показаться, что чем больше формул знаешь на память, тем лучше. Проверим эту
гипотезу.
Итак, пусть мы с вами готовимся к экзамену по механике. Возьмем, несколько
учебников и будем выписывать формулы, которые нам встретятся. Например, для
движения с постоянным ускорением можно обнаружить в учебниках следующие
соотношения:
r r = r r + v r( t − t ) + a r( t − t )2 / , 2
0
0
0
2
x = x + v t + at / ,
2
0
0
S = v ( t − t ) + a( t − t )2 / , 2
0
0
0
2
S = at / .
2
Оказывается, в учебниках существует множество формул даже на одну тему!
Неужели их все надо знать наизусть? Похоже на то, что если учить все формулы
подряд из книг и учебников, то не останется ни времени, ни сил на работу. Думаю, вы
уже согласны с тем, что в количестве формул, которые стоит запомнить, есть
некоторый оптимум. Как отобрать эти формулы?
44
Из выписанных нами соотношений для движения с постоянным ускорением
можно выбрать лишь одно первое. Действительно, оно самое общее - все остальные
следуют из него в виде частных случаев.
Можно поступить и по-другому. Возьмем более простое соотношение
2
x = v t + at / .
2
0
Это соотношение менее общее, однако, зная его, легко восстановить более
сложные формулы. Если учесть начальное положение тела (добавив в правую часть x 0), от проекций перейти к векторам (заменив v на v r и x на r r ), учесть произвол в выборе
начала отсчета времени (заменив t на (t-t0)), то мы получим первую формулу из нашей
«шпаргалки». Конечно, для того, чтобы конструировать подобным образом сложные
формулы из простых, нужно неплохо знать физику. И если информация, дополняющая
формулы, «сама собой» всплывает в голове, то это уже не результат зубрежки, а самые
серьезные знания по физике. Важно не просто запоминать формулы, важно, чтобы с
каждой формулой ассоциировался определенный блок знаний. Как этого добиться?
Только работой, решением задач, развитием интуиции и т.д.
Тот, кто хорошо знает физику, может конструировать формулы, ... не решая
задачи. Пусть, например, необходимо найти ускорение двух связанных нитью грузов
массы M и m на блоке. Давайте «угадаем» ответ. Ясно, что ускорение a зависит от масс
грузов и ускорения свободного падения. В движение систему приводит разность сил
тяжести, равная (M-m)g. Эта сила «действует» на суммарную массу системы M+m. Но
тогда искомое ускорение дается соотношением
( M − m
a =
) g .
M + m
Конечно, наши рассуждения не отличаются строгостью. Однако, подобными
приемами вполне можно пользоваться, если вам надо вспомнить результат задачи, которую вы когда-то уже решали; если вы хотите угадать ответ задачи, которая никак
не получается; если вы хотите проверить ответ, полученный формальным методом.
Конструирование формул применяется и в серьезной науке, особенно, если она еще
только развивается. При этом широко используются метод размерностей, соображения
подобия и т.д.
Надо сказать, что бывают «знаменитые» формулы, о которых знают не только
физики. Например, известная формула Альберта Эйнштейна
2
E = mc ,
связывает энергию тела и его массу. У физиков не менее почитаемо соотношение
45
E = h ν .
С помощью этой формулы частице с энергией E можно приписать некоторую
волну с частотой ν. Эта формула лежит в основе квантовой механики - механики, которой подчиняются частицы микромира.
Задачи
1. Выпишите формулу для дальности полета тела, брошенного под углом к
горизонту. Внимательно изучите структуру этой формулы. Какие ее
особенности можно использовать для того, чтобы «восстановить» эту формулу, если вы ее забудете?
2. Как, используя соотношение v2 = 2gh, получить формулу для высоты подъема
тела, брошенного под углом к горизонту?
3. Не решая следующую задачу, «угадайте» ответ. На вершине призмы с углами
при основании α и β находится блок (рис.29). Через блок перекинута невесомая
нить, на концах которой находятся два груза массы M и m. Определите
ускорение грузов. Трение отсутствует.
Рис. 29
4. Подготовьте список формул, которые вам стоит запомнить по механике.
13. Рисунок к задаче
С чего начинать решение сложной физической задачи? Один из
распространенных среди школьников методов состоит в выписывании большого числа
всех известных формул и последующих попыток комбинирования их друг с другом.
Такой путь почти никогда не дает результата. Ну, хорошо, скажете вы, пусть это не
правильный метод, а что же делать, если задача все же не получается?
Оказывается, гораздо полезнее начать с того, чтобы нарисовать рисунок.
Обращали ли вы внимание на то, что мы в задумчивости иногда выводим на бумаге
какие-то фигуры? Дело в том, что наше мышление очень образное. Как правило, мы
связываем с новым понятием, с ходом решения задачи какой-то зрительный образ. Вот
почему полезно рисовать рисунки к задачам. Если вы в тупике, «нарисуйте» максимум
из того, что вам известно. Лучше всего об этом расскажет Витя Малеев из уже
46
известной нам книжки.
«... Вот тут то я и задумался. Читал задачу раз десять подряд и никак не мог
найти, в чем здесь загвоздка.
«Ну, - думаю, - это третьеклассникам задают такие задачи, что, и четвероклассник
не может решить! Как же они учатся, бедные?»
Стал я думать над этой задачей. Стыдно мне было не решить ее. Вот, скажет
Лика, в четвертом классе, а для третьего класса задачу не смог решить! Стал я думать
еще усиленнее. Ничего не выходит. Прямо затмение на меня нашло! Сижу и не знаю, что делать. В задаче говорится, что всего орехов было 120, и вот их надо разделить так, чтобы у одного было в два раза больше, чем у другого. Если бы тут были какие-нибудь
другие цифры, то можно было бы еще что-нибудь придумать. А тут, сколько ни дели
120 на 2, сколько ни отнимай 2 от 120, сколько ни умножай 120 на 2, все равно 40 и 80
не получится.
С отчаяния я нарисовал в тетрадке ореховое дерево, а под деревом мальчика и
девочку, а на дереве 120 орехов. И вот рисовал я эти орехи, рисовал, а сам все думал и
думал. Только мысли мои куда-то не туда шли, куда надо. Сначала я думал, почему
мальчик нарвал вдвое больше, а потом догадался, что мальчик, наверно, на дерево влез, а девочка снизу рвала, вот у нее и получилось меньше. Потом я стал рвать орехи, то
есть просто стирал их резинкой с дерева и отдавал мальчику и девочке, то есть
пририсовывал орехи у них над головой. Потом я стал думать, что они складывали
орехи в карманы. Мальчик был в курточке, я нарисовал ему по бокам два кармана, а
девочка была в передничке. Я на этом передничке нарисовал один карман. Тогда я стал
думать, что, может, девочка нарвала орехов меньше потому, что у нее был только один
карман. И вот я сидел и смотрел на них: у мальчика два кармана, у девочки один
карман... И вдруг у меня в голове, будто молния блеснула мысль: «Все 120 орехов надо
делить на три части!»
Итак, если есть возможность проиллюстрировать решение рисунком, графиком, диаграммой, это надо делать! Приучите себя к этому, и вы не пожалеете в будущем.
Как показывает опыт, даже если вы уже решили задачу, полезно представить ее
результат графически. Это поможет запомнить решение, и, возможно, даст толчок к
дальнейшим размышлениям.
Рисунок иногда не только помогает решать сложные задачи, но и бывает
существенным образом включен в структуру теории. Такие рисунки в середине
сороковых годов придумал выдающийся американский физик Ричард Фейнман. Эти
рисунки иллюстрируют взаимодействие между элементарными частицами.
47
Теперь во всем мире подобные рисунки называют «фейнмановскими
диаграммами». Такие диаграммы используются при расчете сложных взаимодействий
частиц и полей, причем чтобы правильно выполнить расчет, надо правильно
нарисовать цепочку рисунков.
Задачи
1. Дайте графическое решение следующей задачи. Два автомобиля стартуют друг
навстречу другу со скоростями v1 и v2 соответственно. Расстояние между
автомобилями l. Через какое время автомобили встретятся?
2. Изобразите на рисунке скорости тел и силы, действующие на тела, в следующих
ситуациях:
1) мячик летит в воздухе;
2) ракета движется в космосе с выключенным двигателем; 3) кубик лежит на наклонной плоскости;
4) монета начинает скользить по наклонной плоскости, имея компоненту
скорости, параллельную ребру;
5) автомобиль едет по дороге с постоянной скоростью;
6) кубик лежит на книге, которую рукой двигают с постоянным
горизонтальным ускорением (поверхность книги горизонтальна).
3. На рисунке 30 показана фотография цепочки массы M = 10 г, подвешенной за
концы. Найдите максимальную силу натяжения в цепочке.
Рис. 30
4. На рисунке 31 показана стробоскопическая фотография шарика, брошенного
под углом к горизонту из начала координат. Найдите начальную скорость
шарика.
Рис. 31
48
14. Физические термины
Физики иногда вводят новые термины. Термин появляется тогда, когда
определяется круг явлений, который полезно как-то назвать. Придумать термин очень
непросто. Ведь он должен быть нужным, понятным и стать общепринятым. Новым
терминам дают подчас неожиданные и красивые названия. Например, некоторые из
разновидностей кварков называют «очарованные» и «странные».
Внимательно просмотрите следующий словарик новых терминов, которые
появились на наших занятиях, и дайте четкий ответ самому себе, понимаете ли вы их
смысл? Свободно ли вы можете называть их вслух и сможете ли вы объяснить кому-либо (товарищу, брату, папе, маме, профессору и т.д.), что они означают? (Вспомните
последний принцип Вити Малеева!)
Порядок физической величины
Оценка физической величины
Точность измерения
Асимптотическое поведение зависимости
Предельный случай
Физическое подобие
Метод размерностей
Универсальная функция
15. Справочник - помощник физика
На уроках вы получаете знания по физике, математике, химии и т.д. И «правила
игры» таковы, что учителя не спрашивают у вас то, что они не объясняли. В каком-то
смысле, занятия в школе – «микромодель» пути познания, пройденного человечеством.
Поэтому при решении задач, скажем, на уроке по геометрии нельзя использовать еще
не доказанные учителем теоремы. В своей же работе ученому не всегда нужно доказать
все теоремы и формулы, которыми он пользуется. Необходимо уметь применять
«готовые» результаты, полученные другими людьми. Для этого очень полезны
различные справочники. Вам обязательно надо научиться пользоваться справочниками.
Надо уметь найти место, где есть справочники, надо уметь отыскать нужный
справочник и по справочнику разыскать то, что нужно вам в данный момент.
Сейчас значительное количество информации люди хранят уже не на бумаге, а в
памяти компьютеров. Наверно, скоро все необходимые сведения вы будете получать от
49
информационных систем через компьютерные сети.
А пока попробуйте ответить на следующие вопросы.
Задачи
1. Сколько звезд видно на небе невооруженным глазом?
2. Какого размера бывают айсберги?
3. Какова температура на поверхности Солнца?
4. Что такое гало?
5. Чему равна масса конуса из молибдена, если высота конуса 5 см, а диаметр
основания 3 см?
6. Сколько тепла выделится при сгорании 2 кг бензина?
7. Как устроена Солнечная система?
8. Чему равен sin3α?
9. Просмотрите несколько справочников и выделите основные группы
содержащихся в них сведений, которые могут быть вам полезны (например, значения фундаментальных физических постоянных и т.д.)
10. Что такое «именной указатель»? Что такое «предметный указатель»? Как ими
пользоваться?
16. Научные журналы и ваша библиотека
Из двух предыдущих заданий вы уже поняли, какое значение имеет навык в
получении необходимой информации. Очень много интересного и полезного для своей
работы физики узнают из разнообразных журналов. В научно-популярных журналах
изложение ведется на уровне, доступном как для специалистов, так и для более
широкой публики. В нашей стране издаются несколько хороших подобных журналов:
«Наука и жизнь», «Химия и жизнь», «Природа», «Знание – сила». Несколько более
сложными являются прекрасные журналы «Квант» и «В мире науки».
