Как работают и думают физики - читать онлайн бесплатно полную версию книги . Страница 1

Предисловие к первому изданию

Книжка, которую Вы держите в руках, представляет собой курс, который

читается учащимся Колледжа прикладных наук Саратовского государственного

университета. Она состоит из двух частей, первая из которых соответствует восьмому, а вторая - девятому классам. Программа по физике в Колледже прикладных наук

опережает программу средней школы, так что в восьмом классе учащиеся изучают

механику, а в девятом - молекулярную физику и термодинамику. По каким причинам

понадобился еще один курс физики, дополняющий традиционный?

В школьные и студенческие годы у будущих физиков часто возникает убеждение, что для того, чтобы стать хорошим ученым, достаточно решать задачи и читать

учебники. Конечно, упорным трудом Вы добьетесь многого, особенно если Вы молоды

и настойчивы. Однако, по мере своего роста, Вы почти наверняка почувствуете, что

Вам чего-то не хватает, чтобы ощутить себя по-настоящему профессионалом. В чем же

дело? Одно из самых удивительных свойств физики состоит в том, что значительная ее

часть является своего рода фольклором, собранием знаний и навыков, которые

передаются учеными из поколения в поколение. В учебниках, в которых излагается

(пусть даже и очень хорошо) формализм физики, эти навыки либо опускаются, либо

даются «по ходу дела». Для популяризации «фольклорной части» физики очень много

сделал замечательный российский физик-теоретик Аркадий Мигдал. Хорошо известна

его книга «Качественные методы квантовой теории». В предисловии к ней говорится:

«К сожалению, обычно методы теоретической физики излагаются формально-математически, а не в той конструктивной форме, в какой ими пользуются в научной

работе... Формальное изложение, при котором убраны все следы «пота», может...

внушить начинающему научному работнику чувство неполноценности. Поэтому автор

старался по возможности показать механизм подхода к задаче, особенно на первой

стадии работы. При этом... раскрываются «секреты» мастерства, т.е. маленькие

хитрости, которые ускоряют получение результатов». Однако, книга Мигдала доступна

лишь студентам, да и то старших курсов. А можно ли рассказать что-то для

школьников, только начинающих изучать физику? Оказывается, можно, и очень много.

Еще один мотив постановки предлагаемого курса - существование проблемы

соотношения физики и математики, проблемы, которая создает огромные трудности

как для изучающих физику учеников, так и для физиков-педагогов. Физика в очень

высокой степени базируется на математике, однако, физика - наука существенно

другая, нежели математика. Решая задачи, физик непрерывно отрывается от реального

мира и «уходит» в область идеализированных математических моделей, и ...

непрерывно возвращается к окружающему миру, проверяя каждый свой ход, каждый

результат с помощью «физических соображений». Овладеть математикой так, как это

нужно физику - сложное и увлекательное дело.

Школьникам нужно рассказать и о некоторых сторонах их будущей профессии, сторонах, которые кажутся ученым и педагогам привычными, и которые бывают

«забытыми» на уроках даже в физико-математических школах. Например, о том, что

такое научная статья, какие бывают научные журналы, что такое «оттиск» научной

статьи и т.д.

Предлагаемая Вашему вниманию книжка является в большей степени

задачником. Каждая тема снабжена лишь очень коротким комментарием. Решение

задач - это великолепный «тренинг» для будущего ученого. Конечно, прорешать задачи

из одной книжки - это только маленький шаг на пути в прекрасный мир физики.

Овладеть секретами мастерства физика Вам очень помогут журналы «Квант» и

брошюры серии «Квант». Обязательно покупайте, выменивайте, выпрашивайте их, где

бы Вы ни увидели! Ведь сейчас они, к сожалению, редкость.

Автор хотел бы выразить глубокую благодарность проф. С. П. Кузнецову и член-корр. РАН, проф. Д.И.Трубецкову, с которыми он обсуждал многие вопросы курса.

Предисловие ко второму изданию

Первое издание этой книжки представляло собой курс «неформальный» физики

для 8-го и 9-го классов Лицея (тогда еще Колледжа) прикладных наук г. Саратова, о

чем и сказано в предисловии к первому изданию. Сейчас хочется добавить, что

нацеленность этого учебного заведения была не только на глубокую физико-математическую подготовку, но и на внедрение идей нелинейной динамики и

синергетики. Мне пришлось много размышлять, какие подходы и методы из этих наук

можно неназойливо ввести в физический курс. «Следы» этого можно найти в первых

двух частях книжки. Это, например, идея двухпараметрического анализа физических

систем. Идея выделения, как бы мы сказали более аккуратно, грубых и негрубых, ситуаций (глава «Качественные теории»). Далее, это возможность критических

состояний (см. соответствующую главу), которые подготавливают почву для

восприятия идеи бифуркации и др. Во втором издании к этим двум частям добавлены

главы «Интернет» и «Исследовательские задачи», причем в перечень последних входят

и исследование изохронного маятника Гюйгенса, катастрофы мыльной пленки, каустик

и сборок в чашке и т.д.

Третья, новая часть, «Физики тоже любят математику», посвящена

междисциплинарным связям. Взят самый простой, на первый взгляд, вариант – связь

физики и математики. Но это видимая простота. Опыт преподавания в школе говорит о

том, сколь разное видение может возникать у физиков и математиков по некоторым

вопросам. Очень часто простое изучение математики (особенно таких понятий как

производная, интеграл и дифференциальные уравнения), отнюдь не обеспечивает

автоматически умение применять их в физике. Оказывается, что нужна отдельная, кропотливая работа по возникновению единого физико-математического мышления.

Поэтому в этой части книги названия разделов математические, а содержание –

физическое. Эта часть начинается с числовых последовательностей, которые

популярны в школьной математике, но мало используются физиками в школе. Однако, для нас это было важно для дальнейшего, поскольку идея «дискретизации» физических

систем позволяет подготовить восприятие современного инструментария нелинейной

динамики – отображений. Наконец, дифференциальные уравнения очень важны в

школе, так как без них нет понимания ни сути второго закона Ньютона, ни

междисциплинарного характера теории колебаний.

Цель четвертой части состояла в том, чтобы, опираясь на уже сформированные

понятия, ввести школьника в круг некоторых понятий нелинейной динамики. При этом

решение задач и тематика подобраны так, чтобы школьник выпускного класса, вообще

говоря, оказался хотя бы и в некоторой мере подготовленным для исследовательской

работы в этой области. Отображения объясняются на примере хорошо известной всем

школьной задаче о цепочке сопротивлений. Ну, а далее следуют логистическое

отображение, отображение Эно, «прыгающий» шарик, итерационные диаграммы и

бифуркационные деревья. Отмечу, наконец, что в этой части мы ограничились лишь

отображениями, поскольку они проще для восприятия и компьютерного

моделирования.

Автор хотел бы выразить глубокую благодарность Тюрюкиной Л.В., Седовой

Ю.В и Савину А.В. за помощь в подготовке рукописи к изданию.

Истинные чудеса XX века - это чудеса

для сугубых профессионалов. Настоящие

чудеса возникают в виде корявых формул,

кое-как нацарапанных мелом на плохо

протертой черной доске, чтобы потом

нырнуть в мрачные недра гигантских

ускорителей или вычислительных чудовищ

и вынырнуть на поверхность в виде

символов и таблиц на синих полосах

термобумаги.

Аркадий Стругацкий

Борис Стругацкий

ЧАСТЬ I

КАК РАБОТАЮТ И ДУМАЮТ ФИЗИКИ

1. Что такое физика?

Настоящим сочинением мы лишь

открываем двери к этим двум новым

наукам, изобилующим приложениями,

которые в будущем будут неизмеримо

больше

приумножены

пытливыми

умами.

Галилео Галилей

Физика - одна из основных наук об окружающем мире. Очертания этой науки

определились за последние 400 лет. Что такое физика? Оглядываясь вокруг, человек

замечал множество удивительных и красивых явлений. Его внимание привлекали шум

прибоя, набегающие на берег морские волны, сияющие ночью на небе звезды, радуга

после дождя. В течение веков люди размышляли обо всем этом, исходя в основном из

законов логики и «здравого смысла». Однако со временем стало ясно, что можно

понимать, объяснять и предсказывать многое из того, что человек видел вокруг.

Самой простой разновидностью явлений, с которыми человек имел дело, было

движение. Ходили люди, бегали животные. Камни, подброшенные вверх, падали вниз.

Как описать эти процессы? Размышления на эту тему привели около 400 лет назад к

созданию механики. Она стала формироваться благодаря работам итальянского

ученого Галилео Галилея, жившего в конце XVI - начале XVII веков. Галилей сделал

много замечательных открытий. Но самое важное из них, пожалуй, состояло в

осознании того факта, что надо искать закономерности, наблюдая и измеряя. И самой

первой стала задача о колебаниях гигантской люстры в соборе. Наблюдая за ее

колебаниями и измеряя время с помощью ритмичной музыки и пульса (ведь часов еще

не было!), Галилей открыл, что время, за которое люстра совершает одно колебание, практически не зависит от размаха колебаний. Затем Галилей исследовал падение тел и

ряд других задач.

Назовем еще одно имя, неразрывно связанное с механикой - Исаак Ньютон. Его

вклад в механику столь велик, что благодаря его работам возникла своего рода

механическая картина мира, и людям стало казаться, что весь мир подчиняется

механическим законам. Успехи теории Ньютона были ошеломляющие. Издавались

книги по механической системе мира. Говорят, были случаи, когда дамы отказывали

женихам, если те не были знакомы с теорией Ньютона. Правда, движение планет в

Солнечной системе чуть-чуть отличалось от предсказанного Ньютоном, и он считал, что бог раз в тысячу лет слегка подправляет их орбиты. Однако французский

исследователь Лаплас в начале девятнадцатого века показал, что эти отклонения

связаны с взаимным влиянием планет друг на друга и тоже могут быть объяснены

теорией Ньютона. Именно тогда в ответ на вопрос Наполеона - где же в его системе

бог, Лаплас произнес свою знаменитую фразу: «Je n’ai pas eu besoin de cette hypothese», то есть «Я не нуждаюсь в этой гипотезе».

Следующим кругом явлений, на которые обратили внимание люди, стали

явления, связанные с теплотой. Нетрудно заметить, что одни предметы горячее, другие

холоднее; для нагрева можно использовать огонь; если нагреть лед, он растает и т.д.

