f
curry( f )
( curry( f ) , id)
BA
BA × A
B
Давайте разберёмся, что это всё означает. По смыслу стрелка curry( f) это каррированная функция двух
аргументов. Вспомните о функции curry из Haskell. Диаграмма говорит о том, что если мы каррированием
функции двух аргументов получим функцию высшего порядка C → BA, а затем с помощью функции eval
получим значение, то это всё равно, что подставить два значения в исходную функцию. Запись ( curry( f) , id)
означает параллельное применение двух стрелок внутри пары:
( f, g) : A × A → B × B ,
f : A → B, g : A → B
Так применив стрелки curry( f) : C → BA и id : A → A к паре C × A, мы получим пару BA × A.
Применение здесь условное мы подразумеваем применение в функциональной аналогии, в теории категорий
происходит связывание пар объектов с помощью стрелки ( f, g).
Интересно, что и экспоненту можно получить как конечный объект в специальной категории. Пусть есть
категория A и в ней определено произведение объектов A и B. Построим категорию, в которой объектами
являются стрелки вида:
C × A → B
где C – это произвольный объект исходной категории. Стрелкой между объектами c : C × A → B и
d : D × A → B в этой категории будет стрелка f : C → D из исходной категории, такая, что следующая
диаграмма коммутирует:
C
C × A
f
c
( f, id)
D
D × A
B
Если в этой категории существует конечный объект, то он является экспонентой. А функция curry явля-
ется анаморфизмом для экспоненты.
238 | Глава 15: Теория категорий
15.9 Краткое содержание
Теория категорий изучает понятия через то как эти понятия взаимодействуют друг с другом. Мы забываем
о том, как эти понятия реализованы, а смотрим лишь на свойства связей.
Мы узнали что такое категория. Категория это структура с объектами и стрелками. Стрелки связывают
объекты. Причём связи могут соединятся. Также считается, что объект всегда связан сам с собой. Мы узнали,
что есть такие категории, в которых сами категории являются объектами, а стрелки в таких категориях мы
назвали функторами. Также мы узнали, что сами функторы могут стать объектами в некоторой категории,
тогда стрелки в этой категории мы будем называть естественными преобразованиями.
Мы узнали что такое начальный и конечный объект и как с помощью этих понятий можно определить
сумму и произведение типов. Также мы узнали как в теории категорий описываются функции высших по-
рядков.
15.10 Упражнения
• Проверьте аксиомы категории (ассоциативность и тождество) для категории функторов и категории
естественных преобразований.
• Изоморфизмом называют такие стрелки f : A → B и g : B → A, для которых выполнено свойство: