=>
Just 2
fmap (+1) $ onlyOne [1,2,3,4,5]
=>
fmap (+1) $ Just 1
=>
Just 2
Результаты сошлись, обратите внимание на то, что функции fmap (+1) в двух вариантах являются раз-
ными функциями. Первая работает на списках, а вторая на частично определённых значениях. Суть в том,
что если при перекладывании значение не изменилось, то нам не важно когда выполнять преобразование
внутри функтора [] или внутри функтора Maybe. Теперь давайте выразим это на языке теории категорий.
Преобразование ε в категории B из функтора F в функтор G называют естественным (natural), если
F f ; εB = εA ; Gf
для любого f : A →A B
Естественное преобразование | 231
Это свойство можно изобразить графически:
ε
F A
A
GA
F f
Gf
F B
GB
εB
По смыслу ясно, что если у нас есть три структуры данных (или три функтора), если мы просто пере-
ложили данные из первой во вторую, а затем переложили данные из второй в третью, ничего не меняя. То
итоговое преобразование, которое составлено из последовательного применения перекладывания данных
также не меняет данные. Это говорит о том, что композиция двух естественных преобразований также явля-
ется естественным преобразованием. Также мы можем составить тождественное преобразование, для двух
одинаковых функторов F : A → B, это будет семейство тождественных стрелок в категории B. Получает-
ся, что для двух категорий A и B мы можем составить категорию F tr( A, B), в которой объектами будут
функторы из A в B, а стрелками будут естественные преобразования. Поскольку естественные преобразова-
ния являются стрелками, которые соединяют функторы, мы будем обозначать их как обычные стрелки. Так
запись η : F → G обозначает преобразование η, которое переводит функтор F в функтор G.
Интересно, что изначально создатели теории категорий Саундедерс Маклейн и Сэмюэль Эйленберг при-
думали понятие естественного преобразования, а затем, чтобы дать ему обоснование было придумано поня-
тие функтора, и наконец для того чтобы дать обоснование функторам были придуманы категории. Катего-
рии содержат объекты и стрелки, для стрелок есть операция композиции. Также для каждого объекта есть
тождественная стрелка. Функторы являются стрелками в категории, в которой объектами являются другие
категории. А естественные преобразования являются стрелками в категории, в которой объектами являются
функторы. Получается такая иерархия структур.
15.4 Монады
Монадой называют эндофунктор T : A → A, для которого определены два естественных преобразования
η : I → T и µ : T T → T и выполнены два свойства:
• T ηA ; µA = idTA
• T µA ; µTA = µTTA ; µA
Преобразование η – это функция return, а преобразование µ – это функция join. В теории категорий в
классе Monad другие методы. Перепишем эти свойства в виде функций Haskell: