С постоянным интересом я посещал уроки И. С. Коростелёва по русской литературе. С интересом, и, как я думаю, с пользой, я писал сочинения по русской литературе и по истории. Но моим главным увлечением в восьмом классе гимназии было прочтение и в подлиннике и в нескольких русских переводах «Фауста» Гёте, на всю жизнь сделавшегося одним из наиболее любимых мною произведений мировой литературы. И. С. Коростелёв, а также А. Р. Эйгес, с которыми я делился своими впечатлениями о Фаусте и вызванными им мыслями, побудили меня прочитать в гимназии лекцию о Фаусте. Лекция была открытой не только для учеников нашей гимназии, но и для других смоленских учебных заведений. Пришли на неё и учителя. В общем зал был переполнен и я, что называется, «имел успех». Да я и сам понимал что лекция прошла удачно. В качестве своего рода оппонента после моей лекции выступил А. Р. Эйгес, противополагавший мировоззрение Гёте мировоззрению Достоевского (и Толстого). Вообще же во время моих очень многочисленных и длительных встреч с А. Р. Эйгесом мы говорили не только о математике, но и о литературе, философии, музыке. Александр Романович имел огромное влияние на всё моё духовное развитие и я это влияние чувствовал в течение всей моей жизни.
Весною 1913 года я окончил с золотой медалью гимназию и получил аттестат зрелости. На выпускных экзаменах, шедших по очереди или по алфавиту, или в обратном порядке, мне всегда приходилось отвечать или первым, или последним. Заключительным среди выпускных экзаменов был экзамен по закону Божию и на нём мне пришлось отвечать последним, так сказать, под занавес всей экзаменационной сессии. А сессия эта — первая выпускная сессия нашей гимназии была торжественная, и на заключительном экзамене, кроме представителя учебного округа, были в качестве почётных гостей и губернатор, и епархиальный архиерей.
Мне достался билет о несовместимости православного нравоучения с этикой социализма, относящийся к курсу последнего, восьмого класса гимназии (курс этот так и назывался «православное нравоучение»). У меня не было даже учебника по этому курсу, но я хорошо знал катехизис, изучавшийся в пятом классе, и у меня была привычка к аксиоматическому мышлению. Поэтому мне было легко извлечь из катехизиса основные нравственные аксиомы и, подкрепляя их подходящими текстами, т.е. цитатами (искусство, которым я с юных лет обладал и которое сослужило мне хорошую службу), ответить более или менее на всякий вопрос, относящийся к православному нравоучению (и не только к нему). В частности, мне было легко ответить и на вопрос, стоявший в моём билете. Естественно, я получил пятёрку.
В связи с этим вспоминаю, что на уроках закона Божия моей постоянной ролью было, когда кто-либо из моих товарищей не знал урока, задать какой-нибудь сложный богословский вопрос и завести в связи с ним разговор (а наш законоучитель — умный, добрый и обладавший чувством юмора, — любил такие разговоры) и затянуть его так долго, что раздавшийся звонок уже спасал попавшего в беду товарища.
Итак, экзамены на аттестат зрелости, а с ними и гимназия отошли в прошлое, оставив у меня воспоминание о гимназии, как о светлом и радостном времени моей жизни.
В июне 1913 г. в Смоленске, в летнем театре Лопатинского сада (ныне парк культуры и отдыха) гастролировала какая-то оперная труппа. Её общий художественный уровень не превосходил обычного для таких трупп, но в ней участвовали один или два хороших певца, в частности, действительно великолепный баритон Камионский. При постановке «Евгения Онегина» произошёл следующий случай, о котором потом много вспоминали: у артистки, певшей Татьяну, не оказалось в сцене петербургского бала берета малинового цвета, и она вышла на сцену в зелёном берете. Исполнявший партию Онегина Камионский вышел из затруднения, спев свою фразу так: «Кто там в зелёновом берете с послом испанским говорит». Музыкальный ритм фразы и сценический реализм были таким образом спасены. Так в начале лета 1913 г. я и услышал впервые оперы «Евгений Онегин» и «Пиковая дама». Я получил от них огромное впечатление и оперы эти стали моими самыми любимыми на всю жизнь. Потом я их слушал без конца и в самых лучших исполнениях. Но впервые и на всю жизнь я был ими очарован, когда слушал их в театре Смоленского Лопатинского сада.
В один из первых дней сентября 1913 г. я стал студентом математического отделения Московского университета, с которым с того дня и оказалась связанной вся моя жизнь. Поступая в университет, я думал посвятить свою жизнь математике и своим ученикам (что и произошло на самом деле), но предполагал при этом, что буду преподавателем гимназии, как и мой учитель Александр Романович Эйгес. Лишь в это последнее предположение судьба внесла свои поправки.