Сначала люди научились измерять температуру и давление газов. Потом были

установлены законы, которые позволяли вычислять температуру и давление в

различных случаях. Размышления над природой теплоты привели к мыслям о том, что

тепло связано с движением молекул, из которых состоят тела. Два наиболее

выдающихся имени в молекулярной теории - это Джеймс Максвелл и Людвиг

Больцман. Они построили теорию газа, состоящего из отдельных сталкивающихся друг

с другом молекул. Число молекул в 1 см3 газа при нормальных условиях огромно, около 1019 штук. Поэтому их движение невозможно описать с помощью простых

законов механики, даже если использовать современные суперкомпьютеры, которых, конечно, не было во времена Максвелла и Больцмана.

Если потереть расческой о волосы, то она может притягивать маленькие кусочки

бумаги. Проверьте! Ясно, что это какое-то совершенно новое явление. Когда

собираются тучи, то в небе иногда сверкает молния. Эти и многие другие явления -

предмет науки об электричестве. Основываясь на многих опытных фактах, Максвелл

создал стройную теорию электромагнитного поля. Интересно, что в своих

размышлениях Максвелл шел от механики - чтобы лучше представить себе

электромагнитное поле, он мыслил его в виде устройства из шестеренок, колесиков и т.д.

Скажем несколько слов еще об одной группе очень красивых явлений природы.

Каждое утро встает Солнце и освещает окружающий нас мир. Освещает? А что это

такое? Каким законам подчиняется свет? Почему небо голубое, а закат красный? Почему

у кошки в темноте блестят глаза? Раздел физики, изучающий свет, называется оптикой.

Наконец в начале нашего века возникает физика малых масштабов, квантовая

физика. Оказалось, что мир малых размеров не поддается нашему воображению: у

очень маленьких частиц невозможно одновременно точно определить положение и

скорость. Выдающиеся физики, создатели квантовой механики - это Нильс Бор, Луи де

Бройль, Эрвин Шредингер.

Создание квантовой механики позволило людям серьезно заняться исследованием

структуры вещества. Как мы теперь знаем, существуют молекулы и атомы, причем

атомы состоят из ядра и электронов. Ядро, в свою очередь, состоит из протонов и

нейтронов, а протоны и нейтроны - из кварков. Кварки очень не похожи на все, к чему

мы привыкли - их нельзя наблюдать отдельно друг от друга.

Физика больших скоростей и физика пространства - это теория относительности

Альберта Эйнштейна. Мир Эйнштейна - это мир тел, размеры и массы которых зависят

от скорости. Правда, скорости при этом огромны - они должны приближаться к

скорости света, равной примерно 300000 км/с.

Вот так развивалась физика. Физика рисует картину мира, картину, охватывающую самые разные масштабы пространства и времени. Мир, в котором мы

живем - наша Вселенная. Скопление галактик - самый крупный структурный элемент

Вселенной. На астрофизических фотоснимках скопление галактик - это группы

туманных пятнышек. В каждом скоплении около сотни и тысячи галактик. Наша

галактика имеет вид спирали, размер которой около 10 килопарсек (т.е. около 300000

световых лет). В галактике около 100 миллиардов звезд. Чтобы исследовать

Вселенную, людям пришлось объединить и механику, и учение о радиоволнах, и

оптику, и атомную физику. Так что астрофизика - сумма большого числа классических

разделов физики.

Физики изучают нашу планету, благодаря этому возникли физика атмосферы, физика океана, геофизика. Конечно, в этих разделах физики не обойтись без теории

электричества, газовых законов, законов парообразования, без механики, без оптики.

Ведь нужно объяснить, например, почему реки, текущие по совершенно гладкой

равнине, изгибаются, почему сверкает молния и т.д.

Мы можем рассматривать отдельные живые существа и человека, как физические

системы - механические, электрические, тепловые. Кровь бежит по сосудам - это

механика. Электрические импульсы проходят по нервной системе - это электричество.

Тепло выделяется и покидает наше тело за счет излучения - это наука о теплоте.

И все это физика. Физик - это очень интересная профессия. Если вы хотите стать

физиком, то надо многому научиться. Очень полезно и интересно читать о том, как

работали великие физики. На вопрос о том, как он открыл свои законы, Ньютон

ответил: «Я постоянно размышлял о них». По словам современников, когда Ньютон

писал свою знаменитую книгу «Математические начала натуральной философии», он

был всегда бодр, никогда не впадал в раздражение, считал любой час потерянным, если

его не удавалось посвятить размышлениям.

Для вас может быть полезен девиз Максвелла «Work, finish, publish».

Кто же такой современный физик-профессионал? Это отнюдь не человек, просто

изучивший физику с помощью учебников. Это человек, овладевший многими

профессиями и навыками. Прежде всего, надо уметь решать задачи. Нужно научиться

самому формулировать задачи как для себя, так и для своего компьютера (он этого не

сделает за вас!). Нужно уметь изложить свои результаты на бумаге. Физик должен

печатать на электронной печатной машинке, либо владеть соответствующим текстовым

редактором на компьютере. Очень важно уметь общаться с коллегами с помощью

современных средств связи - факса, компьютерной почты. В современном мире многие

результаты получаются одновременно несколькими группами ученых из разных стран, которые обмениваются информацией с помощью факсов и компьютеров. Сейчас много

научных журналов, книг. Уже появились компьютерные научные журналы. Так что

если вы получили важный результат, его еще надо суметь донести до сообщества

ученых за счет энергичного общения. Нужно уметь доказать, что ваш результат

правильный и необходимый.

Задачи

1. Когда Галилео Галилей вернулся домой из собора, он решил установить, правда

ли, что периоды больших и малых колебаний маятника равны. Как бы вы

поступили на его месте?

2. Найдите книгу Н. Носова «Витя Малеев в школе и дома». Отыщите и

прочитайте место, в котором описано, как Витя научился решать задачи. Какие

основные принципы он использовал? Сформулируйте их в краткой, но четкой

форме.

2. Числа в физике

Мир устроен так, что многие свойства окружающих нас тел могут быть описаны

числами. Почему это так - вовсе не такой простой вопрос, как кажется на первый

взгляд. К описанию некоторых физических величин числами мы привыкли. Привычнее

всего числа, выражающие расстояния. Мы хорошо понимаем, что такое сантиметр, миллиметр, метр, километр. Мы также привыкли к массе, которую в обиходе называем

весом тела. Одно тело весит 1 кг, другое - 100 г. Это тоже привычные числа, которые

часто встречаются в жизни. Если задуматься, то можно прийти к выводу, что

«понятность» чисел при описании длины, массы и времени связана с тем, что человек

наполнил магазины, работу, школу, квартиру устройствами, с помощью которых

можно легко определить эти числа. Уже с раннего детства нас научили не

задумываться, проделывая соответствующие измерения. Если же немного

пофантазировать, то можно поставить много неожиданных вопросов. Например, как

при помощи чисел описать игру блесток на поверхности реки в солнечный день?

Можно ли описать с помощью чисел шорох листвы деревьев?

На уроках арифметики и алгебры мы узнаем о классификации чисел. Проще всего

для понимания числа натуральные. Наверно, они появились раньше всего, когда

человек считал животных в стадах: 1, 2, 3, и т.д. Числа бывают положительные и

отрицательные. Представление об отрицательных числах мы получаем, измеряя

температуру на улице в морозный день, например, -15О С. Без особого труда можно

привыкнуть к дробным числам. Пусть необходимо измерить длину карандаша.

«Портновским» сантиметром, который содержит только деления по половине

сантиметра, мы можем получить довольно приблизительное значение длины, например

8 см. Возьмем линейку с миллиметровыми делениями. Пусть мы получили 8 см и 3 мм.

Результат запишем так: 8,3 см. С помощью штангенциркуля можно определить и

десятые доли миллиметра. Получим число 8,31 см. Можно взять еще более точный

измерительный прибор, но когда-то нам придется остановится. Результатом измерений

будет число, содержащее конечное число знаков после запятой. Это один из

возможных вариантов рационального числа. Всякое рациональное число может быть

представлено в виде отношения двух натуральных чисел. Оно содержит после запятой

либо конечное число цифр, либо периодически повторяющиеся группы цифр.

Например, 14/11=1,272727…

В математике известны, кроме того, иррациональные числа, например, 3 .

Иррациональные числа тоже используют в физике. Чтобы хотя бы немного представить

соотношение между рациональными и иррациональными числами, обратимся к

следующей ситуации. Пусть маленький муравей ползет по бублику (рис.1).

Рис. 1

Существует множество разных вариантов его путешествий. Муравей может

обойти вокруг «дырки» m раз и за это же время совершить n оборотов по меридиану.

Здесь m и n - некоторые целые числа. В этом случае траектория движения муравья

замкнута - после mn оборотов он пойдет по старому пути. Для всех таких маршрутов

число

ω = n является рациональным. Можно сказать и иначе, какое бы рациональное

число ω мы не взяли, найдется замкнутый маршрут муравья по бублику. А если число

ω иррациональное? Этому числу будет соответствовать такой маршрут, когда муравей

никогда не повторит свой путь, ползая сколь угодно долго. Эта забавная ситуация

имеет отношение, например, к проблеме движения планет вокруг звезды, если планета

к тому же вращается вокруг своей оси.

В физике приходится иметь дело с очень большими и очень маленькими числами.

Например, время жизни Вселенной около 15 миллиардов лет. А время, за которое луч

света проходит через оконное стекло, составляет 0,00000000001 с. Такие числа обычно

записывают, используя степени десяти. В нашем случае это 1,5⋅1010 лет и 1⋅10-11 с.

Конечно, можно записать 15⋅109 лет, это тоже будет правильно.

Задачи

1. Приведите примеры физических величин, которые описываются натуральными

числами.

2. Приведите примеры физических величин, которые могут быть как

положительными, так и отрицательными числами.

3. В известном стихотворении Маршака говорится «... И вышло у него в ответе два

землекопа

две

трети».

Придумайте

ситуацию,

которая

может

характеризоваться дробным «числом людей».

4. Сколько периодически повторяющихся цифр содержит дробная часть

рационального числа 17/13? Пусть это число измерено с такой точностью, что

мы определили лишь два знака после запятой. Представьте измеренное число в

виде отношения двух натуральных чисел.

5. Предложите способ, как поделить девять совершенно одинаковых яблок между

семью людьми. Яблоки можно резать.

6. Определите приближенное значение иррационального числа 10 . Для этого

воспользуйтесь карандашом, линейкой и ... теоремой Пифагора.

7. С помощью нитки, цилиндрического карандаша и линейки определите примерно

число π.

8. Выполните следующие действия, представив результат в принятой у физиков

форме:

108⋅108=

108+108=

1015⋅10-14=

1015:10-14=

190000=

0,000025=

(5⋅104)⋅(3⋅107)=

5000⋅104-2000⋅107=

2700000000⋅0,0002=

(4⋅1015)⋅(3⋅10-7)⋅(2⋅1012)=

(3⋅107 м/с):(2⋅103 с)=

9. Сколько метров содержится в миллиметре? Сколько сантиметров в километре?

