:: c a -> a
cobind
:: c b -> (c b -> a) -> c a
15.6 Начальный и конечный объекты
Начальный объект
Представим, что в нашей категории есть такой объект 0, который соединён со всеми объектами. При-
чём стрелка начинается из этого объекта и для каждого объекта может быть только одна стрелка которая
соединят данный объект с 0. Графически эту ситуацию можно изобразить так:
. . .
A 1
A 2
. . .
0
A 3
. . .
. . .
A 4
Такой объект называют начальным (initial object). Его принято обозначать нулём, словно это начало от-
счёта. Для любого объекта A из категории A с начальным объектом 0 существует и только одна стрел-
ка f : 0 → B. Можно сказать, что начальный объект определяет функцию, которая переводит объекты A в
стрелки f : 0 → A. Эту функцию обозначают специальными скобками ( | · |), она называется катаморфизмом
(catamorphism).
( | A |) = f : 0 → A
У начального объекта есть несколько важных свойств. Они очень часто встречаются в разных вариациях,
в понятиях, которые определяются через понятие начального объекта:
( | 0 |) = id 0
тождество
f, g : 0 → A ⇒ f = g
уникальность
f : A → B
⇒ ( | A |) ; f = ( | B |)
слияние (fusion)
Эти свойства следуют из определения начального объекта. Свойство тождества говорит о том, что стрелка
ведущая из начального объекта в начальный является тождественной стрелкой. В самом деле по определе-
нию начального объекта для каждого объекта может быть только одна стрелка, которая начинается в 0 и
заканчивается в этом объекте. Стрелка ( | 0 |) начинается в 0 и заканчивается в 0, но у нас уже есть одна та-
кая стрелка, по определению категории для каждого объекта определена тождественная стрелка, значит эта
стрелка является единственной.
Второе свойство следует из единственности стрелки, ведущей из начального объекта в данный. Третье
свойство лучше изобразить графически:
f
A
B
( | A |)
( | B |)
0
Поскольку стрелки ( | A |) и f можно соединить, то должна быть определена стрелка ( | A |) ; f : 0 → B, но
поскольку в категории с начальным объектом из начального объекта 0 в объект B может вести лишь одна
стрелка, то стрелка ( | A |) ; f должна совпадать с ( | B |).