой все миллиметровые кубики, содержащиеся в кубическом метре?
– Он был бы выше Эйфелевой башни (300 м)! – воскликнул один школьник.
– Даже выше Монблана (5 км), – ответил другой. Кто из них ошибся больше?
156. Кубический километр
Вообразите кубический ящик высотой в целый километр. Как вы думаете: сколько таких ящиков понадобилось бы, чтобы вместить тела всех людей, живущих на свете? Примите во внимание, что население земного шара равно 1800 миллионам человек и что в одном кубическом метре можно уместить, средним счетом, 5 человеческих тел.
157. Волос
Человеческий волос очень тонок: толщина его – около 20-й доли миллиметра. Но если бы волос был в миллион раз толще, какой примерно толщины мог он быть? Один из моих знакомых, которому я задал этот вопрос, ответил, что волос был бы тогда толще круглой комнатной печи; другой утверждал, что волос имел бы толщину во всю комнату. Оба, конечно, ошиблись, но кто ошибся больше?
158. Сколько портретов?
Нарисуйте портрет на плотной бумаге и разрежьте его, скажем, на 9 полос (рис. 154) – Если вы умеете хоть немного рисовать, вам нетрудно будет изготовить другие полосы с изображением выделенных фрагментов, но такие, чтобы каждые две соседние полосы, даже принадлежащие разным портретам, можно было прикладывать одну к другой, не нарушая непрерывности линий. Если для каждой выделенной части лица вы приготовите, например, по 4 полосы [8] , у вас будет 36 полос, из которых, складывая по 9, вы сможете составлять разнообразные портреты.
Рис. 154. Составные портреты.
В магазинах, где одно время предлагались готовые наборы таких полос (или брусков), продавцы уверяли покупателей, что из 36 полос можно получить тысячу различных физиономий.
Верно ли это?
159. Французский замок
Хотя французский замок известен всем, устройство его знают немногие. Поэтому часто приходится слышать сомнения в том, что может существовать большое число различных французских замков и ключей к ним. Достаточно, однако, познакомиться с остроумным механизмом этих замков, чтобы убедиться в возможности разнообразить их в достаточной степени.
Рис. 155. Французский замок.
Рис. 155 изображает французский замок, как мы его видим «с лица» (кстати, название «французский» совершенно неправильно, так как родина этих замков Америка, а изобрел их американец Иэль – почему на всех таких замках и ключах и имеется надпись «Yale»). Вы видите вокруг замочной скважины небольшой кружок – основание валика, проходящего через весь замок. Чтобы открыть замок, нужно повернуть валик, но в этом и заключается вся трудность. Дело в том, что валик удерживается в определенном положении пятью короткими стальными стерженьками (рис. 156). Каждый стерженек в каком-то месте распилен надвое, и только если разместить стерженьки так, чтобы все разрезы расположились на уровне валика, тогда его можно будет повернуть.
Рис. 156. Продольный разрез французского замка.
Необходимое расположение стерженькам придает ключ с соответствующими выступами: достаточно его вставить, чтобы стерженьки заняли то определенное и единственное расположение, которое необходимо, чтобы открыть замок.
Теперь легко понять, что число различных замков этого типа может быть действительно весьма велико. Оно зависит от того, сколькими способами можно разрезать каждый стержень на две части; число это, разумеется, не бесконечно, если принять во внимание ограниченную высоту зубчиков ключа.
Предположите, что каждый стерженек можно разрезать на две части 10 способами, и попробуйте сосчитать, сколько различных французских замков можно при таком условии изготовить?
160. Скромная награда
Задача, которую я вам сейчас предложу, не нова, даже весьма не нова. Она общеизвестна, но именно поэтому я и включил ее в этот сборник головоломок. Ведь книжка моя предназначена не для тех, кто уже знает все общеизвестное, а для тех, кому все это еще предстоит узнать.
