= zero
foldNat zero succ (Succ b) = succ (foldNat zero succ b)
То мы можем переписать с помощью функции композиции эту функцию так:
add :: Nat -> Nat -> Nat
add = foldNat
id
(Succ . )
Куда делись аргументы? Они выражаются через функции id и (. ). Поведение этой функции лучше про-
иллюстрировать на примере. Пусть у нас есть два числа типа Nat:
two
= Succ (Succ Zero)
three
= Succ (Succ (Succ Zero))
Вычислим
add two three
Вспомним о частичном применении:
Обобщённые функции | 73
add two three
=>
(add two) three
=>
(foldNat id (Succ . ) (Succ (Succ Zero))) three
Теперь функция свёртки заменит все конструкторы Succ на (Succ . ), а конструкторы Zero на id:
=>
((Succ . ) ((Succ . ) id)) three
Что это за монстр?
((Succ . ) ((Succ . ) id))
Функция (Succ . ) это левое сечение операции (. ). Эта функция, которая принимает функции и возвра-
щает функции. Она принимает функцию и навешивает на её выход конструктор Succ. Давайте упростим это
большое выражение с помощью определений функций (. ) и id:
((Succ . ) ((Succ . ) id))
=>
(Succ . ) (\x -> Succ (id x))
=>
(Succ . ) (\x -> Succ x)
=>
\x -> Succ (Succ x)
Теперь нам осталось применить к этой функции наше второе значение:
(\x -> Succ (Succ x)) three
=>
Succ (Succ three)
=>
Succ (Succ (Succ (Succ (Succ x))))
Так мы получили, что и ожидалось от сложения. За каждый конструктор Succ в первом аргументе мы
добавляем применение Succ к результату, а вместо Zero протаскиваем через id второй аргумент.
Аналогия с числами
С помощью функции композиции мы можем нанизывать друг на друга списки функций. Попробуем в
интерпретаторе:
Prelude> let f = foldr (. ) id [sin, cos, sin, cos, exp, (+1), tan]