Прощаясь сейчас с моей доуниверситетской жизнью, т.е. с моим детством и гимназическими годами, я не могу не сказать, что вся эта моя ранняя юность была действительно «лёгкой» и безоблачно счастливой (только
Но прежде, чем перейти к университетскому периоду моей жизни, я хочу ещё раз оглянуться на гимназию, и вообще на Смоленск. Я уже говорил, что у меня в гимназии были хорошие учителя. Чеховских «человеков в футляре» среди них не было. Единственной неудачей среди моих учителей я считаю свою учительницу немецкого языка в четвёртом и в пятом классах. Она требовала от нас только механического заучивания грамматических правил, в особенности же зубрежки наизусть всех шести классов глаголов так называемого сильного спряжения. В применении ко мне её уроки имели своим единственным последствием постепенное (к счастью, медленное) забвение знания немецкого языка, приобретённого мною в раннем детстве дома.
Зато очень повезло мне с учительницей немецкого языка в восьмом, последнем классе гимназии. Эта учительница, Лилли Рейнгольдовна Ридек, не только превосходно знала свой родной язык и его классическую литературу, но с увлечением преподавала его и искренне стремилась к тому, чтобы мы, её ученики, не только в достаточной степени овладели им, но и, если не полюбили его, то, во всяком случае, заинтересовались бы им. Лилли Рейнгольдовна решила силами своих учеников–восьмиклассников поставить на немецком языке спектакль: шиллеровскую драму «Вильгельм Телль». Я в этом спектакле должен был играть довольно трудную и считавшуюся ответственной роль Вальтера Фюрста. Сначала всё шло благополучно и мы провели несколько репетиций. Но потом участие в подготовке спектакля стало мне в тягость. Вероятно, я почувствовал отсутствие во мне всяких актёрских способностей, и это, наверное, и тяготило меня. Возможно, что основная причина моего нежелания дальнейшей работы над подготовкой спектакля заключалась в том, что именно в это время я горячо увлёкся гётевским Фаустом, всё время читал его и по-немецки, и в русских переводах, и чуть ли не бредил им. Кроме того, я, действительно, с увлечением и серьёзно занимался «высшей» математикой, и у меня не оставалось больше ни свободного времени, ни энергии. Мне, правда, было не до Вильгельма Телля. Как бы то ни было, я отказался от дальнейшего участия в спектакле и этим очень огорчил Лилли Рейнгольдовну. Не сразу до моего сознания дошло, что сорвав таким образом спектакль, с такой любовью подготовляемый Лилли Рейнгольдовной, я дурно поступаю прежде всего по отношению к ней, и что моему поступку, в сущности, нет никакого оправдания. Все эти мысли только значительно позже пришли ко мне, но зато долгое время мучительно преследовали меня. Я посещал и по окончании гимназии Лилли Рейнгольдовну у неё дома; она жила в небольшом деревянном доме в глухой, но очень живописной части Смоленска, сплошь состоявшей из садов, где-то в переулке так называемой Воскресенской горы. Мы много и хорошо беседовали с Лилли Рейнгольдовной о разных вещах, беседовали всегда по-немецки. К своеобразиям Лилли Рейнгольдовны относилось то, что она держала в своём саду трёх ручных сов, каждая из которых имела свою просторную клетку. Все эти совы каждую ночь отпускались на свободу, а утром добровольно возвращались домой и располагались в своих клетках, где у них всегда было много всякого корма.
Я назвал выше нескольких из своих гимназических учителей, которых считаю интересными людьми, во всяком случае, не обывателями, о которых ни сказки не расскажешь, ни песни не споёшь.
И. С. Коростелёв принадлежал к тем славным русским словесникам, которые, говоря словами Салтыкова-Щедрина, «паче всего любили родную литературу», для которых эта литература была неотделима от русской гражданственности, а её преподавание — от воспитания юношества в духе передовых
Молодые люди, входившие в эту группу, были тесно связаны с И. С. Коростелёвым; он заботился о них и любил их. Но И. С. Коростелёв любил и меня, поддерживая мои широкие литературные интересы, хотя они были довольно далеки от его собственных. Ведь я был учеником А. Р. Эйгеса не только в математике, я находился под его большим влиянием и в области своих литературных, эстетических и философских вкусов. А. Р. Эйгес дал мне прочитать книжку Брюсова «Испепелённый», посвящённую Гоголю, а также книги Мережковского о Гоголе, Толстом и Достоевском. Всё это была критическая литература, совершенно нового для меня стиля, не похожая на русских критиков-классиков, и эта литература произвела на меня огромное впечатление, сказавшееся и на том, как я теперь писал свои ученические сочинения по русской литературе в восьмом классе. Считаю своим долгом отметить, что И. С. Коростелёв, от которого мои новые точки зрения были очень далеки, проявил по отношению к ним полную широту и терпимость и по-прежнему ставил мне пятёрки за мои сочинения. Мои братья Сергей и Иван, ещё когда были гимназистами, с увлечением занимались музыкой в смоленской музыкальной школе В. Э. Клина, Сергей учился у преподававшего в этой школе пианиста А. К. Добкевича, который сам был учеником знаменитого пианиста Лещетитского, и сделался впоследствии профессором сначала Киевской, а потом Варшавской консерватории. Мой брат Иван учился скрипке у Владимира Эрнестовича Клина, хорошего скрипача и хорошего музыканта, кончившего курс Московской консерватории у известного профессора Гржимали. В. Э. Клин был директором своей музыкальной школы в Смоленске.
