Казанская зима была и временем большого подъёма дружеских отношений между Л. С. Понтрягиным и мною. Мы часто и очень хорошо встречались и много разговаривали на самые разнообразные темы. Встречался я всегда очень хорошо и с Андреем Николаевичем Тихоновым и его женой Натальей Васильевной. Очень часты и сердечны были мои встречи с Абрамом Исаковичем Алихановым и его братом Артёмом Исаковичем Алиханяном, известными среди их друзей под сокращёнными именами Абуша и Артюша. Жена Абуши, Слава Соломоновна Рошаль, о которой я уже упоминал выше как о превосходной скрипачке (в частности, Ойстрах очень ценил её игру), заболела в Казани сыпным тифом и по выздоровлении должна была совсем коротко остричься и выступала в концертах, имея на голове чёрный бархатный берет, что, впрочем, очень шло к ней. Кроме С. Рошаль, я много слушал в Казани пианистку Миклашевскую, выступления которой организовывала Наталья Николаевна Семёнова, вокруг которой всегда было много музыки. Сама Наталья Николаевна хорошо играла на фортепиано. С нею, как и с её мужем академиком Николаем Николаевичем Семёновым, я был знаком ещё по Батилиману.
Теперь, забегая на много лет вперёд, скажу несколько слов о моих последующих встречах с Алихановым в их московском доме, когда А. И. Алиханов был уже академиком, директором одного из крупнейших физических институтов. Алихановы занимали прекрасный особняк при возглавляемом Алихановым институте в Черёмушках, войти в который можно было только через проходную будку под строгим контролем. Как далеко это было от той каморки под лестницей, которую они занимали в Казани! В этом особняке кроме Абрама Исаковича и Славы Соломоновны проживал и их сын Тигран (родившийся в Казани или вскоре после Казани). Ко времени моего посещения Алихановых в Москве Тигран был уже известным пианистом, лауреатом Международного конкурса в Париже. Подрастала и дочка, тоже скрипачка, как и её мать. Дом был полон музыки. Вспоминаю один вечер, проведённый мною у Алихановых вместе с академиком-физиком Игорем Евгеньевичем Таммом, тоже большим любителем музыки. После ужина Тигран весь вечер играл сонаты Бетховена. Особенно мне понравилось его исполнение пятой сонаты. А Слава Соломоновна изумительно сыграла соль-минорную сонату Баха для скрипки соло. Редко можно встретить людей так страстно, так горячо любящих музыку, как А. И. Алиханов, и как много прекрасной музыки мог он слышать у себя дома. Недаром решение вступить в брак было принято Алихановым в Батилимане под звуки скрипичной сонаты Грига (замечу, что это была та самая третья соната, под которую я в 1915 г. доказал свою первую, и может быть, лучшую математическую теорему).
В 1964 г. было торжественно отпраздновано столетие 7 Московского математического общества. После официального заседания с моим вступительным докладом и доклада А. Г. Куроша (о последних 30 годах жизни Общества) состоялся концерт в актовом зале Московского университета, на котором С. Рошаль и Тигран Алиханов сыграли «Крейцерову сонату» Бетховена, а Тигран ещё «Аппассионату».
В конце 60-х годов А. И. Алиханов тяжело заболел. Слава Соломоновна сразу же прекратила свою концертную деятельность, а очень скоро и вообще оставила музыку, говоря, что её дело теперь не играть на скрипке, а ухаживать за больным мужем. В декабре 1970 г. А. И. Алиханов умер. Я в это время был в Ереване. В Армении смерть Алиханова воспринималась как национальное горе.
Перехожу снова к казанской зиме 1941–1942 гг. В эту зиму я хорошо познакомился с Константином Константиновичем Марджанишвили и его матерью Надеждой Дмитриевной Живокини-Марджанишвили, принадлежавшей к славной артистической династии Живокини, представители различных поколений которой в течение целого столетия выступали на подмостках Московского Малого театра. Отец Константина Константиновича знаменитый режиссёр Константин Александрович Марджанишвили ещё до революции вошёл в историю русского театра под фамилией Марджанова, а после революции стал одним из создателей и наиболее ярких представителей театра Грузии.
