Мета уроку: Дати поняття про методи впорядкування табличних величин. Навчити розв’язувати задачі, що потребують сортування.
Теоретичний матеріал
Дуже часто при розв’язуванні задач, пов’язаних з обробкою масивів, необхідно виконувати сортування його елементів за зростанням або спаданням. Такі задачі мають велике практичне значення. Розглянемо деякі з методів, що дають змогу впорядкувати елементи таблиць.
Всі існуючі методи сортування можна поділити на три групи:
• обмінні сортування — виконується обмін між двома (найчастішесусідніми) елементами масивів, якщо відповідні елементи розташовані увихідному масиві невпорядковано; процес повторюється або певну кількість разів, або доки елементи в масиві не стануть впорядкованими;
• методи прямого вибору — в масиві обирається елемент з певнимивластивостями (наприклад, мінімум або максимум), а потім вибранийелемент ставиться на своє місце;
• методи прямої вставки — послідовно вибираються елементи з масивуі після визначення їх місця у впорядкованому наборі даних вставляютьсябезпосередньо на своє місце.
Найбільш відомим обмінним сортуванням є метод «бульбашки».
В ньому при послідовному проході по масиву порівнюються два сусідніх елементи. Якщо їх розміщення є неправильним (наприклад, при впорядкуванні за зростанням лівий елемент більший за правий), виконується взаємообмін елементів. Процес повторюється щонайменше N-1 разів, де N— кількість елементів у масиві.
Найпростіший алгоритм «бульбашки» має наступний вигляд:
Program Bubble; {Сортування за зростанням}
Const N=20;
Var Mas:array[1..N] of integer;
i,j:integer; {i,j — змінні циклу)
Rez: integer; {Rez — додаткова змінна для обміну елементів масиву між собою)
Begin
For i:=1 to N do
For j:=1 to N-l do
If Mas[j]>Mas[j+l] then
Begin
{Обмін елементів масиву через третю змінну)
Rez:=Mas[j]; Mas[j]:=Mas[j+1]; Mas[j+1]:=Rez;
End;
End.
Метод можна модифікувати, зменшуючи діапазон сортування після кожного проходу, адже ясно, що після кожного проходу максимальний елемент масиву буде «спливати наверх», тобто займати спочатку останню позицію таблиці, потім передостанню і так далі:
Програма, що реалізує описаний алгоритм має наступний вигляд:
Program Bubble; {Сортування за зростанням)
Const N=20
Var Mas:агay[1..N] of integer;
і,j:integer; {i,j — змінні циклу)
Rez:integer; {Rez - додаткова змінна для обміну елементів масиву між собою)
Begin
For i:=1 to N do
For j:=1 to N-i do
If Mas[j]>Mas[j+l] then
Begin
{Обмін елементів масиву через третю змінну}
Rez:=Mas[j]; Mas[j]:=Mas[j+1]; Mas[j+1]:=Rez;
End;
End.
Зверніть увагу, що в цьому алгоритмі у вкладеному циклі, що безпосередньо здійснює порівняння елементів, змінна циклу змінюється за іншим законом, ніж у попередньому випадку: від 1 до N-i, де і — змінна циклу зовнішньої команди повторення.
Другий метод модифікації алгоритму «бульбашки» полягає в тому, що ми вводимо додаткову змінну булівського типу (так званий прапорець), яка фіксуватиме при черговому проході була здійснена хоча б одна перестановка елементів чи ні. Адже очевидно, що якщо при черговому проході не відбулося жодної перестановки, то масив уже відсортований і процес перегляду можна припинити. Домовимось вважати прапорець «опущеним» (тобто рівним значенню false), якщо перестановки не відбулося, і «піднятим» (рівним true) — у протилежному випадку. Крім того, як і в попередньому випадку, після кожного проходу по масиву найбільший елемент «спливає» угору, тобто займає своє позицію. Тому вводимо додаткову змінну к, що фіксує праву границю впорядкованості, тобто при першому проході к = 1 і ми впорядковуємо всі елементи від 1 до N-1, на другому проході к = 2 і будуть впорядковуватись усі елементи від 1 до N- 2 (останній елемент уже впорядкований) і так далі. Програма має вигляд:
Program Bubble; {Сортування за зростанням}
Const N=20;
Var Mas:array[1..N] of integer;
i,j,k:integer; {i,j — змінні циклу, k — змінна, що фіксує праву границю впорядкування}
Rez:integer; {Rez — додаткова змінна для обміну елементів масиву між собою}
Flag:Boolean; {Flag — змінна, що фіксує, відбулася перестановка чи ні}
Begin
k:=1;
Repeat
Flag:=false; {Робимо припущення, що масив відсортований, а потім перевіряємо, чи правильним було це припущення, тобто чи немає серед елементів таких, що неправильно розташовані, якщо такі елементи будуть, то ми їх переставляємо і Flag присвоюємо значення true}
For і:=1 to N-k do
If Mas[i]>Mas[i+1]
then
begin
{Обмін елементів масиву через третю змінну}
Rez:=Mas[i];
Mas[і]:=Mas[i+1];
Mas[i+1]:=Rez;
Flag:=true;
End;
k:=k-1;
Until Flag = false;
End.