Другим центром музыкального образования в Смоленске, правда, лишь в области фортепианной музыки, был фортепианный класс Евгении Ильиничны Гуревич, окончившей с медалью Петербургскую консерваторию у известной пианистки Малоземовой, ученицы Антона Рубинштейна. Из фортепианного класса Е. И. Гуревич, в частности, вышел И. Михновский, впоследствии окончивший аспирантуру у К. Н. Игумнова и ставший известным пианистом; Михновский, уже будучи известным музыкантом, всегда считал себя учеником Е. И. Гуревич. Картина музыкальной жизни Смоленска была бы не полна, если бы я не упомянул о проживавшей в нём превосходной виолончелистке Юлии Николаевне Сабуровой, когда-то учившейся у знаменитого виолончелиста Вержбиловича, затем концертировавшей и в России, и за границей.
В Смоленске часто случались концерты самых выдающихся музыкантов. Среди них были: певцы Собинов и Шаляпин, скрипачи Сарасате, Кубелик, Губерман, пианисты Гофман, Падеревский, Рахманинов, Петри, знаменитый дирижёр Артур Никиш, давший в Смоленске концерт со своим оркестром, и многие другие. Эти многочисленные выступления выдающихся музыкантов, конечно, многое вносили в музыкальную жизнь Смоленска и выделяли его среди многих других губернских городов России. Вероятно, основной причиной такой интенсивной артистической жизни города являлось его исключительно выгодное географическое положение на главной железнодорожной артерии, соединявшей Москву с западной Европой. Очень легко было по пути в одном из двух направлений этой артерии задержаться на вечер в Смоленске, дать концерт и потом ехать дальше.
Я с детства слышал дома довольно много музыки. Моими самыми первыми музыкальными впечатлениями, относящимися, наверное, к возрасту 4–5 лет, были: какая-то бальная мазурка и известный музыкальный момент Шуберта,как-то прекратились. Меня пробовали учить игре на фортепиано в 1909–1910 гг., когда я уже поступил в гимназию. Уроки фортепиано стал мне давать брат Сергей, из которого к этому времени уже образовался хороший пианист.
И брат Сергей и сестра Татьяна учились с увлечением музыке у упомянутого выше пианиста А. К. Добкевича. Добкевич умел и любил кружить головы своим ученикам, суля им артистическую будущность. Его ученики с увлечением относились к его преподаванию и преклонялись перед ним. Со всем этим я впоследствии на гораздо более высоком уровне познакомился сам, но уже не в музыкальной, а в математической школе Н. Н. Лузина.
Что касается репертуара, который Добкевич давал своим «продвинутым» ученикам, то тут были, конечно, сонаты Бетховена, но было мало Баха и Моцарта, был и Лист, был и Шуман, но особенное предпочтение отдавалось Шопену. Мои братья Иван и Сергей оба готовили себя к профессиональной артистической деятельности и в соответствии с этим с пренебрежением относились к любительским занятиям музыкой. Этому содействовало и то, что камерная музыка в школе Клин не культивировалась. В результате у учеников Добкевича при всех их пианистических успехах серьёзной музыкальной культуры всё же не доставало. Пренебрежение любительскими занятиями музыкой по моей четырнадцатилетней глупости коснулось и меня, а мои первые уроки музыки совпали с периодом моего увлечения занятиями по геометрии в гимназии у А. Р. Эйгеса. В результате я заявил, что хочу сделаться математиком, что поэтому на занятия математикой отдам настолько много времени и сил, что их уже заведомо не достанет на то, чтобы ещё серьёзно учиться музыке, и я решил бросить занятия музыкой и настоял на выполнении этого решения. Оно было, как я понял только много лет спустя, вероятно, одной из величайших, если не величайшей из всех глупостей, сделанных мною в жизни.