Я, начиная со своего пребывания в Новгород-Северске и Чернигове, очень интересовался театром и любил его как большое самостоятельное искусство, тесно связанное с литературой, но никак не подчинённое ей. Для меня всегда была неприемлемой точка зрения некоторых любителей и деятелей театра литературно-психологического направления, для которых спектакль являлся не самодовлеющим произведением актерского и режиссёрского творчества, а чем-то вроде коллективного выразительного чтения пьесы. Моё восприятие театра как самостоятельного цельного искусства находило себе большую опору в режиссёрском творчестве К. А. Марджанишвили. Естественно, что мне было о чём говорить с Константином Константиновичем и Надеждой Дмитриевной Марджанишвили, и в наших очень интересных для меня беседах злоба дня занимала далеко не первое место.
Я снова перескакиваю чуть ли не на целое десятилетие вперёд. Мои дружеские отношения с К. К. Марджанишвили получили новое развитие и, так сказать, поднялись на новую ступень во время нашей совместной поездки в Рим в самом конце апреля 1950 г., когда мы представляли Академию наук СССР на 70-летнем юбилее известного итальянского математика Севери. Ничего сравнимого по пышности и великолепию с этим юбилеем (если говорить о празднествах, посвящённых одному какому-нибудь лицу) я ни до, ни после юбилея Севери не видал. Но была и серьёзная часть этих торжеств: их составной частью была продолжавшаяся примерно неделю научная международная математическая конференция, посвящённая главным образом геометрии и топологии.
Если не ошибаюсь, это была первая послевоенная международная математическая встреча с участием немецких учёных. Конференция была очень представительной, в ней участвовали многие самые выдающиеся геометры и топологи, были и математики других специальностей. Участником конференции был и Хопф, и это была моя первая встреча с ним после пятнадцатилетнего перерыва. В напряжённой и одновременно суетливой
Мэр города Рима устроил по поводу юбилея Севери торжественный официальный банкет. Он попросил меня выступить на этом банкете с речью и подчеркнул при этом, что обращается с этой просьбой ко мне, именно как к главе советской делегации, и надеется, что моя речь будет представлять большой общий интерес. Он добавил, что с аналогичной просьбой он обратился и к американскому послу, который также участвовал в качестве гостя в юбилейных торжествах. Шёл 1950 г. Обстановка во всём мире была очень сложной и я должен был коснуться её в своей речи. Моя задача была тем более ответственна, что приглашение выступить с речью я получил всего за несколько часов до банкета и оставалось совсем немного времени для обдумывания моего выступления. Не знаю как бы я справился со своей задачей, если бы не дружеская помощь К. К. Марджанишвили, который оказал мне всю, столь необходимую в тот момент, моральную поддержку. По свидетельству лиц для меня в данном вопросе авторитетных, с мнением которых я считался, моё выступление прошло во всех отношениях удачно, и это было для меня источником большого удовлетворения.
О всех сторонах нашего совместного пребывания в Риме я вспоминаю не только с искренним дружеским чувством по отношению к К. К. Марджанишвили, но и с чувством сердечной ему благодарности. Эти воспоминания о поездке в Италию весною 1950 г. являются вставным эпизодом к связному изложению моих воспоминаний, достигших конца казанской военной зимы 1941–1942 г.
Лето 1942 г. я также провёл в Казани, главным образом купаясь в Казанке и в Волге и отдыхая от напряжённой работы во время предшествовавшей зимы. Лето это было омрачено одним тяжёлым впечатлением. Был убит на войне Володя Вильде, призванный в армию в самом начале лета по окончании школы. Тяжело было быть свидетелем того страшного горя, которое обрушилось на семью Вильде, и прежде всего на его мать Нину Альбертовну. Когда А. Н. Колмогоров и я посетили (уже в первой половине пятидесятых годов) Казань во время одного из наших лодочных путешествий и встретились с Ниной Альбертовной, было ясно, что протекшие годы не изгладили её горя.
