=
f
Если мы добавим к любой стрелке тождественную стрелку, то от этого ничего не изменится.
Всё готово для того чтобы дать формальное определение понятия категории (category). Категория это:
• Набор объектов (object).
• Набор стрелок (arrow) или морфизмов (morphism).
• Каждая стрелка соединяет два объекта, но объекты могут совпадать. Так обозначают, что стрелка f
начинается в объекте A и заканчивается в объекте B:
f : A → B
При этом стрелка соединяет только два объекта:
f : A → B, f : A → B
⇒
A = A , B = B
• Определена операция композиции или соединения стрелок. Если конец одной стрелки совпадает с
началом другой, то их можно соединить вместе:
f : A → B, g : B → C
⇒ f ; g : A → C
• Для каждого объекта есть стрелка, которая начинается и заканчивается в этом объекте. Эту стрелку
называют тождественной (identity):
idA : A → A
Должны выполняться аксиомы:
• Тождество id
id ; f = f
f ; id = f
• Ассоциативность ;
f ; ( g ; h) = ( f ; g) ; h
Приведём примеры категорий.
• Одна точка с одной тождественной стрелкой образуют категорию.
• В категории Set объектами являются все множества, а стрелками – функции. Стрелки соединяются с
помощью композиции функций, тождественная стрелка, это тождественная функция.
• В категории Hask объектами являются типы Haskell, а стрелками – функции, стрелки соединяются с
помощью композиции функций, тождественная стрелка, это тождественная функция.
• Ориентированный граф может определять категорию. Объекты – это вершины, а стрелки это связанные
пути в графе. Соединение стрелок – это соединение путей, а тождественная стрелка, это путь в котором
нет ни одного ребра.
228 | Глава 15: Теория категорий
• Упорядоченное множество, в котором есть операция сравнения на больше либо равно задаёт катего-
рию. Объекты – это объекты множества. А стрелки это пары объектов таких, что первый объект меньше
второго. Первый объект в паре считается начальным, а второй конечным.
( a, b) : a → b
если a ≤ b
Стрелки соединяются так:
( a, b) ; ( b, c) = ( a, c)
Тождественная стрелка состоит из двух одинаковых объектов:
ida = ( a, a)
Можно убедиться в том, что это действительно категория. Для этого необходимо проверить аксиомы
ассоциативности и тождества. Важно проверить, что те стрелки, которые получаются в результате ком-
позиции, не нарушали бы основного свойства данной структуры, то есть тот факт, что второй элемент
пары всегда больше либо равен первого элемента пары.