Итак, я хочу рассказать вам странную легенду о награде, которую попросил себе древний мудрец Сета у индусского правителя Шерама за изобретенную им шахматную игру. Мудрец просил вознаградить его так: выдать за первое поле шахматной доски 1 пшеничное зерно, за второе поле – 2 зерна, за третье – 4, за четвертое – 8 и т. д., удваивая вознаграждение за каждое следующее поле, пока не будут оплачены все 64 поля доски. Что же касается шахматных фигур, то за них мудрец никакой награды не требовал.
Рис. 157.
Правитель подивился такой скромности и отпустил мудреца, приказав немедленно выдать ему следуемые зерна.
Когда спустя некоторое время правитель осведомился, в точности ли исполнено его приказание, ему в смущении ответили, что требуемая награда не может быть выдана.
– Почему? – спросил правитель.
– Почему? – спросим и мы читателя.
Решения задач 151-160
151. Ряд горошин будет гораздо длинее стола. Диаметр горошины варьируется от 1/2 до 1/ 3 см. Если остановиться на первом размере, то в кубике с ребром в 1 см должно умещаться не менее 2 × 2 × 2 = 8 горошин [9] . Следовательно, в стакане емкостью 200 см3 число горошин должно быть не меньше 1600. Расположив их в один ряд, получим цепочку длиной 1/2 × 1600 = 800 см, или 8 м – расстояние гораздо длиннее любого стола.
Если исходить из размера горошины 1/3 см, то в кубическом сантиметре помещается их не менее 3 × 3 × 3 = 27, а в стакане – не менее 27 × 200 =5400. Длина ряда из 5400 таких горошин равна 1/3 × 5400 = 1800 см, или 18 м– еще больше, чем в случае крупных горошин.152. Не только дом, но и иной губернский город (впоследствии – областной) можно было бы окружить расположенными в ряд листьями одного дерева, потому что такой ряд тянулся бы верст на десять! В самом деле: на старом дереве не менее 200–300 тысяч листьев. Если остановиться на числе 250 000 и считать каждый лист шириной 5 см, то ряд получается длиной 1 250 000 см, т. е. 12 500 м, или 12,5 км.
153. Миллион шагов гораздо больше 10 км, больше даже 100 км. Если длина шага примерно равна 3/4 м, то 1 000 000 шагов = 750 км. Так как от Москвы до Ленинграда всего 640 км, то, сделав от Москвы миллион шагов, вы отошли бы дальше, чем на расстояние до Ленинграда.
154. В тот же день убедиться в этом школьник не мог, потому что, работая даже круглые сутки без перерыва, он не пересчитал бы и десятой доли всех клеточек. Действительно, в сутках 24 х 60 х 60 = 86 400 сек., а в квадратном метре 1 000 000 мм2. Понадобится более 11 суток непрерывной работы, чтобы проверить прямым счетом, действительно ли в квадратном метре миллион миллиметровых клеточек. Если же работать по десять часов в сутки, то на подобную проверку уйдет около месяца. Мало у кого достанет терпения выполнить такой счетный подвиг [10] .
155. Оба ответа далеки от истины, потому что столб получился бы во сто раз выше самой высокой горы на земле. Действительно, в кубическом метре миллиард кубических миллиметров (1000 х 1000 х 1000). Поставленные один на другой, они образовали бы столб высотой 1 000 000 000 мм, или 1 000 000 см, или 1000 км!
156. В одном ящике указанных размеров не только поместится все население земного шара, но в нем могло бы поместиться почти втрое больше людей! Легко вычислить, что если 5 человек занимают объем 1 м3, то 1 800 000 000 человек займут 360 миллионов кубометров. В кубическом же километре 1000 миллионов кубометров – места хватило бы с избытком!
157. Если бы волос был в миллион раз толще, то превосходил бы по ширине не только любую печку или комнату, но и почти любое здание, потому что диаметр его равнялся бы 50 м!
Действительно, умножим ширину волоса, 0,05 мм на I 000 000. Получим 50 000 мм, или 50 м.