Я вернулся в Москву 1 октября 1942 года. Московский университет находился в эвакуации сначала в Ашхабаде (1941–1942 гг.), потом (в 1943 и позже) в Свердловске. Но некоторое число профессоров (в частности, механико-математического факультета) оставалось в Москве. Поэтому оказалось возможным наладить в течение 1942–1943 учебного года занятие механико-математического факультета и в Москве. Студенты, желавшие заниматься, также нашлись среди молодых людей, не призванных в армию по состоянию здоровья, и среди девушек. Так или иначе лекции по первому курсу в Москве читали: А. Н. Колмогоров (математический анализ), Н. А. Глаголев (аналитическая геометрия), я (высшая алгебра). Были и некоторые специальные курсы и семинары, в том числе мои по топологии. У меня, в частности, занимался Л. Д. Кудрявцев (ныне — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики Московского физико-технического института). У меня Л. Д. Кудрявцев защитил кандидатскую диссертацию (по топологии). Топологическую кандидатскую диссертацию защитил и А. М. Роднянский (затем работавший в Брянске), но его математическиеиз-за тяжёлой болезни, которой он заболел ещё в студенческие годы.
В феврале или марте 1943 г. я по-настоящему хорошо и близко познакомился с И. Г. Петровским, на короткое время приехавшим в Москву из эвакуации, в которой находился вместе с механико-математическим факультетом Московского университета. Обе военные зимы И. Г. Петровский был деканом этого факультета и пробыл это время с ним сначала в Ашхабаде, а потом в Свердловске. В Москву Иван Георгиевич приехал, чтобы ознакомиться с положением дел на остававшейся в Москве части факультета. У нас было много поводов для разговоров об университетских делах, и не только о них: ведь был разгар войны, и много было волнующих тем. В это время я впервые близко узнал И. Г. Петровского и как выдающегося университетского деятеля и как человека редкой интеллектуальной и моральной высоты. Он был одним из тех учеников Д. Ф. Егорова, которые унаследовали всю его исключительную нравственную силу. Организационные способности И. Г. Петровского, ярко проявившиеся уже на посту декана, который он занимал в трудные военные годы, в полную силу развились на посту ректора Московского университета, который он, как известно, занимал последние 22 года своей жизни (1951–1973). Я неоднократно говорил в своих публичных выступлениях о том, что в истории русских университетов самыми выдающимися среди многих незаурядных ректоров являются по моему мнению два: ректор Казанского университета Н. И. Лобачевский и ректор Московского университета И. Г. Петровский. Мне посчастливилось находиться в постоянном близком общении с И. Г. Петровским по широкому спектру деловых, общественных и личных вопросов в течение двух последних десятилетий его жизни, и об этом общении я постоянно вспоминаю, когда думаю о том, что было у меня самого ценного во вторую половину моей жизни.
Всю зиму 1942–1943 гг. А. Н. Колмогоров и я в основном жили в Комаровке, проводя в Москве обычно лишь 2–3 дня в неделю. Из Москвы мы возвращались в Комаровку поздно вечером: пригородным поездом до станции Тарасовка или Болшево, оттуда пешком, обычно с тяжёлыми рюкзаками (значительную часть продовольствия мы привозили из Москвы).
В дни моего пребывания в Москве той зимой я обедал в Доме учёных (на Кропоткинской улице). Обеды были очень хорошие (не сравнить с казанскими), но происходили со строгим соблюдением чинопочитания. Так например, в виде закуски академики получали краковскую колбасу, а члены-корреспонденты — полтавскую. По этому поводу я даже заметил, что, не сомневаясь в глубокой обоснованности соблюдения различия между академическими чинами в отношении снабжения их различными сортами колбасы, я с точки зрения советского патриотизма считаю, что академики должны быть снабжаемы отечественной полтавской колбасой, а члены-корреспонденты — зарубежной краковской.
В Доме учёных обедал и известный пианист Константин Николаевич Игумнов (как Народный артист СССР, он был приравнен к академикам и угощаем краковской колбасой). Мы часто встречались с ним в Доме учёных и в большинстве случаев обедали вместе. Но встречались мы с Константином Николаевичем и на концертах в Большом и Малом залах Консерватории. Он всегда бывал на хороших концертах, да и сам выступал довольно часто. А я старался не пропускать хороших концертов, когда они случались в мои московские дни. После концерта мы часто ходили в мою московскую комнату на улице Грановского, пили чай с вареньем, которое у меня всегда было, и иногда засиживались за разговорами допоздна.