Первый семестр в университете, т.е. осень 1913 г., был скорее разочарованием после радостной и столь полной содержанием гимназической жизни. Всё, что нам рассказывали по математике на первом курсе, было мне известно, и как мне казалось, — известно в гораздо лучшем виде, чем тот, в котором математика первого курса нам тогда преподносилась. И я не знаю, так ли я был неправ. Но я нашёл для себя выход. В уютном круглом читальном зале университетской математической библиотеки я добрался до мемуаров Кантора по теории множеств и начал их с упоением читать. Одной из последних математических книг, данных мне в гимназии А. Р. Эйгесом, был курс анализа Ковалевского и в какой-то степени он познакомил меня с первыми зачатками теоретико-множественной мысли. Но когда я в подлиннике стал читать Кантора и узнал, что такое трансфинитные числа, передо мной также, как когда-то при первом знакомстве с неевклидовой геометрией, открылся новый мир и я испытал состояние восторга. Это же состояние я испытал, когда по книжке Бэра, данной мне В. В. Степановым, познакомился с канторовым совершенным множеством, которое сразу воспринял и с тех пор всегда воспринимаю как одно из величайших чудес, именно чудес, а не чего-либо иного, открытых человеческим духом.
Когда я проходил свой первый семестр, Д. Ф. Егоров читал (для студентов старших курсов) интегральные уравнения и вариационное исчисление. Лекции по этим предметам я слушал у него позже, когда уже сам перешёл на соответствующие семестры. Из моих однокурсников я ближе всех познакомился
М. Я. Суслин уже в самые ранние студенческие годы проявил себя как интересный и своеобразный человек. Уже в 18–19 лет он составил себе особую программу своего дальнейшего интеллектуального развития. Математика была только началом этой программы. Вторым этапом должны были быть физика и химия, за которыми должна была последовать биология. В качестве завершения программы мыслилась медицина, которой М. Я. Суслин и предполагал посвятить всю свою дальнейшую жизнь. Как мы увидим позже, дальше первого шага в осуществлении своей программы Суслин не пошёл. Он умер математиком, ярким и своеобразным математиком, одним из создателей современной дескриптивной теории множеств, в 1919 г. в возрасте 25 лет от сыпного тифа.
В студенческие годы среди математиков моим самым близким другом был старший меня на семь лет Вячеслав Васильевич Степанов. Мы стали действительно очень близкими друзьями, а разница в возрасте выражалась только в том, что В. В. Степанов в мои студенческие годы давал мне много полезных математических советов и в значительной степени руководил моим общим математическим образованием, не давая мне замкнуться только на непосредственно интересовавших меня вопросах теоретико-множественного характера. Следуя советам В. В. Степанова, я весною 1914 года стал участником математического семинара Д. Ф. Егорова, который в этом году имел своей темой бесконечные последовательности.
Работа в семинаре Д. Ф. Егорова велась в нескольких параллельных группах. Первая, самая элементарная, занималась числовыми последовательностями и рядами, вторая группа (я входил именно в неё) называлась: последовательности функций. Здесь изучались работы Осгуда, Асколи, Арцела о равномерной и неравномерной сходимости, а также самое начало классификации Бэра. Третья группа была посвящена расходящимся рядам, четвёртая — сходимости в среднем и гильбертову пространству, пятая — сходимости по мере и различным дополнительным вопросам, в частности, здесь была и теорема Егорова, доказанная два года назад и примыкающие к ней новейшие результаты.
Каждая группа готовила один или два доклада, которые делались на соответствующем пленарном собрании семинара. Семинар Д. Ф. Егорова занимал видное место в математической жизни Москвы, на его пленарные собрания приходили, как правило, все математики Москвы, активно занимавшиеся или следившие за развитием науки и собрания эти в некотором роде конкурировали с собраниями Московского математического общества. Собрания отдельных групп происходили на квартире у Дмитрия Федоровича и имели, так сказать, камерный, интимный характер. Мой доклад на общем собрании семинара был посвящён классификации Бэра, и с него и начались мои систематические занятия этим кругом вопросов: я принялся за серьёзное изучение знаменитого большого мемуара Лебега о функциях, представимых аналитически, и за размышления, с ним связанные, например, об условиях, когда последовательность функций данного класса имеет предельную функцию не большего класса.
В моей жизни я как следует прочитал очень небольшое число математических книг и работ. Среди них были: уже упоминавшиеся книжка Бэра
Ещё с лета 1913 г. я привык заниматься математикой под музыку моих братьев, пианиста Сергея и скрипача Ивана; я забирался в комнату, в которой кто-нибудь из них разучивал свою музыку и мне очень нравилось заниматься там. В это лето мои братья разучивали вместе первую скрипичную сонату Грига, и не только много играли каждый свою партию, но много репетировали её вместе и это было мне особенно приятно. В результате все мои первые занятия дескриптивной теорией оказались для меня связанными с первой скрипичной сонатой Грига. Но ещё гораздо большую роль сыграла в моей жизни третья скрипичная соната Грига, которую мои братья разучивали летом следующего 1915 г.
