ния h и будем постепенно уменьшать его, вычисляя промежуточные значения производной. Как только они
перестанут сильно изменяться мы будем считать, что мы нашли предел последовательности
Этот процесс напоминает то, что мы делали при поиске корня уравнения методом неподвижной точки.
Мы можем взять из того решения функцию определения сходимости последовательности:
| 181
converge :: (Ord a, Num a) => a -> [a] -> a
converge eps (a:b:xs)
| abs (a - b) <= eps
= a
| otherwise
= converge eps (b:xs)
Теперь осталось только создать последовательность значений производных. Напишем функцию, которая
вычисляет промежуточные решения:
easydiff :: Fractional a => (a -> a) -> a -> a -> a
easydiff f x h = (f (x + h) - f x) / h
Мы возьмём начальное значение шага и будем последовательно уменьшать его вдвое:
halves = iterate (/2)
Соберём все части вместе:
diff :: (Ord a, Fractional a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a
diff h0 eps f x = converge eps $ map (easydiff f x) $ iterate (/2) h0
where easydiff f x h = (f (x + h) - f x) / h
Сохраним эти определения в отдельном модуле и найдём производную какой-нибудь функции. Проте-
стируем решение на экспоненте. Известно, что производная экспоненты равна самой себе:
*Numeric> let exp’ = diff 1 1e-5 exp
*Numeric> let test x = abs $ exp x - exp’ x
*Numeric> test 2
1.4093421286887065e-5
*Numeric> test 5
1.767240203776055e-5
Интегрирование
Теперь давайте поинтегрируем функции одного аргумента. Интеграл это площадь кривой под графиком
функции. Если бы кривая была прямой, то мы могли бы вычислить интеграл по формуле трапеций:
easyintegrate :: Fractional a => (a -> a) -> a -> a -> a
easyintegrate f a b = (f a + f b) * (b - a) / 2
Но мы хотим интегрировать не только прямые линии. Мы представим, что функция является ломаной
прямой линией. Мы посчитаем интеграл на каждом из участков и сложим ответы. При этом чем ближе точки
друг к другу, тем точнее можно представить функцию в виде ломаной прямой линии, тем точнее будет
значение интеграла.
Проблема в том, что мы не знаем заранее насколько близки должны быть точки друг к другу. Это зависит
от функции, которую мы хотим проинтегрировать. Но мы можем построить последовательность решений.
На каждом шаге мы будем приближать функцию ломаной прямой, и на каждом шаге число изломов будет
расти вдвое. Как только решение перестанет меняться мы вернём ответ.
Построим последовательность решений:
integrate :: Fractional a => (a -> a) -> a -> a -> [a]
integrate f a b = easyintegrate f a b :
zipWith (+) (integrate a mid) (integrate mid b)
where mid = (a + b)/2
Первое решение является площадью под прямой, которая соединяет концы отрезка. Потом мы делим от-
резок пополам, строим последовательность приближений и складываем частичные суммы с помощью функ-