С К. Н. Игумновым я познакомился давно — летом 1931 г. в Теберде, где он отдыхал в санатории и куда по возвращении из-за границы приехали
2 декабря 1947 г. К. Н. Игумнов дал свой последний в жизни концерт. Программа этого концерта, запомнившаяся мне, была необычайно обширна. В ней были и 7-я соната Бетховена, и си-минорная соната Шопена, и Большая соната Чайковского и много других произведений Лядова и Чайковского. Сама эта огромная программа была совершенно исключительна. Но Игумнов был неутомим в этот вечер, точно он предчувствовал, что это — его последнее выступление перед публикой. Он без конца играл на «бис», без конца был вызываем. Наконец, крышку рояля закрыли и в зале потушили свет, но публика не расходилась. Не уходил и я, и стоял у самой эстрады, буквально в двух шагах от рояля. Тогда Игумнов вновь открыл рояль, сел и сыграл «Колыбельную песню» Чайковского. Потом он сам закрыл крышку и медленными шагами пошёл по направлению к артистической. Концерт был окончен.
В вестибюле консерватории висели афиши о предстоящем через несколько дней камерном концерте, в котором Игумнов должен был играть фортепианную партию в трио Чайковского «Памяти великого артиста». Но концерт этот не состоялся.
Через два дня после описанного мною концерта в Большом зале я узнал, что К. Н. Игумнов приехал после него домой совершенно больным. В начале предполагалось воспаление лёгких, но потом этот диагноз был отменён. Болезнь явно затягивалась (она продлилась почти 4 месяца). Больной был в полном сознании, охотно разговаривал с близкими людьми, но был очень слаб. Бо́льшую часть времени он лежал, хотя иногда подходил к роялю и неподолгу играл. Рядом с его постелью стоял стол, на котором лежала партитура баховских «Страстей по Матфею» и книга стихов Тютчева. И то, и другое было, как он мне говорил, его постоянным чтением. В эти месяцы болезни Игумнова я часто бывал у него, иногда специально приезжая для этого в Москву. Привозил ему и молоко от коровы, принадлежавшей нашей соседке по Комаровке. Молоко было действительно хорошее и по словам Константина Николаевича имело на него благотворное действие.
Наши частые встречи были очень сердечными, и наши отношения приняли в эти последние месяцы жизни Игумнова характер подлинной дружбы. Но хотя мы много и подолгу разговаривали во время моих частых посещений, было ясно, что силы больного падают. К лечению Игумнова были призваны все лучшие терапевты Москвы. Тем не менее бесспорного для всех них диагноза всё же не удавалось установить. Наконец, врачи как будто сошлись на том, что имеется злокачественное заболевание крови (лейкемия). Константин Николаевич понимал тяжесть своего состояния, и часто говорил, что ему пора собираться «в дальнюю дорогу». Будучи религиозным человеком, он подвергся таинству соборования, но получил лишь кратковременное
В больнице (это было так называемое кремлёвское отделение Боткинской больницы) произошли два тяжёлых кровотечения (как будто подтвердивших диагноз, к которому, наконец, пришли врачи). Состояние больного резко ухудшилось и, пробыв в больнице всего несколько дней, К. Н. Игумнов скончался 28 марта 1948 г. Но правильный диагноз его заболевания был поставлен лишь при вскрытии. К. Н. Игумнов умер от милиарного туберкулёза. На похоронах Игумнова я не присутствовал (был в это время болен). Но некоторое время спустя я был на нескольких посвящённых его памяти прекрасных концертах. Несколько лет позже, за ужином у Алихановых я сидел однажды рядом с другим нашим великим пианистом Г. Г. Нейгаузом, и разговор у нас зашёл об Игумнове. Я рассказал Нейгаузу, что спросил как-то у Константина Николаевича, почему он с некоторых пор перестал играть концерт Скрябина, который раньше охотно играл. Игумнов ответил тогда мне, что играл этот концерт до переезда в Москву Нейгауза и, услышав его, понял, что Нейгауз играет концерт Скрябина лучше. Когда я рассказал Нейгаузу этот мой разговор с Игумновым, Нейгауз сказал в своей несколько восторженной манере: «О, это был великий артист»,— и заплакал.