Всё моё настроение летом 1914 г. находилось под впечатлением сначала надвигавшейся, а потом разразившейся войны. Я её воспринимал как страшную трагедию для всего человечества. Как трагедию я воспринимал прежде всего самую неспособность так называемых великих держав предотвратить разразившееся мировое побоище. Лето 1914 г. было засушливое, кругом горели леса и запах гари вносил ещё и свой дополнительный оттенок в общее и без того мрачное настроение.
Летом 1915 г. я взял себе очень хорошо оплачиваемый частный урок. Мои родители сначала возражали против этого урока, но я настоял на своём. У меня было твёрдое правило: деньги, получаемые от родителей, я тратил только на то, чтобы жить в Москве в хорошей комнате и иметь безукоризненно доброкачественный стол. Все остальные свои расходы: на одежду, на книги, на развлечения (т. е. на театральные и на концертные билеты, составлявшие в общем не такую уж малую сумму — я не пропускал ни хороших концертов, ни хороших театральных постановок) считал необходимым покрывать из собственного заработка и поэтому в студенческие годы всегда давал частные уроки.
Летом 1915 г. я готовил одного молодого человека на аттестат зрелости и для этого должен был через день ездить из Ярцева в Смоленск и заниматься часа три с моим учеником, который был всего на два года моложе меня. Летом 1915 г. хлынула волна беженцев из западных губерний России, и Белорусская (тогда называвшаяся Александровской) железная дорога, на которой лежит Ярцево, была крайне переполнена, а движение на ней сделалось очень нерегулярным. Случалось, что поезд, которым я со своего урока должен был возвращаться к себе домой в Михеево, вместо восьми часов вечера отходил в час ночи и соответственно приходил в Ярцево в третьем часу утра. В этих случаях я остаток ночи проводил на сеновале и потом сразу шёл купаться. Такие утра мне очень нравились.
Вообще же лето 1915 г. было одним из замечательнейших в моей жизни. Оно представляло собой один из моментов наивысшего жизненного подъёма, который я когда бы то ни было испытал. Дело в том, что в это лето я получил свой первый действительно значительный научный результат: я решил проблему мощности борелевских множеств и построил в связи с этим так называемую А-операцию. Если иметь в виду не построение целых математических теорий, а именно отдельные результаты, то мой результат о борелевских множествах был не только моим первым, но, вероятно, и одним из самых значительных за всю мою жизнь. Его субъективное переживание мною, переживание самого приведшего к нему творческого акта, или, вернее, творческого процесса (ибо длился он всё лето) было тоже ни с чем не сравнимо. Я уже сказал, что мои братья в это лето разучивали третью скрипичную сонату Грига (c-moll); я занимался под эту сонату и она таким образом
Всё, что было со мною в это лето — и напряжённые размышления, и внезапные интуитивные озарения, и переполненные поезда, и купанье на рассвете, и соната Грига — всё сливалось в одно, и этим одним была наполнена до краёв чаша жизни и переживание радости этой жизни и того восторга, который влила в неё математика, которую я уже не только воспринимал, но и активно начал строить.
Задача решить вопрос о мощности борелевских множеств была мне поставлена Н. Н. Лузиным весною 1915 г., после того как я передоказал уже известный результат о мощности всех множеств типа Fσδ.
С Н. Н. Лузиным я познакомился осенью 1914 г., после того как он вернулся из длительной научной заграничной командировки. О моём чрезвычайно сильном впечатлении от первой встречи с Н. Н. Лузиным рассказано в моей лекции «О призвании учёного», изданной отдельной брошюрой и перепечатанной во втором томе моих сочинений 1.