Сколько секунд в часе? Сколько граммов содержит литр воды? Сколько

миллилитров содержит один кубометр? Сколько микрофарад содержится в

миллифараде? Что больше - килотонна или мегаграмм?

10. На некоторой планете аборигены точно похожи на людей, но у них по шесть

пальцев на каждой руке. Как они запишут число 14? Число 152?

Указание. Число 152 мы представляем в виде 1 10 +5 10 +2 10 , где 10 - число

пальцев на двух руках.

3. Оценки физических величин

Одна из задач физики - определение численных значений физических величин.

Однако, для этого иногда нужно построить слишком сложную теорию или выполнить

громоздкие расчеты. Поэтому бывает очень полезно определить приближенное, примерное значение физической величины. Как говорят физики, нужно оценить

физическую величину. В жизни мы непрерывно сталкиваемся с оценками, которые

делаем интуитивно. Например, вы оцениваете, сколько времени уйдет на выполнение

домашнего задания. Стоя в очереди, нетрудно оценить, сколько времени уйдет на

покупку товара. Для этого нужно «прикинуть», сколько человек стоит в очереди, и

сколько времени уходит на отпуск товара одному покупателю. Поскольку вы делаете

оценку, а не хотите знать результат точно, то ответы 1 час 15 минут и 1 час 33 минуты

будут одинаково правильными. Действительно, ситуация, когда вам надо ждать 1 час с

минутами совершенно иная, чем та, когда надо ждать 2 - 3 минуты. Таким образом, числа, которые отличаются в 2 - 3 раза - это числа одного порядка. Если же числа

отличаются в 10 раз, говорят, что они отличаются на один порядок, если в 100 - на два

порядка и т.д.

Теперь понятно, почему в физике столь полезна запись в виде числа порядка

единицы, умноженного на 10 в соответствующей степени. Ведь эта степень сразу дает

порядок самого числа.

Итак, для физика очень ценно представлять примерный порядок величины. Это

дает важную информацию о том, что учитывать, а что не учитывать в теории.

Например, нужно ли учитывать электромагнитные поля звезд при описании

образования галактик? С помощью метода оценок можно быстро получать ответы на

совершенно неожиданные вопросы. Например, каково давление в центре Земли? С

какой высоты можно прыгать в воду, чтобы не разбиться? Какова толщина льда, при

которой машина не провалится? (Такую оценку делали физики в Ленинграде во время

войны.) А в известной книге о физиках Д. Гранина «Иду на грозу» главный герой

мчится с девушкой на мотоцикле и развлекает ее оценкой числа людей, которых они

разбудили по дороге.

Большим мастером оценок физических величин был выдающийся физик Энрико

Ферми. На своих лекциях он проводил за считанные минуты оценку числа

настройщиков роялей в Чикаго. (Как это сделать?)

Давайте оценим число домашних кошек в Саратове. В Саратове порядка 106

человек. В каждой семье около 4 - 5 человек. Значит, в Саратове порядка 2 105 семей.

Зная сколько человек, сидит в классе, можно быстро подсчитать долю семей, в которых

есть кошки. Это число колеблется от 1/4 до 1/2. Таким образом, в Саратове около 5 104

– 105 домашних кошек. Точно также можно оценить число домашних собак, телефонов

и т.д.

Оценки можно делать из разных соображений, здесь важен не столько путь

решения, сколько результат. Например, число домашних телефонов можно оценить

так. Я видел телефонные справочники, это две книги по 300 - 400 страниц. На каждой

странице около сотни телефонов. Значит, число домашних телефонов, зарегистрированных на момент создания справочника, порядка 80 тысяч.

В физике оценки позволяют очень быстро получать важные результаты.

Например, во время испытания первой атомной бомбы Энрико Ферми почти мгновенно

оценил мощность ядерного взрыва, измерив вызванное ударной волной смещение

клочков бумаги, которые он сыпал на землю.

Итак, нужно уметь оценивать физические величины. Это умение должно стать

очень естественным для вас, настолько, чтобы вы могли в своей работе следовать

правилу физика, специалиста по теории атомного ядра и гравитации Уилера: «Никогда

не начинай вычислений, пока не знаешь ответа».

Задачи

1. Оцените порядки следующих математических выражений: 51

⋅ 2

(

⋅1011

)(

10 7

−

⋅

)

а)

;

б)

;

345

0 0078

в) (6521+17)(821+3⋅(5-8)/2,1);

г) 5 ;

д) 6437 ;

е)

3 2 ⋅10 .

2. Оцените давление, оказываемое стоящим человеком на поверхность Земли.

3. Оцените выталкивающую силу, действующую на кирпич, находящийся в воде.

4. Какое расстояние пройдет человек, сделав миллион шагов?

5. Сколько весит вода в океане?

6. Как быстро пройдет мимо вас современный поезд?

7. Сколько шариков от пинг-понга поместится в классной комнате?

8. Оцените ширину бороздки современной долгоиграющей пластинки.

9. Оцените количество электроэнергии, потребляемой одной семьей

10. Оцените среднюю скорость троллейбуса.

11. Понаблюдайте дома за механическими часами и оцените, сколько раз они

тикают в течение суток.

12. В древности полагали, что Земля лежит на спине кита, плавающего в океане.

Оцените характерные размеры кита. Землю считайте полусферой радиуса

R=6400 км, плотность земных пород - ρз=5,5 г/см3, плотность кита - ρ к=0,9 г/см3.

Кита представьте цилиндром, диаметр которого в 10 раз меньше его длины.

4. Характерный размер

С понятием порядка физической величины тесно связано еще одно понятие -

характерный размер. Мир окружающих нас тел - это, в первую очередь, мир геометрии.

Оглянемся вокруг и выберем какое-нибудь тело. Нам на глаза вряд ли попадется

правильное геометрическое тело - шар, цилиндр, конус. Скорее всего, это будет тело

сложной формы, например, чайник (рис.2). В моей лаборатории стоит электрический

чайник, похожий на тот, который изображен на рисунке 2.

Попробуем описать геометрию чайника. Для этого вооружимся линейкой и

начнем снимать размеры чайника. А как, собственно, проводить измерения? Куда

Рис. 2

приложить линейку? Сделаем для начала несколько измерений. Ясно, что при наших

измерениях будут получаться разные результаты. Например, высота чайника от дна до

крышки равна 15 см. Высота чайника от края ножек до верхушки ручки равна 19 см.

Максимальный поперечный диаметр чайника равен 18 см. Можно снять еще какой-нибудь размер чайника. Давайте, однако, остановимся и попробуем понять, есть ли что-то общее между полученными нами числами. Обратите внимание, что все эти числа

одного порядка. В такой ситуации физики говорят, что чайник имеет характерный

размер порядка 20 см. О каком размере идет речь? Почти о любом. В этом «почти»

заключена некоторая неопределенность. В физике, однако, и не пытаются ее

преодолеть, это не нужно. Нужно совершенствовать свою интуицию, чтобы понимать

это «почти», чтобы уметь оценивать характерные размеры и использовать получаемые

оценки в физической теории.

Разумно предположить, что если нас интересует лишь порядок величины

характерного размера, то мы уже можем предсказать результат последующих

измерений. Например, расстояние от кончика носика чайника до заднего края ручки

тоже будет порядка 20 см. (Правда, легко поверить, что не порядка 10 км?) Внимательный читатель заметит, что если измерить какие-то другие «элементы»

чайника, например толщину ручки, высоту ножек (если они есть) и т.д., то мы будем

получать другие результаты. В этом случае следует сказать, что характерный размер

ножек другой, порядка нескольких сантиметров.

Итак, характерный размер - это величина, которая характеризует геометрию тела, но существенным является лишь порядок величины. Это понятие при всей его видимой

простоте очень важно. Ведь вокруг нас множество тел, характеризующихся

совершенно разными по порядку величины размерами (Солнце, железнодорожный

локомотив, муравей, атом и т.д.). Для многих из них очень легко сразу определить

характерный размер, для других надо воспользоваться справочником, а для некоторых

приходится проводить специальные измерения или вычисления.

Тело может иметь несколько характерных размеров. Например, соломинка имеет

характерную длину и диаметр (рис.3).

Можно представить себе тело и с тремя характерными размерами. Например, полоска бумаги (рис.3) длиной 14,3 см, шириной 0,83 см и толщиной 0,0123 см имеет

три характерных размера, ибо все они - величины разных порядков.

Рис. 3

Можно сказать, что полоска имеет характерную длину порядка 10 см, ширину

порядка 1 см, и толщину порядка 0,01 см. Весьма эффектной иллюстрацией

существования двух порядков длины является молекула ДНК. Если эту сложную

молекулу вытянуть «в длину», то она достигнет размера порядка метра!

Обратим ваше внимание на то, что тело может быть охарактеризовано не только

линейным размером, но и величиной объема. В принципе, порядок объема тела тоже

важная величина. (Оцените, кстати, характерный объем чайника.) Иногда, чтобы

подчеркнуть, что речь идет о «длине» употребляют выражение «характерный

линейный размер тела». Но физики обычно прилагательное «линейный» опускают.

Задачи

1. Приведите примеры двух тел, характерные размеры которых отличаются на три

порядка.

2. На карте изображено озеро (рис.4). Каков характерный размер озера?

Рис. 4

3. Каков характерный размер Саратовской области?

4. В математике известна классификация треугольников по величине их сторон

или углов (равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник и т.д.).

Разработайте классификацию треугольников, опирающуюся на понятие

характерной длины стороны.

5. Обсудите проблему соотношения характерных размеров для длин ступни и ноги

человека.

6. Обсудите проблему применения понятия «характерный размер» для

канцелярской скрепки.

7. Дачный участок имеет площадь 6 «соток». Оцените характерный линейный

размер участка.

8. Айсберг имеет характерный линейный размер порядка 10 м. Оцените объем

надводной части айсберга.

9. Итальянский физик и химик Авогадро (1776 - 1856) установил закон, в

соответствии с которым моль любого вещества содержит одно и то же

количество молекул N =6,02 1023 . Молем называют количество вещества, масса

которого в граммах равна молекулярной массе. Например, для воды - это 18 г.

Считая, что молекулы воды плотно прилегают друг к другу, оцените размер

одной молекулы воды.

5. Масштаб

Предположим, что нам надо изобразить на бумаге (экране дисплея) амебу, характерный размер которой, как известно, составляет около 1 мм. Посмотрим на три

портрета этой амебы, показанные на рисунке 5.