Издается
также
множество
журналов,
которые
доступны
только
профессиональным физикам. Несколько условно можно выделить три основные их
разновидности. Есть журналы, в которых публикуются статьи, посвященные каким-либо относительно широким областям физики. Подобные статьи называют обзорными, поскольку они основываются на анализе большого числа специальных работ. «Успехи
физических наук» - наиболее известный в нашей стране журнал такого типа. В
большинстве же журналов публикуются в основном небольшие статьи, посвященные
«текущей» научной работе. В мире наиболее престижен журнал «Physical Review».
50
Будет очень хорошо, если когда-нибудь вы начнете публиковать свои статьи в этом
журнале. Кроме того, существуют журналы для срочной публикации, в которых можно
быстро напечатать очень короткие, но важные сообщения. Такие сообщения называют
«письмами». «Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики»,
«Physical Review Letters», «Physics Letters» - это некоторые журналы для быстрой
публикации. Вообще-то, в мире издаются тысячи научных журналов. Умение
ориентироваться в этой массе периодической литературы - очень важное и
необходимое качество для ученого.
Издается также множество популярных и научных книг. Искать какую-либо
книгу тогда, когда это необходимо, бывает очень сложно. Поэтому важно собирать
свою, домашнюю научную библиотеку. Книги для нее нужно подбирать не только те, которые могут понадобиться вам сегодня, но и завтра, послезавтра. Некоторые книги
будут «ждать» своего часа несколько лет. В некоторые из них вы будете заглядывать
часто, в некоторые редко. Среди ваших книг будут любимые, но все они будут важны
для вас.
Наиболее хорошие книги и учебники неоднократно переиздаются, но купить их в
нужный момент бывает непросто. Поэтому можно рекомендовать вам уже сейчас
отыскать для своей библиотеки «Курс общей физики» Д. В. Сивухина,
«Фейнмановские лекции по физике» и «Курс теоретической физики» Л. Д. Ландау и Е.
М. Лифшица.
Задачи
1. Просмотрите по несколько номеров журналов «Наука и жизнь», «Химия и
жизнь», «Природа», «Знание – сила». Дайте краткую характеристику стиля
каждого из журналов. Выберите журнал, который понравился вам больше всего.
2. Просмотрите двенадцатые номера журнала «Квант» за несколько лет и
подберите ссылки на статьи на темы: «Сила трения», «Исаак Ньютон»,
«Геометрия Лобачевского».
3. Просмотрите несколько номеров журнала «В мире науки». Найдите статью, которая была бы вам интересна. Сделайте короткую аннотацию этой статьи, т.е.
составьте несколько предложений, в которых изложено ее основное содержание.
4. Пройдитесь по книжным магазинам и попробуйте подобрать книги для своей
научной библиотеки.
17. Интернет
51
Замечу…,
что
подавляющее
большинство
моих
однопланетников
понятия
не
имеют
о
реальных
возможностях этого восьмого чуда света
–
Большого
Всепланетного
информатория…
А. и Б. Стругацкие. «Жук в муравейнике»
Эти слова, написаны братьями Стругацкими еще в прошлом, 20-ом веке. Теперь
такой Большой Всепланетный информаторий создан и называется Интернет. Интернет
является глобальной системой и делает человечество планетарным, открытым миром, но миром, в котором каждый может найти свое место.
Надо иметь ввиду, что возможности Интернета колоссальны, но пользоваться ими
можно по-разному. Сам выход в Интернет и Ваши профессиональные навыки работы в
нем, могут быть направлены по совершенно разным руслам. Например, Вы можете
использовать Интернет для подбора материалов к своему реферату по физике, а можете
просто «скачать» готовый. Интернет предоставляет обе эти возможности. Так что
выбор за Вами.
Первые шаги в Интернете лучше начинать с освоения поисковых систем. Эти
системы по выбранной комбинации слов находят сайты, где встречаются эти слова.
(Или их комбинации, если они заключены в кавычки.). Правда, начав это делать, Вы
обнаружите, что очень часто требуются дополнительные запросы. Например, на запрос
по фамилии «Иванов» я получил список из 1612887 страниц. Ясно, что просмотреть все
их невозможно. А, например, на фамилию «Тименков» обнаружилось всего 63
страницы. Это уже обозримый список.