В марте 1943 г. на некоторое время из-под Сталинграда был откомандирован в Москву Ю. М. Смирнов — тогда просто Юра. Он стал постоянно бывать в Комаровке и глубоко и прочно вошёл в нашу с А. Н. Колмогоровым комаровскую жизнь. Юра впервые появился в Комаровке ещё поздней осенью 1940 г. и часто бывал у нас в течение всего первого полугодия 1941 г. Он был тогда студентом механико-математического факультета Московского университета и избрал сначала своей специальностью астрономию, и смастерил себе даже достаточно хороший самодельный телескоп. Кроме того, он был радиолюбителем высокого класса, что сыграло вскоре большую роль, когда Юру призвали в армию. Но произошло это лишь в конце 1941 г., а до того Юра в сентябре и первой половине октября был ещё просто студентом, усердно и с успехом тушившим зажигательные бомбы, сыпавшиеся тогда в довольно большом количестве, в частности, и на обсерваторию Московского университета на Пресне, где Юра проводил много времени по ночам (днём он слушал лекции).
В ночь на 16 октября А. Н. Колмогоров и я, как уже упоминалось, уехали в Казань, а Юра Смирнов очень скоро был взят в армию и направлен в Северный флот в качестве радиста. Там он прослужил довольно долгое время, успев ещё пролежать некоторое время в госпитале, если не ошибаюсь, с воспалением лёгких. Потом он был направлен среди зимы 1942–1943 гг. под Сталинград, также в качестве радиста. Оттуда он и приехал в Москву — как упоминалось, в марте 1943 г.
Всю весну и начало лета 1943 г. он находился по службе в Москве, проводя большую часть свободного времени в Комаровке. Вся эта часть «комаровского» периода в жизни А. Н. Колмогорова и моей несёт на себе печать большого и многообразного участия в ней Ю. Смирнова.
Летом его снова, и снова в качестве радиста, отправили на фронт, на этот раз под Курск, на знаменитую Курскую дугу. Ещё через некоторое время, когда темпы нашего продвижения к победе начали заметно ускоряться и сама победа была уже не за горами, Ю. Смирнова снова откомандировали в Москву в качестве радиста по железнодорожному ведомству. В Москве, или лучше сказать, в Комаровке, Ю. Смирнов стал серьёзно заниматься математикой, сменившей астрономию как предмет его научных интересов.
Имея в виду большую и продуктивную научную активность Ю. М. Смирнова, к весне 1945 г. уже бесспорную и вполне определившуюся, Андрей Николаевич Колмогоров и я в середине мая 1945, т.е. уже после победы СССР в Отечественной войне, решили предпринять шаги к демобилизации Ю. М. Смирнова. С этой целью мы посетили А. Н. Крылова и попросили его совета. Алексей Николаевич очень благосклонно принял нас и тут же написал письмо соответствующего содержания Наркому Военно-Морского Флота. Это письмо Наркому отвёз и передал ему лично Андрей Николаевич. В результате последовал приказ наркома по военно-морскому флоту: Краснофлотца Смирнова Ю. М. демобилизовать и направить в распоряжение члена-корреспондента Академии наук П. С. Александрова для научной работы. Копия этого приказа, отправленная мне, до сих пор хранится у меня, а портрет А. Н. Крылова висит в столовой комаровского дома, рядом с портретами Д. Ф. Егорова и К. Н. Игумнова.
Две первые послевоенные зимы 1945–1946 и 1946–1947 годов я писал сначала работу о размерности нормальных пространств, а затем мою большую работу о законах двойственности для незамкнутых множеств (Математический сборник). Эта работа полностью поглотила меня, как ранее «казанская» работа, а ещё ранее «Gestalt und Lage» и «Dimensionstheorie». Недаром эти четыре работы я считаю своими лучшими работами в общей гомологической топологии. По инициативе Л. С. Понтрягина я сделал большой доклад о двойственности незамкнутых множеств на общем собрании отделения физико-математических наук (академиком-секретарём отделения был в то время А. Ф. Иоффе). Лев Семёнович сказал мне тогда, что считает эту работу и работу по гомологической теории размерности моими лучшими работами, и это очень обрадовало меня. Мне и самому нравилась новая работа, и хотя я очень устал от длительного процесса её написания, я находился в состоянии большого подъёма, такого же, как пять лет тому назад по окончании «казанской» работы.