Рис. 5

Хотя амеба одна и та же, но эти три портрета радикально отличаются. Можно

сказать, что амеба показана с разным увеличением. В первом случае увеличение очень

небольшое, во втором – «умеренное», в третьем - большое. В такой ситуации говорят, что рисунки отличаются масштабом. Для того, чтобы дать общий вид амебы, мы

должны выбрать масштаб рисунка так, чтобы амебу было удобно рассмотреть. На

принятом у физиков языке можно сказать, что характерный масштаб рисунка должен

соответствовать характерному размеру амебы. Этому требованию соответствует второй

рисунок.

Понятие масштаба, которое естественным образом ассоциируется с географией, в

физике используется не только для описания геометрии тел. Кроме характерных

размеров можно ввести и другие величины, «присущие» телу или физическому

процессу. В таких ситуациях физики тоже часто употребляют слова «характерный

масштаб». Например, характерный масштаб времени, в течение которого можно

изучить механику, составляет 1 год.

Оценка характерных масштабов очень важна при построении графиков

зависимостей физических величин. Пусть, например, вы хотите построить график

зависимости пути, пройденного автомобилем, от времени. Что для этого надо сделать?

Прежде всего, нарисовать координатную плоскость. Вдоль оси y будем откладывать

пройденный автомобилем путь, а по оси x - время в пути. Но какую величину

расстояния припишем единичному отрезку вдоль оси y (метр, километр, десять

километров)? А какую величину времени припишем единичному отрезку вдоль оси x (секунду, минуту, час?). Дело в том, что у нас нет пока сведений о том, о какой поездке

идет речь. В Москву? На дачу? За молоком в соседний гастроном? Лишь имея более

подробную информацию, можно выбрать характерные масштабы по осям координат и

построить график. (Иногда приходится начертить черновой график, убедиться, что

выбранный масштаб подходит или нет, и лишь потом строить необходимый график.) Так что выбор масштаба - это не формальная процедура, она требует понимания

существенных особенностей физики процессов и явлений.

Изменение масштаба - очень интересная процедура, которая много может дать

для физика. Давайте, применим ее для того, чтобы определить ... мгновенную скорость.

Обратимся к графику движения, на котором показана зависимость координаты тела x от времени t (рис.6).

Рис. 6

Выберем маленький фрагмент на этом графике, и изменим, масштаб для этого

фрагмента - увеличим его. На новом графике снова выберем маленький фрагмент и

снова увеличим масштаб. В результате мы будем рассматривать лишь маленький

кусочек исходного графика. Такой кусочек будет выглядеть как прямая линия. Но ведь

это график прямолинейного движения! А для прямолинейного движения скорость

численно равна наклону прямой. Проделав соответствующие измерения по графику, мы и определим значение мгновенной скорости в точке, окрестность которой была

подвергнута процедуре увеличения масштаба.

Изменив масштаб, можно связать между собой физические зависимости, которые

на первый взгляд кажутся совершенно разными. Нарисуйте, например, рядом график

зависимости площади квадрата S от длины его стороны R и график зависимости

площади круга от его радиуса R. А теперь, измените масштаб на первом рисунке вдоль

оси S в π раз так, чтобы он «растянулся» в π раз вдоль вертикальной оси. Масштаб

вдоль оси R оставьте неизменным. Нетрудно сообразить, что после этого графики

зависимости площади квадрата от его стороны и площади круга от его радиуса будут

неотличимы! Разница состоит лишь в выборе масштаба по одной из осей. Обе

обсуждаемые зависимости даются формулой S=CR2 . Здесь C - некоторое постоянное

число, как говорят, константа. Для квадрата C=1, а для круга C=π. Такие ситуации, когда зависимости отличаются лишь численным множителем, а в остальном

тождественны, очень интересны. Впоследствии мы вернемся к ним.

Изменяя масштаб, можно «создавать» новые геометрические фигуры. Пусть, например, мы имеем окружность (рис.7.а).

Рис. 7

Изменим масштаб вдоль оси y так, что окружность сожмется вдоль оси y (рис.7.б).

Получившуюся фигуру называют эллипсом. Чем сильнее мы изменим масштаб по оси

y, тем более вытянутый эллипс мы получим. Эллипс обладает многими интересными

геометрическими свойствами. Для физиков эллипсы интересны, прежде всего, потому, что по ним движутся планеты вокруг Солнца.

Задачи

1. Вы хотите изобразить рядом кита и щуку так, чтобы они на рисунке имели

примерно одинаковый размер. Во сколько раз будут отличаться масштабы

рисунков?

2. На рисунке изображена линия. Покажите качественно фрагмент этой линии с

помощью серии рисунков с увеличивающимся в 10 раз масштабом. Линия

проведена шариковой ручкой.

3. Сколько нужно одинаковых карт масштаба 1:1000, чтобы ими покрыть

местность, изображенную на одной такой карте?

4. Модель земного шара имеет размер, равный размеру шарика от пинг-понга.

Чему равно расстояние от Саратова до Москвы на этой модели?

5. Вы отправились в кино. Кинотеатр расположен на расстоянии 1,2 км от дома.

Выберите масштабы по осям координат, которые будут удобными, для того, чтобы изобразить ваш поход в кино в виде графика зависимости расстояния

между вами и домом от времени.

6. Муравей путешествует с одного края дачного участка, имеющего площадь 6

соток, на другой. Выберите масштаб по осям координат, которые будут удобны

для того, чтобы изобразить график зависимости пройденного муравьем пути от

времени.

7. Уравнением y= 3 x+2 задана прямая на плоскости y, x. Изменится или нет наклон

этой прямой, если масштаб по оси x увеличить в 5 раз? А если увеличить в 5 раз

масштаб по оси y? А если увеличить масштаб в 5 раз и по оси x, и по оси y?

8. Уравнение окружности на плоскости x, y задается уравнением 2

y + x = R , где

R – радиус окружности. Покажите, что уравнение эллипса задается

соотношением y

+ x

= .

6. Точность в физике

Итак, мы научились определять примерные, приближенные значения физических

величин и оценивать характерные размеры. Однако, если это необходимо, физическую

величину нужно уметь рассчитать или измерить более точно. На первый взгляд

кажется, что всегда надо стремиться к максимальной точности. Ведь физика – «точная

наука»! Но на самом деле это не совсем так.

Каждое увеличение точности требует более дорогой и громоздкой аппаратуры.

Например, чтобы измерить расстояние с точностью до миллиметра, нужна линейка.

Линейка у нас всегда под рукой. А чтобы измерить расстояние с точностью до десятых

долей миллиметра, нужен штангенциркуль. Не у каждого человека дома или на работе

есть штангенциркуль, требуется время, чтобы его найти, а также время, чтобы

научиться им пользоваться. Значит, увеличение точности измерения требует

существенного увеличения времени, которое вы затратите на работу. А вдруг за это

время вас опередят конкуренты - ваши коллеги?

Есть еще одна сложность. Дело в том, что чем точнее вы хотите рассчитать

величину, тем большее число физических явлений надо учитывать. Например, вы

хотите рассчитать орбиту Венеры. Прежде всего, необходимо принять во внимание

притяжение со стороны Солнца. Учитывая только этот фактор, легко вычислить форму

траектории Венеры. Но ведь на Венеру действует и Земля, и остальные планеты. А ведь

есть и другие звезды, галактики, туманности и т.д. Значит, физик должен уметь

остановиться в своем стремлении повысить точность. Об этом очень хорошо сказано в

книге «Иду на грозу». Главный герой впервые начинает самостоятельную

экспериментальную работу:

«После первых измерений ему показалось, что картина распределения получается

слишком грубой. Он решил уточнить методику. Перебрал несколько сортов нитей

подвески. Поставил сверхчувствительный гальванометр. Затем ему пришло в голову

автоматически стабилизировать температуру прибора. Учесть искажающее влияние

трансформаторов...

- Почему вы не учитываете полярные сияния? Заряды кота у сторожихи? -

спросил его Аникеев. - Вы больны. Болезнь называется «не могу остановиться».

Научитесь себя ограничивать. Получили примерную величину и двигайтесь дальше.

Искать истину в последней инстанции - зряшный труд. И существует ли она, эта

последняя инстанция?»

Значит, физика - вовсе не «точная наука», она всегда имеет дело с

приближенными числами. Даже простые арифметические действия в физике не всегда

столь

уж

просты.

Зададимся

вопросом,

правильна

ли

запись

11,331см+12,1см=23,431см? С точки зрения математики здесь все верно. Но теперь

поставим задачу иначе. Карандаш длиной 11,331 см, которая измерена с помощью

штангенциркуля, и карандаш, длину которого измерили линейкой с миллиметровыми

делениями и получили результат 12,1 см, положили на стол торцом к торцу. Какова

суммарная длина двух карандашей? Ясно, что мы должны сказать 23,4 см. Ведь мы не

знаем долей миллиметра во втором случае! Поэтому для физика в этой ситуации более

правильна запись 11,331см+12,1см≈23,4см.

Итак, в физике выбрана определенная форма записи чисел, которая несет много

полезной информации. Например, число 2,21 1012 м означает, что мы имеем дело с

расстоянием порядка 1012 м, точность измерения около 1%, число достоверных цифр

после запятой две. Вот сколько говорит число, если тот, кто обращается с ним, обращается аккуратно.

Может показаться, что определение точности - это процедура типа «страховки», 20

просто гарантия измеренной или вычисленной величины. Однако это не так. Точность

может быть очень существенной для физика. В этом очень просто убедиться. Возьмем

микрокалькулятор, выберем число 1 и нажмем клавишу x2 десять раз. На каждом шаге

этой процедуры должно получаться число 1. Это математически строгий результат. А

если мы немного ошиблись? Возьмем число 1,001 и проделаем этот же расчет.

Получилось число 2,782885. Это что-то совсем не то. Таким образом, применение

простейшей математической формулы при крайне малой ошибке в начальном числе

дало совершенно другой результат. Но ведь абсолютно точных числовых данных в

природе не бывает!

Как же мы решаем массу задач, например, о движении тел, брошенных под углом

к горизонту? Ведь два разных тела абсолютно одинаково бросить нельзя. Но тогда, может быть, эти два тела полетят совсем по-разному? Тут есть, о чем подумать физику.

Оказывается, что существует множество задач, когда малое изменение начальных

условий приводит к радикальному изменению траектории тела. Это может приводить к

возникновению хаоса - сложного, непериодического, непредсказуемого движения.

Простейший пример такого рода - движение шарика, подпрыгивающего на

вибрирующем столе. Подобными задачами в физике стали интересоваться по-настоящему только в самые последние годы, и в них еще остается много загадочного.