Взявшись за решение поставленной мне Лузиным общей проблемы, я начал с частного случая борелевских множеств низших классов и стал доказывать, что всякое несчётное множество типа Fσδσδ. (я их называл множествами четвёртого класса) имеет мощность континуума. При решении задачи в этом частном случае уже полностью выявилась и общая идея. Фактически было доказано, что всякое множество упомянутого класса может быть получено применением A-операции к замкнутым множествам и затем было доказано, что всякое несчётное A-множество содержит совершенное множество. Однако когда я сообщил свою идею доказательства Н. Н. Лузину, он отнёсся к ней с недоверием и стал меня убеждать в том, что мой план доказательства ни к чему, кроме множеств Fσδ, привести не может. Любопытно, что когда много лет спустя, в 1923 г.Урысон и я стали излагать A-операцию (ставшую к тому времени, как нам казалось, общим достоянием теории множеств) известному математику Каратеодори, издавшему перед тем свою книгу по теории множеств и функций, то Каратеодори стал с полной уверенностыо доказывать нам, что всякое А-множество в действительности есть множество типа Fσδ. Значит, при всей простоте понятия A-операции было в нём что-то, создававшее какие-то психологические трудности при первом с ним ознакомлении. Конечно, вполне возможно и то, что моё первое изложение идеи доказательства было недостаточно чётким и оправдывало скептицизм Н. Н. Лузина. Но, так или иначе, скептицизм этот был полный и Н. Н. Лузин рекомендовал мне в отмену моего плана решать задачу в противоположном смысле и пытаться строить борелевское множество мощности 0א. К счастью, я не послушался на этот раз своего учителя. К концу лета мне удалось провести своё доказательство в полной общности и во всех деталях. Первый человек, которому я его подробно рассказал и который проверил его со всей самой придирчивой строгостью, был В. В. Степанов, как никто умевший критически разбирать доказательства в любой известной тогда области математики. Затем доказательство было рассказано И. И. Привалову
С того самого времени, когда Лебег в своём знаменитом мемуаре 1905 г. провозгласил, что в математике фактически не существует множеств, кроме борелевских, вопрос об их мощности воспринимался как один из центральных во всей теории множеств и его решение рассматривалось как большое открытие. На мой доклад 13 октября 1915 г. в студенческом математическом кружке пришли даже такие маститые профессора как Л. К. Лахтин и Б. К. Млодзеевский. Были на моём докладе Д. Ф. Егоров и Н. Н. Лузин, а также и все молодые математики, начиная с В. В. Степанова и И. И. Привалова и все интересующиеся математикой наши студенты. Среди них был и П. С. Урысон, только что поступивший в университет. С ним я тогда впервые познакомился. Впервые я познакомился в этот день и с В. К. Серпинским. Он уже находился тогда в Москве и тоже пришёл на мой доклад в студенческом математическом кружке. Суслина я в эту осень увидел впервые тоже на своём докладе. Естественно, что как только мы наконец встретились, я рассказал ему во всех подробностях о своих результатах. Мы стали без конца говорить о связанных с ними вопросах. Часто в наших разговорах принимал участие и В. В. Степанов, всегда живо откликавшийся на всё, что происходило в тогдашней московской математике. Тогда же именно Суслин предложил назвать новую построенную мною теоретико-множественную операцию А-операцией, а множества, получающиеся её применением к замкнутым множествам, А-множествами. Он подчеркнул при этом, что предлагает эту терминологию в мою честь по аналогии с борелевскими множествами, которые уже тогда стало принято называть В-множествами.
Эта касающаяся меня терминологическая деталь была по живым следам отмечена в статьях М. А. Лаврентьева и Л. А. Люстерника, посвящённых истории Московской математической школы, а позже и в статье Л. В. Келдыш. Мне этот вопрос о моём приоритете в данном случае никогда не был безразличен, ведь он касался моего первого и (может быть, именно поэтому) самого дорогого мне результата.
Много лет спустя Н. Н. Лузин стал называть A-множества аналитическими множествами и стал, вопреки хорошо известным ему фактам, утверждать, что термин A-множество есть лишь сокращение от «аналитические множество». Но к этому времени мои личные отношения с Н. Н. Лузиным, когда-то глубокие и проникновенные, были, по существу, утрачены.
Как только было доказано, что всякое B-множество является A-множеством, естественно возник вопрос, не является ли обратно всякое A-множествоB-множеством. Именно об этом вопросе и шла, конечно, речь в беседах, которые тогда велись в Москве в связи с моей работой. Легко было доказать, что всякое A-множество есть пересечение B-множеств, взятых в числе 1א, или что всякое множество, дополнительное к A-множеству, есть сумма 1א борелевских слагаемых. Это знали и я, и Суслин и, конечно, Н. Н. Лузин. Весь вопрос был в том, не обрывается ли этот процесс трансфинитного суммирования уже на счётном шаге. Я посвятил всю зиму 1915–1916 гг. и всё следующее лето доказательству того, что этот обрыв действительно происходит. Мои чрезвычайно упорные размышления прекратились только тогда, когда ранней осенью 1916 г. стало известным, что Суслин этим же летом построил пример А-множества, не являющегося В-множеством и этим открыл новый этап в развитии всей дескриптивной теории множеств.