Научная работа не была равномерно развивавшимся в течение моей жизни непрерывным процессом: она осуществлялась несколькими бывшими в моей жизни большими подъёмами, как бы пиками, между которыми лежали периоды по существу пассивные. Эти подъёмы научной активности, сопровождавшиеся осуществлением работ, представляющимися мне наиболее значительными из сделанных мною, совпадали у меня и с общими эмоциональными подъёмами моей жизни. Это были:
Лето 1915 г. (мощность борелевских множеств и A-операция).
Длительный подъём, начавшийся в мае 1922 г. и закончившийся в августе 1924 г. (основные работы по общей топологии).
Период построения гомологической теории компактов, начавшийся в августе 1925 г. определением нерва системы множеств и закончившийся весною 1928 г. работой «Gestalt und Lage».
Гомологическая теория размерности (первое полугодие 1930 г.).
Период «казанской» работы (январь–май 1942 г.). Сопровождавший её эмоциональный подъём (если его вообще можно так назвать) был своеобразен: он состоял в остром переживании войны во всю меру доступного мне восприятия её жестокого трагизма.
Зима 1946–1947 гг.— работа о теоремах двойственности незамкнутых множеств.
Эту работу я считаю своей последней значительной работой. Будучи последним большим подъёмом моей собственной математической активности, она к счастью не была последним подъёмом моей жизненной активности вообще. Но в дальнейшем мои общежизненные подъёмы вкладывались уже не в мои собственные работы, а в радость, вызванную работами моих учеников, последние два раза — работами В. И. Зайцева и Е. В. Щепина.
Итак, была самая пора, чтобы у меня появился новый ученик, и им стал в 1948 г. Кирилл Александрович Ситников (Кира). Он был ещё студентом. Его блестящие математические способности обнаружились в первых его работах (о затухающих отображениях, так называемая работа о мешках и скоро последовавшая за нею работа о поясах). Эти работы, из которых первая стала потом кандидатской диссертацией, я считаю самыми яркими достижениями того времени в топологии компактов и в частности, в гомологический теории размерности. В этих работах со всей силой обнаружился яркий геометрический талант Ситникова.
Его личность, вообще сложная и, я бы сказал, довольно дисгармоничная, обладала и своеобразным обаянием. В целом я очень обрадовался тому, что К. Ситников стал моим учеником. Андрею Николаевичу он тоже понравился, и во второй половине лета 1948 г. мы предложили К. Ситникову поехать с нами на Волгу, в Калязин, имея в виду там хорошо поплавать и погрести на лодке. Кира, природный волжанин (уроженец города Горького), охотно согласился на наше предложение, и наша поездка состоялась. Мы пробыли в Калязине около месяца. Вместе с нами по приглашению А. Н. Колмогорова там был и однокурсник К. Ситникова Ю. В. Прохоров, оказавшийся тоже очень способным математиком, с успехом занимавшимся под руководством А. Н. Колмогорова теорией вероятностей. Впоследствии Ю. В. Прохоров стал, как известно, академиком. Ю. В. Прохоров принимал участие и в наших лодочных прогулках, занимавших большую часть нашего времени и в Калязине. В целом и в частностях всё наше путешествие оказалось очень удачным и доставило много удовольствия всем его участникам.
После работ по топологии компактов К. Ситников доказал свой замечательный закон двойственности для незамкнутых множеств, продвинувшись здесь значительно дальше меня. Кроме того, он по существу положил начало гомологической теории размерности незамкнутых множеств, доказав в этой области фундаментальную теорему и построив очень интересные примеры. Эта работа стала его докторской диссертацией. Однако блестящая деятельность К. А. Ситникова в области топологии продолжалась всего 3–4 года, после чего он, по совету А. Н. Колмогорова, занялся небесной механикой, где получил прекрасные результаты. Затем его научная активность стала понижаться и уже не достигала уровня его прежних работ.
К. Ситников на ряд лет сделался постоянным участником комаровского дома.