Задачи

1. Результат, какого из приведенных измерений является более точным: 36 км; 36,00 км? Почему? Во сколько раз выше точность?

2. Когда будущий лауреат Нобелевской премии Петр Леонидович Капица пришел

устраиваться на работу к выдающемуся английскому физику Резерфорду, Резерфорд отказал ему со словами, что в его лаборатории нет мест. На это

Капица сказал: «Но профессор, если вы примите меня на работу, то число ваших

сотрудников увеличится не более чем на 10%. Вы же в своих работах всегда

подчеркиваете, что физик не должен гнаться за большей точностью». Что вы

можете сказать о численности группы Резерфорда?

3. Мама, папа и сын собрались поехать в отпуск в Москву на автомобиле. Мама

поручила спланировать бюджет с точностью до рубля. С какой точностью для

этого надо знать расстояние до Москвы? На 100 км пробега идет 12 л бензина, 1

л бензина стоит 7 рублей 20 копеек. (Поездка происходит в 1992 году.) Сын на

всякий случай решил эту задачу и в предположении, что маме захочется знать

бюджет с точностью до копейки. Какой результат он получил?

4. Определите, какова точность, с которой человек «на глаз» может измерить

отрезок длиной около 1 см.

5. Размер клеточки в школьной тетради 0,5 см. С какой точностью они нанесены?

6. Нарисуйте в школьной тетради «от руки» окружность диаметром 5 см. С какой

точностью вы смогли ее нарисовать?

7. В XVII веке Авраам Шарп получил число π с точностью до 72 знаков после

запятой. С какой точностью можно вычислить, используя этот результат, длину

окружности с радиусом, равным 1022 м - это расстояние до Большой Туманности

в созвездии Андромеды.

8. С какой точностью надо измерить сторону квадрата, чтобы определить его

площадь с точностью не ниже 1 %?

7. Зависимости физических величин. Функции и графики в физике.

Мы теперь знаем, что физические величины измеряются числами. Существенное

свойство окружающего мира состоит в том, что некоторые из физических величин

зависят друг от друга. Отыскать такие зависимости иногда не просто. Часто трудно

бывает даже сказать, есть ли зависимость, или ее нет совсем. Например, зависит или

нет число дорожно-транспортных происшествий от усилий агитационных машин

ГИБДД на улицах? Чтобы ответить на этот вопрос, требуется специальное

исследование. Но совершенно ясно, что, например, расход бензина зависит от

величины пройденного автомобилем пути. А вот численность населения Гавайских

островов не зависит от числа двоек, полученных учениками Лицея прикладных наук.

Как сделать зависимости наглядными? Физики используют три основных

способа: рисуют графики, составляют таблицы, получают формулы. (Подумайте и

приведите примеры зависимостей, заданных тремя перечисленными способами.) Математический аппарат, который позволяет описывать зависимости физических

величин - это теория функций. Физик должен очень хорошо владеть теорией функций.

Он должен уметь быстро, легко и свободно рисовать графики функций. Умело

находить на них характерные точки (минимумы, максимумы и т.д.). Этому искусству

вы должны научиться на уроках математики. Но для физика функция - чуть более

«живой» объект. Ведь она всегда выражает зависимость из реальной жизни! Значит, опыт и интуиция могут много рассказать о том, как должен выглядеть график.

Многое из того, что мы говорили о числах, справедливо и для функций. Можно

нарисовать примерный, приближенный график, который схватывает суть зависимости. В

этом случае говорят, что график функции построен «качественно». Затем можно

подсчитать или измерить зависимость более точно и нарисовать уточненный график и т.д.

На графике функции можно увидеть некоторые характерные «элементы», которые для опытного человека всегда бросаются в глаза. В каком-то смысле

качественная информация о функции, которую мы запоминаем, и есть информация о

том, какие это элементы и каково их взаимное расположение. Очень важно понимать, что для появления этих «элементов» на графиках зависимости всегда должны быть

какие-то физические основания.

Участки монотонности. Максимумы и минимумы. Мы приведем

экономическую, а отчасти «психологическую» интерпретацию этих новых понятий.

Пусть нас интересует зависимость количества денег, имеющихся в нашем

распоряжении, от времени (рис.8). Это количество может монотонно расти (хорошо!), может монотонно уменьшаться (плохо!).

Рис. 8

Пусть теперь количество денег у нас растет, растет, а потом, к сожалению, начинает уменьшаться. В подобном случае говорят, что функция имеет максимум

(рис.9). Или, наоборот, наша жизнь была очень печальной, число денег все время

убывало, но, начиная с некоторого момента, стало расти. В подобной ситуации говорят, что функция имеет минимум (рис.9).

Рис. 9

Разрыв. Если нет каких-то специальных физических причин, то график

исследуемой функции «скорее всего» плавный, гладкий. Такова, например, зависимость температуры воздуха от времени в течение хорошего, солнечного дня, изображенная на рисунке 10.

Рис. 10

Рассмотрим теперь качественно иную ситуацию. Пусть нас интересует

зависимость числа яблок в холодильнике от времени. «Проведя измерения», мы можем

получить примерно такой график (рис.11).

Рис. 11

Существенная особенность этого графика - наличие характерных горизонтальных

«полочек». Их появление связано с тем, что число яблок в холодильнике всегда целое.

Как видно из нашего рисунка, в 15 часов из холодильника достали три яблока, а в 21

час - одно положили обратно. Именно эти действия привели к «скачкам» на графике. В

подобной ситуации говорят, что функция имеет разрывы.

Действительно ли функция «рвется»? Обычно более детальное исследование

физической ситуации приводит к следующему. На тех характерных масштабах

времени, на которых мы описали наш процесс, величина изменяется скачком. Однако, если исследовать поведение зависимости на существенно меньших масштабах, то мы

можем обнаружить более «тонкое» устройство графика.

Например, график зависимости температуры от времени может иметь разрыв, если во время хорошего, солнечного дня внезапно налетит тайфун. Если же мы

рассмотрим окрестность разрыва, то увидим, что температура на характерном отрезке

времени порядка 10 минут менялась плавно (рис.12). Правда, для того, чтобы

Рис. 12

зарегистрировать это плавное изменение, требуется проводить гораздо более частые

измерения температуры.

Излом. Излом - это точка, в которой естественное продолжение графика не

совпадает с тем, как он ведет себя на самом деле (рис.13).

Рис. 13

То, что мы сказали о разрывах, относится и к изломам: для их появления

необходимы физические причины. Например, на графике зависимости температуры

нити лампочки накаливания от времени изломы появляются тогда, когда мы щелкаем

выключателем. Изломы могут иметь тонкую структуру, для обнаружения которой

необходимы более тщательные измерения.

Задачи

1. На одном графике (рис.14) приведены зависимости длины отрезка, площади

квадрата и объема куба от длины стороны l. Определите, какой график

соответствует каждой из указанных зависимостей.

Рис. 14

2. Постройте график зависимости площади прямоугольного треугольника с

катетом, равным 1 см, от величины угла, прилежащего к этому катету. Имеет ли

этот график разрывы, изломы, максимумы или минимумы?

3. В таблице приведены значения температуры T на улице, измеренные в

некоторые моменты времени t. День спокойный, солнечный. Постройте график

зависимости температуры на улице от времени. (Используйте миллиметровую

бумагу!) Чему была равна температура в 13 часов, 17 часов, 19 часов? Какую

температуру можно ожидать в 21 часов?

t, час

11 12 14 15 16 18 20

T 0

C 27,1 28,7 30,0 29,7 28,7 25,0 20,0

4. Постройте график зависимости массы стакана с водой от объема воды, налитой

в стакан.

5. Дачный пароходик курсирует вверх-вниз по реке. Постройте возможный график

зависимости координаты пароходика, отсчитываемой вдоль реки, от времени.

6. Мама, папа и сын едут в отпуск на автомобиле. Сын следит за расходом

бензина. Нарисуйте график зависимости количества бензина в баке автомобиля

от пройденного пути, который получил сын.

7. Нарисуйте примерный график зависимости числа учеников в школе от времени

в течение суток. Будет ли он одинаков для декабря и сентября? В чем отличие и

почему?

8. Нарисуйте примерный график зависимости потребляемой в вашей квартире

электроэнергии от времени в течение суток. Объясните его.

9. Нарисуйте примерный график зависимости числа людей от времени в вашей

квартире в течение суток.

10. Нарисуйте график зависимости высоты уровня воды в ванне от времени.

Рассмотрите два случая: пробка открыта, пробка закрыта.

11. В момент времени t=0 включили электрическую лампочку. Нарисуйте

качественно график зависимости температуры нити лампочки от времени.

12. Шар диаметром 5 см погружают в воду. Постройте качественно график

зависимости выталкивающей силы, действующей на шар, от глубины, на

которую погрузили шар.

13. Пуля, летящая со скоростью v, пробивает кубик из пенопласта (рис.15).

Нарисуйте качественно зависимость скорости и ускорения пули от времени.

Рис. 15

14. Маленький грузик висит на пружине (рис.16). Грузику ударом сообщают

скорость v, направленную вертикально вверх. Нарисуйте качественно

зависимость координаты и скорости грузика от времени. Сопротивление воздуха

отсутствует.

Рис. 16

15. Космический корабль приближается к планете по спирали (рис.17). Нарисуйте

примерный график зависимости координат x и y от времени.

Рис. 17

8. Асимптотическое поведение зависимостей

Функции в физике - не просто математические объекты, они всегда связаны с

реальным миром. Чтобы установить функциональную связь обычно требуется провести

измерения, выполнить расчет и т.д. Однако в некоторых областях изменения

переменных характер физической зависимости иногда удается выяснить из простых,

«жизненных» соображений. Пусть, например, мы решаем следующую задачу. В Земле

от Северного до Южного полюсов прорыта гигантская шахта. Постройте график

зависимости силы тяжести F, действующей на тело массы m, от расстояния от центра

Земли. Тело может находится как внутри шахты, так и вне нее.

Давайте «наметим» график из следующих соображений. Очень далеко от Земли

сила тяжести практически равна нулю, поскольку тяготение убывает с расстоянием. В

центре Земли сила тяжести тоже равна нулю - в этом случае тело испытывает

одинаковое воздействие пород Земли со всех сторон. Наконец, на поверхности Земли

сила тяжести равна mg. Итак, мы кое-что уже знаем, хотя «по-настоящему» и не

решали задачу! Можно нарисовать примерный график искомой зависимости (рис.18).