Другим методом сортування є метод прямого вибору. Один з його різновидів полягає в тому, що вибирається мінімальний елемент масиву, а потім виконується його обмін з першим елементом таблиці. Після цього перший елемент вважається впорядкованим і процес повторюється для підмасиву, що містить на один елемент менше за початковий, тобто елементи з 2-го до останнього. Процес повторюється кожен раз для масиву, зменшеного на один елемент. Закінчується він тоді, коли невпорядкований підмасив стає довжиною в один елемент. Таким чином, загальна кількість повторень дорівнює, як і в попередньому випадку, N-1 (N— кількість елементів масиву). Програма методу наведена нижче:
Program Selection;
Const N=20;
Var Mas:array[1..N] of integer;
і,j, Min,N_Min:integer;
Begin
For i:=1 to N-1 do
Begin
Min:=Mas[x]; {Зберігання еталону мінімуму}
N_Min:=i; {Зберігання номера мінімуму}
For j:=i+l to N do
If Mas[j]<Min
then begin
Min:=Mas[j]; {Перевизначекня еталону}
N_Min:=j; {Зберігання номеру еталону}
end;
{Обмін місцями мінімуму та першого елементу підмасиву}
Mas[N_Min]:=Mas[i];
Mas[i]:=Min;
End;
End.
Зверніть увагу, що пошук мінімуму в програмі організований стандартно, тобто перший елемент береться за еталон, а потім порівнюється з усіма останніми і, якщо новий елемент виявляється меншим за еталон, то еталон переприсвоюється. Крім цього, в алгоритмі запам’ятовується місце знаходження цього мінімального елемента для того, щоб після виходу з циклу можна було обміняти місцями знайдений мінімум і перший елемент підмасиву. Але оскільки підмасив увесь час змінює свій розмір, за еталон береться перший елемент саме того підмасиву, який розглядається на наступному кроці, тобто г’-ий елемент початкового масиву (і — змінна зовнішнього циклу, що вказує на початок нового підмасиву на кожному кроці).
Метод прямої вставки забезпечує вставку кожного елементу невпоряд-кованого масиву на своє місце у вже впорядкований масив. Один з методів такого сортування полягає в наступному. На початку сортування масив розбивається на два підмасиви, лівий з яких повинен бути впорядкованим, а правий — ні. У невідомому масиві тільки один елемент можна вважати впорядкованим, тому спочатку ліва відсортована частина складається всього з одного елементу. Потім по черзі беруться елементи з другої невпорядкованої частини і для них знаходиться місце вставки в першу частину таке, щоб впорядкованість не порушувалась. Це означає, що при сортуванні за зростанням необхідно знайти таке місце в масиві, де лівий елемент буде меншим або рівним тому, що вставляється, а правий — більшим за той, що вставляється. Після цього в масиві необхідно зробити зсув елементів, щоб звільнити місце, на яке і вставити черговий елемент.
Щоб оптимізувати розглянутий алгоритм, можна поєднати зсув елементів з пошуком місця вставляння. Для цього перевірки виконуються в зворотному напрямку від елемента, що потрібно вставити до місця вставки (тобто справа наліво). Оскільки елемент, що вставляється, береться першим з невпорядкованої частини масиву, то ліворуч від нього всі елементи вже впорядковані. Тому фактично необхідно порівнювати даний елемент з усіма лівішими від нього і, якщо даний елемент менший за той, з яким порівнюється, то виконується обмін елементів. Елемент наче «пливе» ліворуч від свого початкового місця розташування, і процес цей припиняється, якщо знайдений елемент не більший за даний або ми досягай початку масиву. Наприклад, даний такий масив:
12 -8 0 30 5 100
Розбиваємо його на дві частини. До першої входить єдиний впорядкований елемент {12}, а до другої—всі останні {-80305100}. Запишемо тепер процес впорядкування по етапах:
І етап: елемент, що впорядковується = - 8.
1) - 8 < 12, тому виконується обмін, тобто після першого кроку масив має вигляд:
-8 12 0 30 5 100
На цьому цикл припиняє свою роботу, тому що досягнуто початку масиву (і= 1).
IIетап: елемент, що впорядковується = 0.
1) 0 < 12, значить виконується обмін, тобто після першого кроку масивмає вигляд:
-8 0 12 30 5 100
2) 0 > - 8, значить обмін не виконується, здійснюється вихід із циклу,масив залишається без змін.
III етап: елемент, що впорядковується = 30.
1) 30 > 12, вхід до циклу не відбувається, масив залишається без змін.
IVетап: елемент, що впорядковується = 5.
1) 5 < 30, виконується обмін, після перестановки масив має вигляд:
-8 0 12 5 30 100
2) 5 < 12, здійснюється обмін, масив набуває вигляду:
-8 0 5 12 30 100
3) 5 > 0, цикл припиняє свою роботу, масив залишається без змін.
V етап: елемент, що впорядковується = 100.
1) 100 < 30, вхід до циклу не відбувається, тому що умова відразу хибна і масив залишається без змін. Програму наведено нижче:
Program Insert;
Const N=20;
Var Mas:array[1..N] of integer;
і,j,Rez:integer;
Begin
For i:=2 to N do
Begin
j:=i; {Цикл працює, доки лівий елемент більший за правий та доки не досягнуто початох масиву}
while (j>1) and (Mas[j]<Mas[j-1]) do
Begin
Rez:=Mas[j]; Mas[j]:=Mas[j-1]; Mas[j-1]:=Rez; j:=j-1;
End;
End;
End.
Домашнє завдання:
• Створити блок-схему запропонованих алгоритмів сортування («бульбашка» — 1-й та 2-й методи, метод прямого вибору, метод прямої вставки).