Приблизительно одновременно с Ситниковым начал работать в области топологии и О. В. Локуциевский, построивший в 1948 г. свой знаменитый пример бикомпакта с несовпадающими размерностями (индуктивной и лебеговой). Ю. М. Смирнов успешно продолжал ранее начатую продуктивную работу в топологии, приведшую его к ныне классической метризационной теореме (теорема Бинга–Нагата–Смирнова), составившей его блестящую
Осенью 1953 г. коллектив под названием «Комаровский дом» пополнился ещё одним сочленом, до сих пор поддерживающим с ним самую тесную связь. Это был Володя (ныне профессор Владимир Иванович Пономарёв), которому тогда ещё шёл семнадцатый год. Вполне выдержав вступительное испытание, состоявшее в купании в уже очень холодной осенней Клязьме, Володя стал постоянно бывать в Комаровке. Он был десятиклассником и ещё не выбрал себе дальнейшего пути. Его учитель математики, в общем вовсе не плохой, говорил ему, что математика из него во всяком случае не выйдет и никак не советовал ему избирать этот тернистый путь. Тем не менее я, когда учебный 1953–1954 год стал приближаться к концу, однажды завёл с Володей серьёзный математический разговор, вполне остававшийся в пределах тогдашних программ средней школы, но касавшийся таких деликатных материй, как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, равновеликость пирамид (так называемая чёртова лестница) и т.п. Обнаружив, что Володя действительно хорошо разбирается в понятии предела, я перешёл к тому, чтобы, так сказать, навести Володю на овладение понятием непрерывной функции. Потом (кажется, уже во втором разговоре) мы перекинулись совсем в другую область и совместными усилиями овладели понятием группы. В общем, в результате этих разговоров (их было по меньшей мере три), я пришёл к убеждению, что Володе Пономарёву надо поступать на наш механико-математический факультет. Володя вступительный экзамен выдержал (с пятёрками по математике и химии, других отметок сейчас не помню) и был принят в 1954 г. на наш факультет. Так же хорошо выдержали экзамен и тоже естественно, были приняты два других мальчика — Шурик Архангельский и Боря Пасынков. Боря был ровесником Володи, а Шурик на год моложе. В Университете они скоро подружились, на втором курсе писали хорошие курсовые работы по топологии (в те далёкие времена курсовые работы писались уже на втором курсе) и образовали третье поколение моих учеников. И если Володя в студенческие годы много времени просто проводил в Комаровке, то Боря и Шурик были её постоянными гостями.
К той же возрастной категории, что и третье поколение моих учеников, относится и Аркадий Анатольевич Мальцев (род. в 1935 г.). Формально он моим учеником не был (он проходил аспирантуру под официальным руководством К. А. Ситникова). Но кандидатская диссертация А. А. Мальцева относится к кругу идей гомологической теории размерности и была близка моим математическим интересам. Поэтому естественно, что я считаю Аркадия Мальцева своим учеником, а — в плане личных отношений — он является одним из самых близких мне моих учеников. Как бы подпочвой наших дружеских отношений всегда была моя старая дружба с отцом Аркадия — Анатолием Ивановичем Мальцевым. Отношения мои с Аркадием образуют плавную, без всяких колебаний, постоянно восходящую кривую и захватывают всё более и более глубокие пласты моей жизни.
Б. Пасынков, А. Архангельский и В. Пономарёв последовательно защищают свои докторские диссертации в 1964–1966 гг. Всем им в момент защиты ещё не было и по 30 лет. Каждая из этих диссертаций представляла собою серьёзный вклад в общую топологию, а их защиты одна за другой составили в их совокупности значительное явление в жизни Московской топологической школы.
В самом начале 60-х годов эта школа пополнилась ещё двумя сочленами: учеником А. В. Архангельского В. В. Филипповым и В. В. Федорчуком.
Что касается меня лично, то ещё раз скажу, что моей последней действительно значительной работой была моя работа 1947 г. о законах двойственности для незамкнутых множеств. После этого я написал только работу по метризации топологических пространств, содержащую новый и неожиданный подход к этой старой проблеме и этим представляющей быть может некоторый интерес. Подход этот был продолжен и доведён до полного завершения А. В. Архангельским. Кроме того, я написал три работы совместно с Пономарёвым, в которых, однако, был только, так сказать, режиссёром: основные математические идеи в этих работах принадлежат В. Пономарёву. По окончании своей собственно математической деятельности я написал несколько (как мне кажется хороших) обзорных статей, последняя из которых, недавно вышедшая в соавторстве с В. В. Федорчуком под заглавием «Основные моменты в развитии теоретико-множественной топологии», содержит, в частности, довольно обстоятельный обзор основных результатов моих названных выше учеников.
