=
x
если x обозначает стрелку
dual ( f : A → B) = dual f : B → A
A и B поменялись местами
dual ( f ; g)
=
dual g ; dual f
f и g поменялись местами
dual ( idA)
=
idA
Есть такое свойство, если и в исходной категории A выполняется какое-то утверждение, то в перевёр-
нутой категории Aop выполняется перевёрнутое (дуальное) свойство. Часто в теории категорий из одних
понятий получают другие дуализацией. При этом мы можем не проверять свойства для нового понятия,
они будут выполняться автоматически. К дуальным понятиям обычно добавляют приставку “ко”. Приведём
пример, получим понятие комонады.
Для начала вспомним определение монады. Монада – это эндофунктор (функтор, у которого совпадают
начало и конец или домен и кодомен) T : A → A и два естественных преобразования η : I → T и
µ : T T → T , такие что выполняются свойства:
• T η ; µ = id
• T µ ; µ = µ ; µ
Дуализируем это определение. Комонада – это эндофунктор T : A → A и два естественных преобразо-
вания η : T → I и µ : T T → T , такие что выполняются свойства
• µ ; T η = id
• µ ; T µ = µ ; µ
Мы просто переворачиваем домены и кодомены в стрелках и меняем порядок в композиции. Проверьте
сошлись ли типы. Попробуйте нарисовать графическую схему свойств комонады и сравните со схемой для
монады.
Можно также определить и категорию коКлейсли. В категории коКлейсли все стрелки имеют вид T A →
B. Теперь дуализируем композицию из категории Клейсли:
f ; T g = f ; T g ; µ
Теперь получим композицию в категории коКлейсли:
g ; T f = µ ; T g ; f
Мы перевернули цепочки композиций слева и справа от знака равно. Проверьте сошлись ли типы. Не
забывайте что в этом определении η и µ естественные преобразования для комонады. Нам не нужно прове-
рять является ли категория коКлейсли действительно категорией. Нам не нужно опять проверять свойства
Дуальность | 233
стрелки тождества и ассоциативности композиции, если мы уже проверили их для монады. Следовательно
перевёрнутое утверждение будет выполняться в перевёрнутой категории коКлейсли. В этом основное пре-
имущество определения через дуализацию.
Этим приёмом мы можем воспользоваться и в Haskell, дуализируем класс Monad:
class Monad m where
return
:: a -> m a
(>>=)
:: m a -> (a -> m b) -> m b
Перевернём все стрелки:
class Comonad c where