Когда Урысон и я летом 1924 г. были у Хаусдорфа и говорили с ним много, в частности, и о дескриптивной теории множеств, Хаусдорф в упор задал нам вопрос: как же надо называть новые множества, которые Лузин всюду пропагандирует под названием аналитических? Я твёрдо ответил Хаусдорфу, что Суслин (уже умерший почти 5 лет назад) был первым математиком,
В январе 1917 г. в Comptes Rendus Парижской Академии наук была опубликована отредактированная Н. Н. Лузиным и переведённая им на французский язык заметка Суслина, в которой излагались его замечательный пример А-множества, не являющегося борелевским, а также основные теоремы теории А-множеств. Заметка имеет непонятное заглавие «Определение борелевских множеств без трансфинитных чисел». Это заглавие было бы уместно, если бы Суслин доказывал совпадение классов A- и B-множеств, а не наоборот, различие этих классов.
Зиму 1915–1916 гг. мы с Сашей Богдановым прожили вместе, снимая комнату со столом в Хлебном переулке. К весне студентов начали призывать и направлять в военные училища, имея в виду последующее по окончании училища производство в офицеры. В военное училище поступил и Саша. Окончив его в начале 1917 г. он офицером был отправлен в воинскую часть — сначала пехотную, но скоро был переведён в артиллерийскую часть, расквартированную в маленьком городке Новгород-Северске Черниговской губернии. Что касается меня, то после проведённого в Михееве лета 1916 г. я поселился у своего брата Михаила Сергеевича, у которого прожил до конца 1917 г., лишь на лето уезжая в Михеево.
В самом конце 1917 г. я переселился от брата на Зацепу, где мне удалось снять хорошую комнату с полным пансионом в семье железнодорожников. В то время уже начавшихся продовольственных затруднений это было большой удачей. Всю эту зиму я преподавал в двух женских гимназиях: в гимназии С. Н. Фишер, помещавшейся в одном из переулков Остоженки (ныне Метростроевская) и в гимназии Винклер на Чистых прудах. Мои уроки в обеих этих гимназиях имели такое расписание, что заполняли 4 дня в неделю. В эти дни я с раннего утра отправлялся пешком (трамваи практически не ходили) сначала по улице Садовники (теперь улица Осипенко) через Устьинский мост на Чистопрудный бульвар в гимназию Винклер. Дав там свои уроки, я далее отправлялся (тоже, конечно, пешком) по Мясницкой (ныне улица Кирова) через центр Москвы и далее на Остоженку в гимназию Фишер. После занятий я шёл по Крымскому валу и Замоскворецкой части Садового кольца к себе на Зацепу. Домой я возвращался только к вечеру и вечером иногда ещё давал частный урок у себя дома. Остаток вечера я занимался только чтением «Войны и мира» и прочитал всю эту книгу с начала до конца с большим увлечением.
В качестве научной проблемы для размышлений Н. Н. Лузин поставил передо мною не более и не менее как континуум-проблему в её общей формулировке. Я стал думать над ней все имевшиеся для математических занятий три дня в неделю. Я сформулировал для себя следующую аксиому, казавшуюся мне несомненно верной: каждому трансфинитному числу α можно поставить в соответствие такое число μ(α) < α, что различным α всегда соответствуют различные μ(α). Приняв эту аксиому, я получил, как мне кажется, совершенно аккуратное доказательство того, что мощность континуума равна мощности 1א. У меня не было и нет оснований сомневаться, что все рассуждения, сводящие континуум-проблему к моей аксиоме, были правильными. Записав с полной тщательностью своё доказательство (оно заняло целую довольно толстую тетрадь), я стал думать об утверждении, принятом мною за аксиому. Через несколько дней этих размышлений я убедился в том, чтофункции μ(α) заведомо не может существовать. Полученное мною (на этот раз уже верное) предложение было впоследствии мною даже опубликовано в виде дополнительного замечания к совместному с П. С. Урысоном мемуару «О компактных топологических пространствах». Это предложение о трансфинитных числах разными авторами усиливалось и вошло, например, в известный учебник Бахмана.
Мне стало ясно, однако, что моя работа над континуум-проблемой кончилась тяжёлой катастрофой. Я почувствовал также, что уже не могу перейти в математике, так сказать, к очередным делам, и что в моей жизни должен наступить какой-то решительный перелом. В это время я получил письмо от Саши Богданова, приглашавшее меня приехать в Новгород-Северск, где он остался после демобилизации той воинской части, в которой он служил. Терять мне было нечего и я принял приглашение Саши Богданова.
