1 2 5 13 34 89
1 3 8 21 55
2 5 13 34
3 8 21
5 13
8
- Вы, конечно, понимаете, - добавил Мате, - что треугольник может быть расширен и удлинен до бесконечности. Так вот, я заметил, что, путешествуя по наклонным рядам этого треугольника, начиная с единицы, можно совершать самые разнообразные зигзаги, каждый раз получая полный ряд чисел Фибоначчи.
Он снова обратился к чертежу и наметил несколько маршрутов по треугольнику.
- А знаете, это и впрямь чертовски занимательно, - признался Фило.
- Погодите, я еще не кончил, - остановил его Мате. - Повернем тот же треугольник по ходу часовой стрелки градусов этак на сорок, заодно увеличив его на несколько строк, а потом сложим числа каждой горизонтальной строки.
- Зачем?
- Сейчас поймете.
Мате выписал треугольник, поставив на уровне каждой строки сумму ее чисел.
1 1
1 2 3
2 3 5 10
3 5 8 13 29
5 8 13 21 34 81
8 13 21 34 55 89 220
13 21 34 55 89 144 233 589
21 34 55 89 144 233 377 610 1563
- Во-первых, обратите внимание на то, что вдоль левой боковой стороны этого числового треугольника расположены последовательные числа Фибоначчи, - сказал он.
- Обратил, - подтвердил Фило. - А во-вторых?
- Во-вторых, исследуя полученные суммы, я увидел, что каждую из них можно, в свою очередь, представить в виде суммы ряда простых чисел. Для порядка начнем с единицы - ведь она как-никак тоже число простое.
1 = 1 (1 слагаемое)
3 = 3 (1 слагаемое)
10=3+7 (2 слагаемых)
29 = 3+7+19 (3 слагаемых)
81 = 3+7+19+23+29 (5 слагаемых)
220 = 3+7+19+23+29+31+37+71 (8 слагаемых)
589 = 3+7+19+23+29+31+37+43+67+71+79+83+97 (13 слагаемых)
1563 = 3+7+19+23+29+31+37+43+67+71+ 79+83+97+101+103+107+109+113+131+ 137 + 173 (21 слагаемое)
- Чуете? - спросил Мате, закончив таблицу и торжествующе посмеиваясь.
Но Фило лишь виновато хлопал глазами.
- Эх вы!- пристыдил его Мате. - Да тут и ребенку ясно, что количество простых чисел, входящих в каждую сумму, тоже образует ряд Фибоначчи.
- Но это же замечательное открытие! - бурно обрадовался Фило.
- До открытия далеко. Я исследовал только восемь строк треугольника, а их бесконечное множество.
- Так найдите общее доказательство.
- Только и всего? - Мате язвительно осклабился. - Попробуйте-ка сами!
- Э, нет, слуга покорный! Предоставим это мессеру Леонардо, отшутился Фило. - К тому же вы все еще не ответили на мой вопрос.
- Наоборот! - энергично запротестовал Мате. - Я только и делаю, что отвечаю на него. Я показал вам, как перспективна игра с числами вообще и с числами Фибоначчи в частности. Она чревата самыми непредвиденными открытиями, которые могут привести к самым неожиданным практическим результатам. Вот почему я так высоко оцениваю этот удивительный числовой ряд. А теперь...
Он засунул руку в карман, позвякал там медяшками и без всякого видимого перехода предложил Фило отгадать, сколько монет у него в кармане. Фило обиделся: за кого его принимают? Факир он, что ли?
- Ладно! - смилостивился Мате. - Я не заставлю вас гадать ни на картах, ни на кофейной гуще. Вот вам некоторые наводящие данные. В кармане у меня только трех- и пятикопеечные монеты на сумму 49 копеек.
- Так бы сразу и сказали! Теперь я, по крайней мере, понимаю, что должен составить уравнение, и притом весьма простое. Обозначим число пятачков через х, а число трехкопеечных монет - через у. Тогда пятикопеечных монет будет на сумму 5х, а трехкопеечных - на 3у. Общая сумма их, как известно, 49 копеек. Следовательно, 5х + 3у = 49.
- Ставлю вам пять с плюсом, - сказал Мате. - Уравнение отличное. Но как вы его решите?
Фило призадумался. Попробуйте-ка решить одно уравнение с двумя неизвестными!
- Не беда, - утешил его Мате. - Мы ведь с вами знаем, что число монет каждого достоинства может быть только целым, а не дробным. Так давайте попробуем подобрать эти числа. Начнем, естественно, с самого маленького целого числа: с единицы. Иначе говоря, предположим, что пятачок у меня всего один. Пишем: х = 1. Теперь подставим это в наше уравнение: 5 х 1+ 3у = 49. Отсюда 3у = 44, а у=44/3
- Простите, 44/3 не целое число...
- Прекрасно. Значит, наше предположение отпадает. Теперь допустим, что х = 2. Тогда 5 х 2 + 3у = 49. Отсюда 3у = 39, у = 13. Получается, что у меня два пятака и тринадцать трехкопеечных монет.