- В общем, получился ряд треугольных чисел. Но что из этого следует? торопит Паскаль.
- Теперь выложим яблоки пирамидками и получим пирамидальные числа, тянет Ферма, словно не замечая нетерпения собеседника. - Один, четыре, десять, двадцать...
- А дальше? К чему вы клоните?
Ферма оставляет яблоки в покое, решив, вероятно, что достаточно помучил своего молодого друга.
- К чему я клоню? Просто мне захотелось узнать, как вычислить заранее, сколько понадобится яблок, чтобы выложить любое фигурное число, взятое, скажем, из ряда треугольных: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28... Или из пирамидальных: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84... Попутно я загорелся желанием выяснить, сколько вариантов группировок можно составить из некоего количества предметов или чисел.
По мере того как он говорит, лицо Паскаля становится все более напряженным.
- Так, так, продолжайте, - понукает он.
- Допустим, у нас есть восемь яблок, а лучше - восемь разноцветных шариков. Мы хотим узнать, сколько можно составить из них всевозможных группировок, раскладывая каждый раз по три шарика.
Иными словами, найти число сочетаний из восьми по три.
Ферма глядит на Блеза с нескрываемым восхищением. У него поистине дьявольское чутье на точные термины! Но Паскалю не до похвал.
- Не отвлекайтесь, прошу вас. Дальше, дальше...
Ферма пожимает плечами. Что же может быть дальше? Само собой, он стал искать способ, позволяющий определять число сочетаний.
- И нашли?!
- Ничего другого мне не оставалось!
Блез в изнеможении откидывается на спинку дивана. Невероятно!
- Не понимаю, что вас так поражает? - в свою очередь обескуражен Ферма. - Мой способ очень прост. Кажется, мы собирались найти число сочетаний из восьми по три? Отлично. Для этого пишем подряд все натуральные числа от единицы до восьми включительно. Затем объединяем три числа, стоящие слева: 1, 2, 3, и три числа, стоящие справа: 8, 7, 6, а потом перемножаем каждую тройку чисел и составляем из их произведений дробь. При этом левая часть будет знаменателем, а правая - числителем. Итак, что у нас получилось?
Вытащив из кармана длинную полоску бумаги, Паскаль производит подсчет: 8*7*6/(1*2*3) = 56.
Ферма довольно потирает руки. Вот и число сочетаний из восьми по три. Нетрудно заметить, что оно к тому же число пирамидальное. И это не случайно. Потому что любое пирамидальное или треугольное число есть в то же время какое-нибудь число сочетаний.
Паскаль все еще сидит, откинувшись на спинку дивана, но сейчас он уже не выглядит растерянным. Напротив: в глазах его светится затаенное торжество.
- Поздравляю, - произносит он медленно. - Вы меня удивили. Ну-с, а теперь ваша очередь удивляться.
На той же полоске, где только что подсчитывал число сочетаний, Блез быстро набрасывает группу чисел и передает бумажку Ферма.
- В то время как вы занимались фигурными числами, я копался в этом числовом треугольнике. Составить его, кстати говоря, побудили меня все те же размышления о теории вероятностей. Я нашел в нем кучу любопытных свойств...
- Каких?
- Сейчас расскажу. Но сперва условимся горизонтальные строки называть просто строками, а вертикальные - столбцами. И те и другие, как видите, перенумерованы начиная с нуля. А теперь обратите внимание на то, что каждое число в строке равно сумме чисел предыдущей строки, взятых начиная с единицы по число, стоящее над тем, которое мы рассматриваем. Вот хотя бы число 35 в третьей строке; оно равно сумме чисел, стоящих во второй: 1+3+6+10+15. Тем же свойством, само собой, обладают и числа в столбцах. Следующее свойство: числа, находящиеся на наклонных линиях - я обозначил их пунктиром, - расположены симметрично: 1, 2, 1; 1, 3, 3, 1; 1, 4, 6, 4, 1 и так далее. Еще одно свойство: сумма чисел, расположенных на каждой наклонной линии, равна двойке в степени порядкового номера столбца или строки. Например, в четвертом наклонном ряду 1+4+6+4+1 = 16. А это и есть два в четвертой степени... Впрочем, стоит ли утомлять вас перечислением всех свойств? Вы их найдете в письме, которое я отправил в Тулузу несколько дней назад.
-Какое совпадение! - гудит Ферма. - Вы мне, а я вам!