Рис. 18

Об этом графике можно сказать следующее: «При больших значениях R сила

тяжести стремится к нулю, она стремится к нулю и при малых R.» Ситуации, когда

физическая переменная стремится к каким-либо значениям, называют предельными

или асимптотическими. Всякая информация о предельных случаях очень ценится в

физике. Ведь она помогает следовать правилу Уилера: «Никогда не начинай

вычислений, пока не знаешь ответа».

С помощью асимптотических оценок можно найти ошибку в результатах чужой

теории или эксперимента, не занимаясь детальной проверкой. Обратимся еще к одной

задаче. Горизонтальная балка прямоугольного сечения жестко заделана одним концом

в стену. К другому концу балки приложена сила F (рис.19). Смещение y конца балки

зависит от силы F, длины l, ширины a и толщины балки b, а также от коэффициента E с

размерностью Н/м2 , характеризующего материал балки. На экзамене, решая эту задачу, 4 Fb

студент вывел следующую формулу: y =

. Как вы думаете, как отреагировал

Eal

профессор?

Профессор не стал решать эту сложную задачу. Чтобы проверить формулу

4 Fb

студента, он воспользовался «физическими соображениями». Формула y =

Eal

Рис. 19

должна быть справедливой при любых значениях параметров. Профессор проверил ее

при очень маленьких значениях толщины балки b. Формула, полученная студентом, при стремящемся к нулю b предсказывает очень маленькое значение смещения конца

балки y. Профессор «представил себе» очень тонкую «балку». Конечно, это уже не

балка, а, фактически, тонкий лист. Но такой лист сильно согнется под действием силы, приложенной к его концу! А значит, формула студента неправильна, она предсказывает

неверный результат в асимптотическом случае b → 0. (Записью b → 0 заменяют слова

«величина b стремится к нулю».)

Профессор указал студенту на его ошибку. Подумав, студент написал еще одну

Fl 2

формулу: y =

. Но и эту формулу профессор забраковал, не проводя вычислений.

Eab

Почему?

Задачи

1. В ведро высыпали стальные шарики - столько, сколько помещается. Нарисуйте

качественно, как выглядит эта ситуация в асимптотике очень больших шариков.

2. Аборигены высекли из цельной скалы куб с ребром в 100 м. Какие слова больше

подходят

для

описания

картины,

открывшейся

путешественникам:

«колоссальная стена» или «кажется, я вижу нечто любопытное, что трудно

разобрать при моем зрении»?

3. Преобразуйте следующие математические выражения в асимптотике очень

больших x:

а) y =

, б)

y = x + 4 .

1+ x

4. Ученик получил формулу для объема конуса

2 3

R h

V = π

(

, где R - радиус

h + R )

основания конуса, а h - его высота. Выделите два предельных случая и

проверьте для них справедливость формулы.

5. Как известно, при равноускоренном движении зависимость координаты от

времени дается соотношением

x = x + v t + at / 2 . Напишите более простую

формулу, которой можно пользоваться, если время движения тела t велико.

Сделайте оценку величины времени, начиная с которого полученной

приближенной формулой можно пользоваться. Чему равно это время, если x0

=1см, v 0 =1м/с , a=10м/с2 ?

6. На легком стержне укреплен массивный шарик (рис.20). Стержень может

вращаться вокруг точки О. Шарик отклонили на угол ϕ от вертикали и

отпустили. Через время T шарик прошел «туда-сюда» и вернулся в исходное

положение. Затем опыт повторили для другого начального угла ϕ. На рисунке 20

приведены два варианта графика зависимости времени T от угла ϕ. Какой из

графиков, по вашему мнению, правильный?

Рис. 20

7. На неподвижный шар массы M налетает со скоростью v другой шар. В

результате упругого удара шар массы m отлетел со скоростью u=mv/M.

Правильное ли это утверждение?

8. Мяч бросили вертикально вверх. Что больше, время подъема или время

падения? Учесть сопротивление воздуха.

9. Измерения и эксперимент в физике

Очень многие зависимости физики устанавливают экспериментально, т.е.

измеряют величины и на основе этих измерений делают выводы об их взаимосвязи.

Измерение - это основной метод работы физиков-экспериментаторов.

Чем больше талант экспериментатора, тем на более простом оборудовании он

может получить эффектные результаты. Но эксперимент - это всегда большой труд, требующий напряжения, внимания и времени. Эксперимент - это своего рода

искусство. На каждом шаге решения экспериментальной задачи приходится применять

какие-то маленькие хитрости и находки. Решения задач здесь бывают неожиданными и

интересными.

Большое значение имеет умелая обработка результатов эксперимента. Даже имея

примитивное оборудование, за счет обработки результатов измерений можно добиться

высокой точности. Как это сделать? Давайте обратимся к примеру. Пусть перед нами

стоит экспериментальная задача: имея линейку с миллиметровыми делениями, определить толщину листа книги.

Взяв линейку и приложив ее к одному листу, мы можем установить лишь, что

толщина листа менее 1 мм. «На глаз» можно сказать, что она, по-видимому, около 0,1

мм. Что же делать дальше?

Приготовим пачку из 100 листов. Толщину такой пачки уже можно измерить

линейкой. Первое, на что обращаешь внимание при измерении - стопку надо слегка

сжать, чтобы устранить промежутки между листами. Измерение дало значение 9 мм с

точностью 1 мм. Значит, толщина листа 0,09 мм, а точность этого измерения около 0,01

мм. Это уже неплохой результат.

Как еще повысить точность? Мы измеряем толщину стопки листов с точностью

около 1 миллиметра. При этом 100 листов имеют «истинную» толщину, лежащую где-то между 9 мм и 10 мм. Но ведь можно поступить следующим образом. Не будем

фиксировать количество листов в пачке, а начнем постепенно «подкладывать» их до

того момента, когда толщина стопки не станет равной точно 10 мм. Такая стопка

содержит, как оказалось в проделанном автором эксперименте, 103 листа, а значит

толщина листа 0,097 мм.

Не будем останавливаться на достигнутом. Придуманную нами схему измерений

можно применить не один раз. Измерим 5 раз число листов в пачках толщиной в 10 мм.

Были получены значения 103, 105, 107, 106, 107 листов. В ходе эксперимента пришла в

голову идея, что надо брать пачки примерно по 100 листов в разных местах книги.

Действительно, если мы будем повторять измерение на одном месте, есть шанс

получить одно и то же число, поскольку листы примнутся, и книга будет открываться

на одном и том же месте. Теперь мы можем сделать таблицу.

Номер

Число

Толщина

Средняя

Погрешность

Средняя

опыта

листов

листа

толщина

каждого опыта погрешность

мм

1 103

0,09708

0,0022

2 105

0,09524

0,0004

3 106

0,09434

0,09488 0,0005 0,001

4 107

0,09346

0,0014

5 106

0,09434

0,0005

В нее мы занесли результаты всех 5 измерений. Сложив их все и поделив на число

измерений, можно вычислить среднее значение толщины листа: 0,09488 мм.

Какие факторы влияли на точность? К несчастью, их, как всегда, много. Линейка

позволяет измерять расстояния с ограниченной точностью, листы в стопке можно

сжать по-разному, к концу измерений мы устали и были менее внимательными и т.д.

Кроме того, все листы в книге на самом деле разной толщины. Так что определить

точность измерений, приняв во внимание все эти факторы, очень сложно.

Но мы все же можем оценить точность наших измерений. Для этого надо

подсчитать, насколько мы ошиблись по сравнению со средним значением во всех

опытах. Эти данные представлены в пятом столбце таблицы. Затем вычисляем

среднюю ошибку. Она равна 0,001 мм. Теперь имеет смысл округлить наш результат, поскольку число 0,09488 содержит несколько «незаконных» лишних цифр. Итак, окончательно

Толщина листа равна

0,095 мм ± 0,001

Наш опыт позволяет решить еще одну задачу. Давайте экспериментально найдем

зависимость между числом листов в стопке N и толщиной стопки l. Тогда мы получим

функцию, которую можно изобразить на графике (рис.21).

Рис. 21

Нетрудно сообразить, что искомая зависимость имеет вид прямой линии.

Действительно, число листов N=l/d, где d - толщина одного листа. Взяв линейку, можно провести эту линию. Экспериментальные точки чуть-чуть не ложатся на

прямую, что связано с погрешностью измерений. С помощью такого графика тоже

можно найти толщину листа по величине углового коэффициента построенной прямой.

(Вы помните, как найти угловой коэффициент прямой по графику?) Таким образом, есть еще один способ определения толщины листа. Наверно, он один из лучших, поскольку мы обрабатываем результаты всех пяти измерений простым «приложением»

линейки к экспериментально полученному графику. Стоит сказать, что существует

специальный численный алгоритм, который позволяет по экспериментальным точкам

провести прямую линию оптимальным образом (так называемый метод наименьших

квадратов). Но и «на глаз» получается хорошая точность.

Кажется, на этом оборудовании мы сделали все, что могли. Мы потратили много

времени и сил. Стоило ли гнаться за такой точностью? (Вспомним советы Аникеева.) Точность эксперимента часто играет важнейшую роль в установлении

фундаментальных законов природы. Очень часто такие эксперименты выполняются на

пределе точности - ведь речь идет о совершенно новых исследованиях. Например, 32

существуют теории, согласно которым известные людям поля: электромагнитные, сильные, слабые, представляют собой проявления некоторого единого поля. Если это

так, то протон - не идеально стабильная частица, время его жизни около 1034±2 лет. Это

очень большое число. Ведь Вселенная существует всего лишь около 1010 лет. Если

взять очень много протонов, около 1033 штук, то можно ожидать, что за один год

распадется несколько протонов. Эксперименты по наблюдению за возможными

распадами протонов сейчас проводятся. Для них созданы специальные установки, содержащие тысячи тонн вещества, находящиеся в глубоких шахтах и устройства, которые могут зафиксировать распад единичных протонов. Пока установлено, что

время жизни протона больше, чем 1031 лет.

Задачи

1. Определите размер клеточки в школьной тетради. Оборудование: полоска

миллиметровой бумаги.

2. Определите вес одной капли. Оборудование: пипетка, чашка, сосуд с водой, весы.

3. Определите вес скрепки.

4. Определите толщину скрепки.

5. Определите вид зависимости длины окружности, площади круга и объема шара

от их радиусов. Оборудование: несколько цилиндров, нитка, весы, шарики

разных размеров, лист бумаги, линейка, стакан с водой.

6. У вас есть динамометр, набор разновесов и нитка. С какой точностью вы можете

измерить массу тела?

7. Разработайте способ экспериментального определения высоты пятиэтажного

дома.