Такую ширину имела бы, между прочим, и каждая точка типографского шрифта этой книги, если бы ее увеличить в поперечнике в миллион раз. А каждая буква имела бы при подобном увеличении более двух верст в высоту!
Эти неожиданные результаты показывают, что миллион мы представляем себе не так отчетливо, как обычно думаем.158. Число портретов значительно больше тысячи. Сосчитать их можно следующим образом. Обозначим девять частей портретов римскими цифрами I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII и XI; для каждой части имеются 4 полоски, которые мы перенумеруем арабскими цифрами 1, 2, 3, 4.
Возьмем полоску I, 1. К ней можно присоединить полоски II, 1; II, 2; II, 3; II, 4. Всего, следовательно, здесь возможны 4 сочетания.
Но так как первая часть головы может быть представлена четырьмя полосками (I, 1; I, 2; I, 3; I, 4) и каждая из них может быть соединена с частью II четырьмя различными способами, то две верхние части головы – I и II – могут быть соединены 4 × 4 = 16 различными способами.
К каждому из этих 16 сочетаний первых двух частей часть III можно присоединить четырьмя способами (III, 1; III, 2; III, 3; III, 4); следовательно, первые три части физиономии могут быть составлены 16 х 4 = 64 различными способами.
Таким же образом узнаем, что части I, II, III, IV могут быть расположены 64 х 4 = 256 различными способами; части I, II, III, IV, V – 1024 способами; части I, II, III, IV, V, VI – 4096 способами и т. д.; наконец, все девять частей портрета можно соединить4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4, т. е. 262 144 способами.
Итак, из 9 наших брусков возможно составить не 1000, а больше четверти миллиона различных портретов! Задача весьма поучительна: она объясняет нам, почему так редко встречаются две одинаковые человеческие физиономии. Еще Владимир Мономах в своем «Поучении» изумлялся тому, что при огромном числе людей на свете каждый имеет свое особенное лицо. Но мы сейчас убедились, что если бы человеческое лицо характеризовалось всего 9 чертами, допускающими каждая всего 4 видоизменения, то могло бы существовать более 260 000 разных лиц. В действительности же характерных черт человеческого лица гораздо больше 9, и видоизменяться они могут больше чем 4 способами. Так, при 20 чертах, каждая из которых может применяться на 10 ладов, имеем различных лиц: 10х 10х 10х х 10… х 10… – итого 20 множителей, т. е.
100 000 000 000 000 000 000.
Это во много раз больше, чем людей во всем мире.
159. Рассуждая как и при решении предыдущей задачи, нетрудно сосчитать, что число различных замков равно
10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000.
Каждому из этих 100 000 замков соответствует особый ключ – единственный, которым можно его открыть. Существование ста тысяч различных замков и ключей, конечно, вполне обеспечивает безопасность владельца замка, так как у желающего вкрасться в помещение с помощью подобранного ключа есть только 1 шанс из 100 ООО напасть на подходящий ключ. Наш подсчет примерный: он сделан в предположении, что каждый стерженек замка может быть разделен надвое только 10 способами. В действительности же это можно сделать большим числом способов, а значит, различных вариантов замка существует значительно больше.
160. «Скромная награда» не могла быть выдана потому, что не только в Индии, но и во всем мире нет такого количества зерен, какое она предполагает. Само вычисление затребованной суммы зерен представляет собой нелегкую задачу. В самом деле: требуется сложить ряд чисел
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + и т. д.