В 1963 г. моим учеником делается В. И. Зайцев (Витя), скоро начинающий получать первоклассные математические результаты, также изложенные в моём, совместном с Федорчуком обзоре. Некоторые из самых основных результатов моих учеников А. В. Архангельского, В. И. Пономарёва и В. И. Зайцева, а также, конечно, метризационная теорема Нагата–Смирнова вошли в мой учебник «Введение в теорию множеств и общую топологию». Результаты московских топологов по теории размерности изложены в книге «Введение в теорию размерности», совместно написанную Б. А. Пасынковым и мною.
Здесь, после того как я довольно много сказал о своих учениках разных поколений, мне кажется уместным коснуться вопроса о том, какой мне представляется в целом проблема взаимоотношений между учителем и учеником,— вопроса и живого, и интересного.
Во взаимоотношениях между учеником и учителем всегда имеет место влияние второго на первого, что и обусловливает асимметрический характер этих взаимоотношений. Учитель влияет на ученика, ученик воспринимает это влияние и в той или иной степени подчиняется ему. Вопрос в том, насколько сильно и какую эмоциональную окраску имеет это подчинение, насколько оно затрагивает границы личности ученика, внутреннюю свободу этой личности. Как сложатся отношения между учеником и учителем, насколько легко и благополучно разрешатся вопросы, которые будут возникать ло ходу этих отношений, зависит от характеров вступивших в соприкосновение людей: от того, насколько волевой и активной в отношении к другим людям является личность учителя, насколько императивно то влияние, которое он оказывает или стремится оказывать на своего ученика; от того, хочет ли он действительно подчинить себе волю и личность своего ученика, или, напротив, стремится бережно относиться к индивидуальности ученика, желая помогать её раскрытию, а не подавлять её. Не менее важное значение имеет, конечно, и характер ученика: насколько он открыт для благожелательного влияния на него (лишь о таком влиянии, конечно, и имеет смыслкакого-либо посягательства на права и свободу своей личности. Из сказанного легко себе представить такое положение вещей, когда взаимоотношения между учеником и учителем складываются как столкновение двух сильных характеров, исключающее по существу всякое сколько-нибудь продолжительное влияние одного из них на другого и неизбежно приводящее к конфликту между ними. Этот случай представляется мне, однако, крайним, он является, по-моему, исключением, а никак не правилом. Тем не менее иногда этот случай осуществляется. Из известных мне реализаций этого крайнего случая самой яркой являются отношения двух великих математиков, Гильберта и Брауэра. В прямом смысле этого слова Брауэр не был учеником Гильберта. Однако Гильберт проявлял большой интерес к первым топологическим работам Брауэра, прославившим его как первого тополога своего времени: Гильберт опубликовал эти работы в самом влиятельном немецком математическом журнале Mathematische Annalen и всячески пропагандировал их. С другой стороны, Брауэр в это время относился к Гильберту не только с глубоким уважением, и именно как младший к старшему, но и с большой внутренней теплотой. Эта эмоциональность отношения Брауэра к Гильберту, когда Брауэру было около 30 лет (а Гильберту примерно 50 лет) привлекла моё внимание в письмах Брауэра к Гильберту, которые мне пришлось читать в подлиннике. Это и побудило меня здесь говорить об отношениях между Брауэром и Гильбертом. В дальнейшем в этих отношениях наступил тяжёлый кризис, приведший к полному разрыву между этими двумя великими математиками. Причины кризиса глубоки и многообразны. Тут прежде всего следует сказать о принципиальном расхождении во взглядах на основы и сущность математики. Это расхождение, связанное с основными устоями мировоззрения обоих учёных, имело для них, по самой сути дела, не только теоретическое значение, но проникало вглубь их психологии, в самое ядро их личности. Затем начались расхождения в научно-общественных вопросах, в вопросах практики научной жизни и в конце концов произошёл вообще полный разрыв.