10. Размерности физических величин

Кроме численных значений, физические величины характеризуются своей

размерностью. С понятием размерности мы знакомимся еще до того, как начинаем

изучать физику. Например, мы хорошо знаем, что длина измеряется в метрах, масса в

граммах и т.д. На первый взгляд кажется, что размерность играет вспомогательную

роль. На самом деле это не так. Размерность - хороший помощник физика. Умение

обращаться с размерностью помогает избежать ошибок в преобразованиях, а иногда

дает возможность получить ответ к задаче, когда другие способы решения найти не

удается.

Давайте поговорим о размерности подробнее. Не указав размерности, нельзя

сопоставить физической величине какое-либо число. Например, бессмысленно сказать, что длина предмета равна 10. Надо обязательно уточнить, чего 10? Метров, сантиметров, а может быть парсек? Вот эта дополняющая число информация и

называется размерностью. Таким образом, размерность физической величины

устанавливает, с каким эталоном надо соотнести число. Если длина стены равна 10

метров, это означает, что вдоль стены можно уложить 10 раз линейку метровой длины.

Существуют основные размерности. Они соответствуют физическим величинам, которые людям проще измерять. Обычно это длина, масса, время. Им соответствуют

размерности «метр», «килограмм», «секунда», или сокращенно «м», «кг», «с».

Остальные физические величины имеют производную размерность, например, размерность скорости – «м/с», ускорения – «м/с2» и т.д. Вообще-то, можно придумать

единицу скорости, и считать ее основной. Тогда производной станет единица длины.

Принципиальных возражений против этого нет, но это очень неудобно.

В физических соотношениях размерности правой и левой части всегда должны

быть равны. Невозможна запись

3 бегемота - 2 бегемота = 1 крокодилу.

Также не верна запись

100 бегемотов = 100 килобегемотов,

хотя, казалось бы, цифры одинаковы.

Это правило позволяет быстро находить ошибку, когда вы проводите большое

количество промежуточных расчетов. Например, в задаче о балке, которую мы уже

4 Fl b

обсуждали, профессор мгновенно забраковал и третий вариант ответа y =

. Он

рассуждал следующим образом. Размерность левой части соотношения равна

«метрам»:

[ y] = м.

Квадратные скобки в этой записи обозначают размерность. Вычислим теперь

размерность правой части:

⎡4 Fl b ⎤

H ⋅ м ⋅ м

= м

⎢

2 ⎥

2 2

⎣ Ea ⎦ ( H м ) ⋅ м

Получается, что размерность левой части равенства и размерность правой не

совпадают. Значит, формула не верна.

Но простая проверка преобразований - это далеко не все выгоды размерности.

Оказывается, анализ размерности физических величин позволяет получать новые

формулы. Соответствующий прием называют методом размерностей. Давайте

научимся пользоваться этим методом. Отыщем формулу для объема шара. Первый этап

решения задачи с помощью метода размерности состоит в том, что определяются все

величины, которые могут войти в искомую формулу. Ясно, что объем шара, может

зависеть только от его радиуса R. Выпишем размерности всех интересующих нас

величин:

[ V] = м 3 , [ R] = м.

Единственный способ, с помощью которого из размерности «м» можно получить

«м3», состоит в том, чтобы возвести радиус в куб. Поэтому искомая формула имеет

вид:

V = C R3.

В полученное соотношение вошел некоторый неизвестный нам численный

коэффициент, который мы обозначили через C. Это число нельзя определить с

помощью метода размерностей. Константу C можно отыскать экспериментально, с

помощью компьютерного моделирования или строго решив задачу.

Решим с помощью метода размерностей еще одну, более сложную задачу. Чему

равно время, за которое маятник совершает одно полное колебание? (Это время

называют периодом колебаний.) Строгое математическое решение этой задачи

приводит к дифференциальному уравнению, которое не изучают в школе. Не будем, поэтому пытаться написать уравнение движения, а попробуем ответить на вопрос: от

каких физических величин зависит период колебаний T? Мы знаем, что период малых

колебаний не зависит от начального угла отклонения маятника. Нить, на которой

подвешен маятник, очень легкая, поэтому период колебаний не может зависеть от ее

массы. Грузик имеет очень маленький размер, так что этот размер тоже не может быть

существенным. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то останутся всего три

величины: длина нити l, ускорение свободного падения g, масса маятника m.

Итак, ответ к нашей задаче должен выглядеть в виде формулы, в левой части

которой должен стоять период колебаний T, а в правой - неизвестная нам пока

комбинация из длины нити l, ускорения свободного падения g, массы маятника m.

Выпишем размерности величин, входящих в искомую формулу:

[ T] = c;

[ l] = м, [ g] = м/с2 , [ m] = кг.

Размерности левой и правой части любого равенства должны быть равны. Как

«приготовить» секунды из м, м/с2 , кг? Способ один:

c = м /( м / 2

с )

Следовательно, ответ к задаче имеет следующий вид:

T = С l / g .

Здесь C - какое-то неизвестное нам безразмерное число. Определим константу C

экспериментально. Изготовим маятник длиной 1 м, и измерим период колебаний. Он

окажется около 2 с. Значит число C = T / l / g приближенно равно 6,3. (Точное

значение C= 2π.)

Мы получили, что период колебаний зависит от длины маятника как

l .

Поэтому, если увеличить длину маятника в 2 раза, то период колебаний возрастет в

2 ≈ ,

1 414 раз. Кроме того, мы установили, что период колебаний маятника не зависит

от массы грузика. Это существенные результаты, которые могут быть проверены

экспериментально.

Давайте еще немного поразмышляем над задачей о маятнике. Что будет, если

маятник совершает колебания с большим размахом? Тогда период колебаний должен

зависеть от начального угла отклонения ϕ. Это величина безразмерная. Но ведь

размерности левой и правой частей уравнений все равно должны быть одинаковы. Это

с неизбежностью приводит нас к выводу о том, что формула для периода колебаний

выглядит так:

T = l / g ⋅ f (ϕ) .

В этом соотношении f( ϕ )- некоторая функция, которую установить из

соображений размерности невозможно. Однако ее график можно построить

экспериментально. Для этого надо установить зависимость T( ϕ ) для какой-то одной

фиксированной длины l. Если затем построить график измеренной зависимости, отложив по горизонтальной оси угол ϕ, а по вертикальной – комбинацию T = l / g , то

это и будет график функции f( ϕ ). Кстати, у нас обязательно при этом получится f(0)≈6,3

(почему?). Кроме того, при малых значениях ϕ функция будет почти не зависеть от ϕ

(почему?).

Можно проделать несколько серий измерений зависимости периода колебаний от

начального угла отклонения ϕ при разных значениях длины нити l. Построим эти

зависимости, отложив по вертикальной оси величину T = l / g . Тогда все они должны

представлять собой одну и ту же кривую! Ведь фактически, мы каждый раз строим

график функция f( ϕ ), а она одинакова во всех случаях. Когда возникает такая ситуация, 36

у физиков принято рисовать одну серию результатов точечками, другую - крестиками, третью - квадратиками и т.д. Тогда результаты, относящиеся к разным значениям

длины, оказываются выделенными. Получается следующая картинка (рис.22).

Рис. 22

Взглянув на такой график, можно сразу сказать, хорошо ли работает наша

формула. Критерием этого является, ложатся или нет точечки, крестики, квадратики на

одну кривую. Если да, то в этом случае говорят, что получилась универсальная

функция. Она является универсальной в том смысле, что она пригодна одновременно

для всех маятников, какова бы ни была длина их подвеса.

Задачи

1. Размерности каких из перечисленных величин относятся к основным: атмосферное давление, время обращения Земли вокруг своей оси, скорость

автомобиля, длина железнодорожного состава, мощность электрической плитки, масса птичьего пера? Если такие величины есть, то удобно ли использовать их в

качестве эталона?

2. В известном мультфильме Удава измеряют в попугаях. Какие параметры

Попугая можно использовать в качестве эталона для введения основных

единиц?

3. Выразите через основные следующие размерности: Н, Па, Дж, Вт.

4. Определите экспериментально константу C в формуле V=CR3 для объема шара.

Используйте для этого следующее оборудование: шар, линейку или

штангенциркуль, мерную мензурку с водой.

5. Получите формулу для площади круга из соображений размерности.

Определите экспериментально константу C в этой формуле, используя

клетчатую бумагу и циркуль.

6. Экспериментально определите, во сколько раз возрастает период колебаний

маятника при увеличении его длины в два раза.

7. Тело движется по окружности радиуса R с постоянной по величине скоростью v.

Из соображений размерности получите выражение для ускорения тела.

8. Спутник движется вокруг Земли по низкой орбите. Получите формулу для

периода обращения спутника из соображений размерности. Ускорение

свободного падения у поверхности Земли равно g, ее радиус R.

9. Для того, чтобы оторвать змею от добычи, ее надо тянуть за хвост с силой F. За

какое время змея, лежащая на гладкой горизонтальной поверхности вдоль

прямой линии, может свернуться, образовав кольцо? Масса змеи M, ее длина l.

10. Маленький кубик массы m прикреплен к пружине жесткости k (рис.23). Если

кубик сместить в сторону, то он начнет колебаться около положения равновесия.

Так же как и для маятника, период малых колебаний кубика не зависит от их

размаха. Чему равен период колебаний? Трение отсутствует.

Рис. 23

11. Скорость звука в газе зависит от давления p и плотности газа ρ. Получите

формулу для скорости звука.

12. Тело брошено под углом α к горизонту. Из соображений размерности получите

формулы для дальности полета тела l и максимальной высоты подъема тела h.

Постройте

качественно

универсальную

функцию,

характеризующую

зависимость дальности полета от угла.

13. Площадь прямоугольного треугольника однозначно определяется величиной

гипотенузы c и углом α, прилежащим к гипотенузе. Из соображений

размерности получите формулу для площади прямоугольного треугольника.

Постройте

качественно

универсальную

функцию,

характеризующую

зависимость площади прямоугольного треугольника от угла α.

14. Используя результат предыдущей задачи, докажите теорему Пифагора.

11. Подобие - один из способов узнать зависимость физических величин

Подобие - это термин, который известен нам из геометрии. Чтобы получить

фигуру, подобную данной, ее можно перефотографировать и напечатать фотоснимок с

другим увеличением (рис.24).

Рис. 24

Подобие тесно связано с понятием характерного размера. Чтобы полностью

определить то или иное геометрическое тело, необходимо задать некоторое число

параметров - характерных размеров. Число таких характерных размеров может быть

существенно разным, оно зависит от «сложности» геометрии фигуры или тела.

Например, квадрат будет полностью определен, если задать всего один его размер -

длину стороны. Чтобы определить круг, тоже достаточно задать один размер, например, радиус.