В Новгород-Северске Саша Богданов сразу же ввёл меня в семейство Ассинг, в котором сам чувствовал себя как дома. Семейство это состояло из двух сестёр лет пятидесяти и немногим более молодого женатого брата. Из сестёр Ассинг одна была хорошим врачом, лучшим представителем своей профессии в городе, другая была увлечённым педагогом дошкольного воспитания и руководила детским садом. Брат, Анатолий Анатольевич Ассинг, был типичным чеховским интеллигентом из разорившихся (да и всегда не очень богатых) дворян, человеком без определённой профессии. В последнее время он занимался фотографией, причём преимущественно цветной, находившейся тогда в зачаточном состоянии. Однако подлинным и притом действительно горячим увлечением Анатолия Анатольевича, заполнявшим всю его не очень устроенную жизнь, был театр. У А. А. Ассинга было много знакомых среди артистов московских Художественного и Камерного театров. Знакомства эти сложились у него ещё смолоду, до революции. Среди артистических знакомых Ассинга надо прежде всего назвать крупного артиста Художественного театра Илью Матвеевича Уралова, бывшего в течение многих лет в Художественном театре бессменным исполнителем роли городничего в гоголевском «Ревизоре». Уралов был сам родом из Новгород-Северска и в 1918 г. жил там. Из артистов-художественников хорошим знакомым А. А. Ассинга был и Н. Г. Александров, а из артистов Камерного театра особенно Церетели. Они и другие артисты обоих названных театров были частыми гостями дома Ассингов в предреволюционные годы и в первые годы после Октябрьской революции. В частности, летом 1918 г. я познакомился у Ассингов в Новгород-Северске с руководителем Камерного театра Александром Яковлевичем Таировым. При таких условиях любительский театр Ассинга, не имел недостатка в консультантах, да и в хороших артистах — гастролерах. Вскоре после моего приезда в Новгород-Северск летом 1918 г. я застал в ассинговском театре постановку «Ревизора» с Ураловым в роли городничего, женой Уралова (тоже профессиональной актрисой) в роли Анны Андреевны и Сашей Богдановым в роли Хлестакова. У Саши были несомненные артистические способности и (как считал, в частности, такой авторитетный судья как И. М. Уралов) Хлестакова Саша сыграл превосходно. Впоследствии ему пришлось играть Алешу Карамазова в постановке «Братьев Карамазовых» артистами Художественного театра. Я никогда не имел ни артистических способностей, ни склонностей; но я пробовал свои силы на режиссёрском поприще и моим высшим достижением на нём стала постановка «Привидений» Ибсена, которые я после этого всю жизнь знал почти наизусть. Но «Привидения» я ставил уже в Чернигове.
Весною 1919 года мы с Сашей Богдановым уже были привлечены к организации Черниговского советского драматического театра: Саша в качестве актёра, а я в должности руководителя театральной секции подотдела искусств Черниговского отдела народного образования. На должность главного
Весной 1919 г. Саша Богданов обвенчался с приехавшей для этой цели в Чернигов из Новгород-Северска Юлией Ивановной Лакида. Семейство Лакида было коренным новгород-северским семейством, проживавшим дом о дом с Ассингами. Оба семейства находились между собою в большой дружбе и постоянном общении. Семья Лакида состояла из родителей, каждому из которых было свыше 60 лет, одного сына и четырёх дочерей. Юлия Ивановна была одной из младших среди них.
Такую сердечность и доброжелательность к людям, такое гостеприимство как в доме Лакида, редко где встретишь. Всё в этом доме было лирично, старомодно и патриархально, а часы в этом доме прежде чем начать бить, хрипели, свистели и гудели на столь многие голоса, точно собирались рассказывать длинную повесть из гоголевских времен. С Лакидами и я, и ещё до меня Саша Богданов близко познакомились, когда жили в Новгород-Северске, и тогдашняя Сашина дружба с Юлией Лакида нашла своё естественное завершение в заключённом теперь браке.
В разгар лета 1919 г. в Чернигов на несколько дней приезжал Л. В. Собинов. Он приехал из Киева, где был заведующим отделом искусств Украинского народного комиссариата просвещения. Наш Черниговский подотдел искусств находился в подчинении Украинского отдела, так что Собинов был нашим прямым начальником. Он и приехал в Чернигов для ознакомления с постановкой у нас театрального дела, так сказать, как ревизор. Под председательством Собинова состоялось заседание, на котором я, как заведующий театральной секцией, сделал отчётный доклад. Собинов интересовался всеми деталями жизни нашего театра, предлагал в нужных случаях свою помощь и, вообще, докладывать ему о нашем театре было очень приятно. Во всей его манере себя держать у Собинова не было и тени того, что он — значительное начальствующее лицо, ни того, что он — великий артист. Большей простоты и скромности в обращении, в частности, с нами, совсем молодыми людьми, участвовавшими в этом заседании, трудно было себе представить. В заседании участвовал, конечно, и К. Т. Бережной, которого Собинов знал по Киеву.