- Да ну! - изумляется Паскаль. - Интересно, что сказал бы об этом Марк Аврелий... И все же позволю себе указать еще на одно - весьма важное свойство моего арифметического треугольника: строки и столбцы с одинаковыми номерами неизменно совпадают. Например, столбец номер два и строка номер два представляют собой один и тот же числовой ряд: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36... Легко понять, что это числа треугольные, в то время как следующая строка - ряд пирамидальных. Отсюда, естественно, следует, что каждое из них есть какое-либо число сочетаний. Но самое интересное, что каким-нибудь числом сочетаний являются и все остальные числа этого треугольника. Паскаль выдерживает небольшую эффектную паузу. - Что же касается числа сочетаний, то я вычисляю его почти тем же способом, что и вы, - заканчивает он небрежно.
Ферма потрясен. Выходит, оба они не только пришли к одному и тому же открытию не сговариваясь, но и одновременно отправили друг другу письма с подробным его описанием! Кто после этого станет сомневаться, что истина везде одна - и в Париже и в Тулузе?!
Он наполняет бокалы золотистой шипучкой.
- За великий треугольник Паскаля!
Судя по всему, сейчас последует второй тост. Но услышать ответные слова Блеза филоматикам не приходится: об этом позаботился Асмодей.
В ДОМЕ НА УГЛУ УЛИЦЫ ФОМЫ
- Ну вот, - торжествует Мате, - а вы говорите - полное обращение! Насколько я понимаю, янсенизмом тут и не пахнет.
- Должен вас разочаровать, мсье. То, что вы видели сейчас, относится к более раннему времени, чем разговор в салоне мадам де Севинье. Просто временной бросок в прошлое был таким незначительным, что вы его не заметили.
Мате искренне огорчен. Так вот в чем дело! Выходит, обращение к янсенизму и отъезд в Пир-Рояль - все это еще впереди. А он-то надеялся...
- Не знаю, на что надеялись вы, - раздраженно перебивает его Фило, зато я надеялся на автограф Мольера. О нем же пока что ни слуха ни духа!
- Безобразие! Чистое безобразие! - возмущается Асмодей, точно и не он всему причиной. - Пора положить конец этой вопиющей не-спра-вед-ли-во-сти. Приготовьтесь, мсье! Мы немедленно направляемся к Мольеру.
От неожиданности Фило хватается за сердце.
- Вы это серьезно? - спрашивает он внезапно осевшим голосом.
- Помилуйте, мсье! Смею ли я шутить?
- Стало быть, я сейчас... увижу... Асмодей! Милый, дорогой Асмодей! Как мне благодарить вас?
Но бес не слышит воплей осчастливленного филолога: он уже включил межвременную скорость, с тем чтобы забежать вперед на десятилетие, и через мгновение снова оказывается над известной филоматикам Королевской площадью. Здесь он пикирует на крышу дома, что на углу улицы Фомы, и торжественно объявляет:
- Квартира члена корпорации парижских обойщиков Жана Батиста Поклена.
Мате глядит на него в полнейшей растерянности. Что за глупая выходка! На что им обойщик? Никто из них, кажется, не собирался чинить мягкую мебель.
К счастью, забывчивому математику довольно быстро удается вспомнить, что сын королевского обойщика Жан Батист Поклен, собственно, и есть Мольер, великий французский комедиограф и комик. Тот самый, что написал "Проделки Скапена" и еще, кажется, "Скупого"...
- И это все, что вы знаете из написанного Мольером?! - горестно изумляется Фило. - А "Мещанин во дворянстве"? А "Мнимый больной"? "Смешные жеманницы"? "Дон-Жуан"? "Мизантроп"? "Жорж Данден". "Тартюф", наконец...
- Тише, мсье, - испуганно шикает Асмодей. - Умоляю, не называйте этого имени. Мэтр Мольер работает над "Тартюфом" уже два года, и пока что замысел его известен весьма и весьма немногим. Разве что мэтру Буало60, мадемуазель Нинон де Ланкло61 и... и мне.
- Тэк-с. Роетесь в чужих рукописях, - уличает его Мате. - Может быть, даже шпионите?
- О мсье! Коман пувэ ву... Как вы можете? - непритворно оскорбляется черт. - Я бес не БЕСпринципный! В кабинет мсье Мольера проникаю исключительно для того, чтобы пополнять свое образование. Ах, это человек таких многогранных познаний! Да что там, сейчас сами увидите...
- Собираетесь ввести нас в дом? - с надеждой спрашивает Фило.