Если фигура характеризуется единственным геометрическим размером, то можно

утверждать, что все фигуры этого типа подобны. Например, подобны друг другу все

квадраты и подобны друг другу все круги (рис.25).

Рис. 25

Также подобны друг другу все кубы и все шары. Пусть теперь, чтобы определить

фигуру, надо задать два или больше геометрических размера. Такие фигуры уже не

обязательно подобны. Например, не подобны два прямоугольника, показанные на

следующем рисунке (рис.26).

Рис. 26

Чтобы фигура была подобна какой-либо данной, лишь один из ее размеров

может быть произвольным. Например, чтобы превратить второй из изображенных

прямоугольников в подобный первому, мы можем сохранить его высоту неизменной, но должны подобрать длину так, чтобы она отличалась в n=A/а раз от длины первого

прямоугольника (рис.27).

Рис. 27

Число n=a/A называется коэффициентом подобия.

В геометрии доказывается, что если размеры подобных фигур отличаются в n раз, то их площади отличаются в n 2 раз. Идея такого доказательства очень проста. Разобьем

одну из фигур на маленькие квадратики. Очевидно, что можно выполнить совершенно

аналогичное разбиение на квадратики второй фигуры, только размеры квадратиков

будут отличаться в n раз, а их площади – в n 2 раз (рис.28).

Рис. 28

Но площади фигур примерно равны суммарной площади всех целых квадратиков, находящихся внутри фигур. Поскольку количества таких квадратиков для подобных

фигур равны, то площади подобных фигур относятся как n 2 .

Аналогично этому можно доказать, что если размеры подобных тел отличаются в

n раз, то их объемы отличаются в n3 раз. Соотношения для площади (n2) и объема (n3) подобных фигур и тел легко запомнить, поскольку в показателе степени стоит

размерность пространства. Для плоских фигур она равна двум, для объемных тел -

трем. (Кажется удивительным, но сейчас физики и математики решают и такие задачи, когда этот показатель дробный.)

Термин «подобие» используется не только в геометрических, но и в физических

задачах. О физическом подобии говорят обычно в следующей ситуации. Пусть имеется

некоторая физическая система, которая характеризуется какой-либо величиной

(объемом, весом, периодом колебания и т.д.) Необходимо ответить на вопрос: чему

равно значение этой величины для системы, все размеры которой увеличены в

некоторое число раз n?

Такие задачи можно решать двумя способами. Можно просто получить формулу

для искомой величины и посмотреть, как изменится интересующая нас величина. А

можно поступить и по- другому. Чтобы лучше уяснить это, обратимся к примеру.

Пусть имеется куб со стороной 2 см, который весит 10 г. Сколько весит куб, изготовленный из того же материала, но со стороной 4 см? Подсчитаем объем первого

куба. Получим 8 см3. Подсчитаем объем второго куба. Получим 64 см3 . Поскольку

кубики изготовлены из одного материала, то их вес пропорционален объему.

Следовательно, второй кубик весит 10 (64:8) = 80 г. Это правильное решение. Но

задачу можно решить и быстрее. Действительно, второй куб «точно такой же, как

первый», но все его линейные размеры в 2 раза больше, чем у первого. Это означает, что его объем и вес в 23 = 8 раз больше, т.е. 80 г.

На первый взгляд, второе решение не особенно лучше первого. Решим, однако, следующую задачу. Икосаэдр со стороной 2 см весит 100 г. Сколько весит икосаэдр со

стороной 8 см, изготовленный из того же материала? Для того, чтобы решить эту

задачу первым способом, нужно знать, что такое, собственно, икосаэдр? Далее нужно

или вывести, или найти в справочнике формулу для объема этого тела, и провести

вычисления. Второй же способ почти сразу приводит нас к ответу. Действительно, первый и второй икосаэдр - это геометрически подобные объемные тела. Поэтому

сразу можно сказать, что вес второго икосаэдра будет в (8:2)3 = 64 раза больше.

Метод подобия в физике часто позволяет быстро получить решение сложной

задачи. Ответим, например, на вопрос: какая капля падает в воздухе быстрее - крупная

или мелкая? Установившаяся скорость падения капли определяется балансом силы

тяжести и силы сопротивления воздуха. Капли разного размера падают с разной

скоростью, поскольку сила тяжести зависит от размера капли, а сила сопротивления

воздуха зависит от размера капли и ее скорости. Формулу для силы сопротивления

воздуха мы с вами пока еще не знаем. Очевидно, однако, что эта сила пропорциональна

площади поверхности капли, т.е. пропорционально R 2 , где R - радиус капли. Масса же

капли пропорциональна объему капли, т.е. R 3 . Таким образом, с ростом размера капли

R объем капли растет быстрее, чем ее поперечное сечение. Следовательно, сила

тяжести растет быстрее силы сопротивления, а значит, крупные капли падают быстрее.

При решении задач из соображений подобия очень эффективен метод

размерности. Например, с помощью этого метода мы установили, что период

колебаний маятника T дается формулой

T = С l / g .

Если нас интересует вопрос, во сколько раз измениться период колебаний

маятника при изменении длины подвеса l в n раз, то мы вполне можем ответить на него.

Для этого не нужно знать константу C.

Первым, кто обратил внимание на важность законов подобия в физике, был

Галилей. В своей первой книге он задался интересным вопросом: могла ли

существовать гигантская собака, подобная нормальной, но, скажем, раз в 10 больше.

Галилей сделал наброски рисунков костей такой собаки. Он понял, что вес ее возрастет

в 103 раз, а площадь костей всего лишь в 102 =100 раз. Значит, кости должны быть в 10

раз более толстыми, а обычные кости не выдержат веса гигантской собаки. Галилей

считал науку о подобии очень важной наряду с механикой, он так и назвал свою книгу

– «Трактат о двух науках».

В технике метод подобия используют в кораблестроении и самолетостроении.

Если сделать маленькие модели кораблей и самолетов, подобрав при испытаниях

какие-то другие значения скоростей моделей, то можно оценить свойства будущих

самолетов и кораблей. Правила пересчета скорости от реальных самолетов и кораблей к

их моделям производят с помощью метода подобия.

В шутливой форме много и интересно о подобии писал Я. И. Перельман, обсуждая книгу Свифта о приключениях Гуливера в Лилипутии и в стране великанов.

Задачи

1. Сколько характерных линейных размеров нужно задать, чтобы полностью

определить прямоугольник? Параллелограмм? Параллелепипед? Цилиндр?

Конус? Шаровой сегмент? Фотографию, изображенную на первом рисунке в

этом разделе?

2. У вашего товарища имеется набор геометрически подобных конусов. Сколько

линейных размеров нужного вам конуса следует сообщить товарищу, чтобы он

смог дать этот конус вам?

3. Сколько характерных линейных размеров нужно задать, чтобы полностью

определить геометрию пружины? Пружина навита из толстой проволоки виток к

витку вдоль цилиндрической поверхности. Сколько геометрических размеров

надо задать, чтобы выделить одну пружину из семейства геометрически

подобных пружин?

4. Длина основания равнобедренного треугольника 3 см, а боковой стороны 4 см.

Чему равна высота, опущенная на основание, у подобного ему треугольника с

коэффициентом подобия 3? Проделайте вычисления двумя способами.

5. Ребро одного куба равно 2 см, а диагональ второго равна 6 см. Чему равен

коэффициент подобия?

6. Установите экспериментально, как зависит от линейного размера фигуры ее

площадь. Оборудование: несколько подобных фигур сложной формы, вырезанных из бумаги; весы.

7. Как зависит от линейного размера объем подобных друг другу тел? Посмотрите

по справочнику дома формулы для объема разных тел: цилиндров, конуса и т.д.

и проверьте свои соображения.

8. Предположим, что все размеры стальной проволоки изменили в n раз. Во

сколько раз изменится:

а) объем?

б) масса?

в) площадь поверхности?

г) коэффициент жесткости?

д) разрывное напряжение?

9. После семи стирок линейные размеры куска мыла уменьшились вдвое, то есть

вдвое уменьшились его ширина, длина и высота. На сколько стирок его еще

хватит?

10. Оцените длину шкурки, которую снимают, почистив килограмм картошки.

Считайте, что картофелины имеют форму шара радиуса R=3см. Ширину шкурки

примите равной 1 см. Во сколько раз изменится длина снятой шкурки, если

размер каждой картофелины в n раз меньше? Килограмм какой картошки можно

быстрее почистить: крупной или мелкой?

11. Имеются два клубка, намотанные из одинаковой шерстяной нити. Один из них в

n раз больше другого. Во сколько раз длиннее нить, из которой он намотан?

12. После того, как человек вышел из воды после купания, на его коже осталось

около 200 г воды. Оцените, какой процент веса Дюймовочки ростом 2,5 см

составит вода после купания.

13. Резервуар для воды имеет прямоугольную форму и укреплен над поверхностью

земли на четырех столбах диаметром 2 см. Если изготовить резервуар в 10 раз

длиннее, шире и выше, то каков должен быть диаметр столбов?

14. Модель крана поднимает 10 бетонных плит, а с 11 плитами трос рвется. Сколько

плит поднимет реальный кран, если все линейные размеры модели (включая, разумеется, и размер плит) увеличить в 10 раз?

15. Кости ног некоторого животного в n раза прочнее костей другого, принадлежащего тому же семейству и имеющего ту же форму. Каково

отношение ростов этих животных?

16. Великан и лилипут устроили соревнование: кто больше подтянется на

перекладине. Кто выиграет и почему?

17. В лесу живут два подобных друг другу существа, причем все размеры одного в

10 раз больше. Крупное существо весит 50 кг, питается 3 раза в день и съедает за

сутки 1 кг пищи. Сколько весит второе существо? Сколько пищи оно съедает в

день? Сколько раз в день оно питается? Считайте, что существа ведут не очень

активный образ жизни, и почти вся энергия, которую они получают при

переваривании пищи, идет на поддержание теплового баланса с окружающей

средой. Потери тепла пропорциональны площади поверхности тела.

18. Имеются две геометрически подобные пружины, причем все линейные размеры

второй в n раз больше. Коэффициент жесткости первой пружины равен k. Чему

равен коэффициент жесткости второй пружины? Упругие свойства материалов

характеризуются модулем Юнга E, имеющем размерность Н/м2 .

12. Кое-что о формулах

По мере изучения физики вы знакомитесь с все большим и большим количеством

формул. Нужно ли помнить их все наизусть? Для школьников и студентов этот вопрос

становится наиболее острым, когда наступает пора сдавать экзамен или зачет. Но этот

вопрос имеет значение и для ученых в их повседневной работе. Понятно, что, не зная

ни одной формулы, невозможно заниматься наукой. Поэтому на первый взгляд может