Здесь выписаны только первые 8 чисел. Но остается еще 56. Чтобы узнать последнее 64-е число, нужно умножить число 2 само на себя 62 раза. В то время индусы не знали логарифмов, сокращающих подобные вычисления, поэтому они должны были выполнить умножение обычными приемами арифметики. Однако стоит лишь приступить к подсчетам, чтобы ощутить, насколько они утомительны. Правда, можно облегчить себе работу и сэкономить много времени, разбив наши 63 множителя на группы, по 7 двоек, тогда придется перемножить «только» 9 множителей, каждый из которых равен 128 (или же, если хотите, «всего» три множителя, каждый из которых равен произведению 128 х 128 х 128). Но слова «только» и «всего» недаром взяты здесь в кавычки, потому что работы все равно останется предостаточно. Ведь это лишь одно, последнее, 64-е слагаемое; а еще нужно вычислить все предыдущие 63 слагаемых, да кроме того эти числа сложить…
Для тех, кто изучал алгебру и знаком с логарифмами и прогрессиями, выполнение этого расчета – правда, приближенное, с точностью до 100 000-й доли результата – не составило бы никакого труда. Так как я не могу предполагать у читателей таких познаний из алгебры, а с другой стороны, не собираюсь засадить их за многочасовые выкладки, то укажу простой способ хотя бы грубо оценить истинные размеры «скромной награды» индусского мудреца.
Продолжив ряд2, 4, 8,16, 32, 64 и т. д.
до его 10-го члена, получим 1024. Так как мы стремимся определить, как велико последнее слагаемое лишь приблизительно, то откинем в числе 1024 24 единицы, чтобы округлить результат до 1000. Если первые десять двоек при перемножении дали около 1000, то столько же дает и умножение следующих двоек, а также дальнейших групп из 10 двоек. Всех множителей-двоек у нас 63, т. е. шесть групп по 10 и еще седьмая группа из трех двоек. Значит, число зерен, причитающееся изобретателю за последнее, 64-е поле шахматной доски должно приблизительно равняться
1000 × 1000 × 1000 × 1000 × 1000 × 1000 × (2 × 2 × 2) = 8 000 000 000 000 000 000
Восемь квинтиллионов зерен – вот примерная величина последнего слагаемого! Чтобы вычислить (приблизительно) всю сумму, обратим внимание на поучительную особенность ряда
1,2, 4, 8,16, 32, 64, 128 и т. д.
Легко заметить, что каждое число в нем равно сумме всех предыдущих, увеличенной на 1. Например:
8 = (1 + 2 + 4) + 1; 16 = (1 + 2 + 4 + 8) + 1;
32 = (1 + 2 + 4 + 8 +16) +1.
Понятно, что и последнее, 64-е число этого ряда равно сумме 63 предыдущих плюс 1. Но мы уже знаем, что это последнее число приблизительно равно 8 квинтиллионам. Следовательно, сумма всех предыдущих чисел приблизительно равна 8 квинтиллионам, а общее число всех зерен, причитающихся изобретателю, приблизительно равно
16 000 000 000 000 000 000.
Рис. 157.
Этот результат, однако, заведомо меньше истинного – вспомните, что в каждом из 6 множителей мы откидывали 24 единицы (брали ровно 1000 вместо 1024). Точное вычисление дало бы результат
18 446 744 073 709 551 515.
Чтобы помочь вам ощутить «огромность» этого числа, замечу, что в кубическом метре (80-ведерной бочке) помещается 15 миллионов пшеничных зерен. «Скромная награда» должна была занять объем около 12 000 000 000 000 кубических метров, или 12 000 кубических километров! Далее. Поверхность земного шара – всех его материков и океанов – равна 500 миллиардам квадратных метров. Поэтому, если рассыпать наше число зерен ровным слоем по всему миру, он имел бы толщину 12: 500 = 0,024 м, или примерно 1/4 см. Будь земной шар целиком превращен в сплошное пшеничное поле (для чего потребовалось бы осушить океаны, растопить полярные льды и оросить все пустыни), то урожай с него целиком пошел бы в награду изобретателю шахматной игры. В заключение предлагаю читателю самому вычислить, цепочка какой длины получилась бы, если все эти зерна выложить в один ряд. На всякий случай сообщаю, что от Земли до Солнца 150 000 000 км, хотя не думаю, что с такой цепью зерен вы останетесь в пределах Солнечной системы.