f
Композиция стрелок – это обычная композиция в исходной категории, в которой определены объекты A
и B, а тождественная стрелка для каждого объекта, это тождественная стрелка для того объекта, в котором
сходятся обе стрелки. Можно проверить, что это действительно категория.
Если в этой категории есть начальный объект, то мы будем называть его суммой объектов A и B. Две
стрелки, которые содержит этот объект мы будем называть inl и inr, а общий объект в котором эти стрелки
сходятся будем называть A + B. Теперь если мы выпишем определение для начального объекта, но вме-
сто произвольных стрелок и объектов подставим наш конкретный случай, то мы получим как раз исходное
определение суммы.
Начальный объект ( inl : A → A + B, inr : B → A + B) ставит в соответствие любому объекту
( f : A → C, g : B → C) стрелку h : A + B → C такую, что выполняются свойства:
236 | Глава 15: Теория категорий
A
inl
A + B
inr
B
h
f
g
C
А как на счёт произведения? Оказывается, что произведение является дуальным понятием по отношению
к сумме. Его иногда называют косуммой, или сумму называют копроизведением. Дуализируем категорию,
которую мы строили для суммы.
У нас есть категория A и в ней выделено два объекта A и B. Объектами новой категории будут пары
стрелок ( a 1 , a 2), которые начинаются в общем объекте C а заканчиваются в объектах A и B. Стрелками в
этой категории будут стрелки исходной категории h : ( e 1 , e 2) → ( d 1 , d 2) такие что следующая диаграмма
коммутирует:
A
B
e 1
d 2
d
e
1
2
D
E
f
Композиция и тождественные стрелки позаимствованы из исходной категории A. Если в этой категории
существует конечный объект. То мы будем называть его произведением объектов A и B. Две стрелки этого
объекта обозначаются как ( exl, exr), а общий объект из которого они начинаются мы назовём A×B. Теперь
распишем определение конечного объекта для нашей категории пар стрелок с общим началом.
Конечный объект ( exl : A×B → A, exr : A×B → B) ставит в соответствие любому объекту категории
( f : C → A, g : C → B) стрелку h : C → A × B. При этом выполняются свойства:
A
exl
A × B
exr