категорий – это скорее язык, математический жаргон, она настолько общая, что кажется ей нет никакого
применения. Возможно это и так, но в этом языке многие сущности, которые лишь казались родственными
и было смутное интуитивное ощущение их близости, становятся тождественными.
Теория категорий занимается описанием функций. В лямбда-исчислении основной операцией была под-
становка значения в функцию, а в теории категорий мы сосредоточимся на операции композиции. Мы будем
соединять различные объекты так, чтобы структура объектов сохранялась. Структура объекта будет опреде-
ляться свойствами, которые продолжают выполнятся после преобразования объекта.
15.1 Категория
Мы будем говорить об объектах и связях между ними. Связи принято называть “стрелками” или “мор-
физмами”. Далее мы будем пользоваться термином стрелка. У стрелки есть начальный объект, его называют
доменом (domain) и конечный объект, его называют кодоменом (codomain).
f
A
B
В этой записи стрелка f соединяет объекты A и B, в тексте мы будем писать это так f : A → B, словно
стрелка это функция, а объекты это типы. Мы будем обозначать объекты большими буквами A, B, C, …, а
стрелки – маленькими буквами f, g, h, … Для того чтобы связи было интереснее изучать мы введём такое
правило:
f
A
B
g
f ; g
C
Если конец стрелки f указывает на начало стрелки g, то должна быть такая стрелка f ; g, которая обозна-
чает составную стрелку. Вводится специальная операция “точка с запятой”, которая называется композицией
стрелок: Это правило говорит о том, что связи распространяются по объектам. Теперь у нас есть не просто
объекты и стрелки, а целая сеть объектов, связанных между собой. Тот факт, что связи действительно рас-
пространяются отражается свойством:
f ; ( g ; h) = ( f ; g) ; h
Это свойство называют ассоциативностью. Оно говорит о том, что стрелки, которые образуют составную
стрелку являются цепочкой и нам не важен порядок их группировки, важно лишь кто за кем идёт. Подра-
зумевается, что стрелки f, g и h имеют подходящие типы для композиции, что их можно соединять. Это
свойство похоже на интуитивное понятие пути, как цепочки отрезков.
Связи между объектами можно трактовать как преобразования объектов. Стрелка f : A → B – это способ,
с помощью которого мы можем перевести объект A в объект B. Композиция в этой аналогии приобретает
естественную интерпретацию. Если у нас есть способ f : A → B преобразования объекта A в объект B, и
способ g : B → C преобразования объекта B в объект C, то мы конечно можем, применив сначала f, а
затем g, получить из объекта A объект C.
Когда мы думаем о стрелках как о преобразовании, то естественно предположить, что у нас есть преобра-
зование, которое ничего не делает, как тождественная функция. В будем говорить, что для каждого объекта
A есть стрелка idA, которая начинается из этого объекта и заканчивается в нём же.
| 227
idA : A → A
Тот факт, что стрелка idA ничего не делает отражается свойствами, которые должны выполняться для
всех стрелок:
idA ; f
=
f