Конечный объект
Дуализируем понятие начального объекта. Пусть в категории A есть объект 1, такой что для любого
объекта A существует и только одна стрелка, которая начинается из этого объекта и заканчивается в объекте
1. Такой объект называют конечным (terminal object):
. . .
A 1
A 2
. . .
1
A 3
. . .
. . .
A 4
Конечный объект определяет в категории функцию, которая ставит в соответствие объектам стрелки,
которые начинаются из данного объекта и заканчиваются в конечном объекте. Такую функцию называют
анаморфизмом (anamorphism), и обозначают специальными скобками [( · )], которые похожи на перевёрнутые
скобки для катаморфизма:
[( A )] = f : A → 1
Можно дуализировать и свойства:
[( 1 )] = id 1
тождество
f, g : A → 1 ⇒ f = g
уникальность
f : A → B
⇒ f ; [( B )] = [( A )]
слияние (fusion)
Приведём иллюстрацию для свойства слияния:
f
A
B
[( A )]
[( B )]
1
15.7 Сумма и произведение
Давным-давно, когда мы ещё говорили о типах, мы говорили, что типы конструируются с помощью двух
базовых операций: суммы и произведения. Сумма говорит о том, что значение может быть либо одним зна-
чением либо другим. А произведение обозначает сразу несколько значений. В Haskell есть два типа, которые
представляют собой сумму и произведение в общем случае. Тип для суммы это Either:
data Either a b = Left a | Right b
Произведение в самом общем виде представлено кортежами:
data (a, b) = (a, b)
В теории категорий сумма и произведение определяются как начальный и конечный объекты в специаль-
ных категориях. Теория категорий изучает объекты по тому как они взаимодействуют с остальными объек-
тами. Взаимодействие обозначается с помощью стрелок. Специальные свойства стрелок определяют объект.
Например представим, что мы не можем заглядывать внутрь суммы типов, как бы мы могли взаимодей-
ствовать с объектом, который представляет собой сумму двух типов A+ B? Нам необходимо уметь создавать
объект типа A + B из объектов A и B извлекать их из суммы. Создание объектов происходит с помощью
двух специальных конструкторов:
inl : A → A + B