Многие научно-исследовательские институты и вузы имеют свои сайты. На них
легко выти через поисковые системы. Как правило, здесь можно найти и персоналии, и
списки публикаций, и информацию о факультетах и специальностях, правила приема и
т.д. Но имейте ввиду, что это не единственный «рецепт» поиска научной группы. Так
если Вы попытаетесь найти известную в нелинейной динамике Мэрилендскую группу
через ссылку «University of Maryland», то наверняка запутаетесь, так как этот
университет более чем обширен. Отметим, наконец, что некоторые сайты имеют свои
внутренние поисковые системы.
Многие лицеи и гимназии также имеют свои сайты. Если Вы познакомитесь с
ними, то узнаете много интересного. Оказывается, есть лицеи при вузах, а есть и лицеи
52
в системе Российской Академии наук.
Конечно, хорошо создать свой собственный сайт. Но, уверяю Вас, что это не
простая задача. Я имею в виду не технику - ею современные школьники зачастую
владеют достаточно виртуозно. Важно понять, о чем этот сайт, и что за материал на
него помещать. Здесь лучше воспользоваться консультацией своих старших коллег.
Стоит заметить, что Ваш сайт должен быть полезен другим. Иными словами он должен
предлагать что-то новое Вашим посетителям.
Только Интернет по настоящему сделал человечество планетарным. Интернет
позволяет быстро устанавливать связи с близкими Вам по образу мышления и
интересам людьми на всей планете, что, вполне возможно, является самым важным
достоинством Интернета. Это можно сделать, например, направив письмо авторам
понравившегося Вам сайта. Поэтому полезно регулярно просматривать по поисковой
системе ссылки на Ваш собственный сайт. Тогда Вы сможете обнаружить, что кто-то, в
свою очередь, сослался на Вас, а значит, с этими людьми будет полезно и интересно
вступить в контакт.
Далее, в Интернете существует множество электронных библиотек. Среди них
есть художественная литература, но встречаются и высококлассные научные
библиотеки.
В Интернете много книжных магазинов. Рекомендуем регулярно посещать их и
заказывать интересные Вам книжки.
Для интересующихся наукой школьников очень важно, что в Интернете
выставлен журнал «Квант», который очень полезен тем, кто интересуется физикой и
математикой. Есть и другие научно-популярные журналы.
Интернет позволит Вам создать свою электронную библиотеку, которая будет
важна для Вас и полезна. Например, если речь идет о физике, то это могут быть
задачники, сборники олимпиадных задач, статьи из «Кванта» и других популярных
журналов. Надо четко понимать, что хотя все эти материалы и есть в Интернете, но то, что Вам нравится или необходимо, следует иметь, что называется «под рукой». Кроме
того, Интернет динамичен, что недавно было выставлено, вполне может исчезнуть.
Интернет очень многообразен. Если вы интересуетесь не только наукой, но и ее
историей, то сможете познакомиться с биографиями великих ученых. Если Вы любите
фантастику, то найдете много интересного для себя. Наконец, интересно найти людей, имеющих, такое же, как и у Вас хобби и т.д.
53
Задачи
1. С помощью поисковой системой Яндекс посмотрите свежие новости по теме
«Наука».
2. Используя поисковую систему, разыщите сайт «Окно в науку» и познакомьтесь
со всеми его подразделами и переходами.
3. Найдите сайты физико-технического лицея и лицея прикладных наук г.
Саратова. Что Вам в них понравилось? Что, по вашему мнению, на них можно
было бы изменить?
4. Разыщите сайты, посвященные олимпиадным задачам по физике и
познакомьтесь с ними. Отдельно разыщите задачи Всероссийских олимпиад по
физике.
5. Разыщите в Интернете Заочную нелинейную школу.
6. Используя поисковую систему, выясните, что такое «золотое среднее» (или
«золотое сечение»), какие его основные свойства и приложения.
7. Сделайте подборку материалов на тему «спутники Сатурна».
8. Используя возможности сети Интернет познакомьтесь с множеством
Мандельброта.
9. Найдите в Интернете задачи Капицы. Познакомьтесь с ними. В чем их отличие
от «обычных» задач по физике?
10. Познакомьтесь с «хаотической галереей» известной Мерилендской научной
группы (США), ее сайт http://www-chaos.umd.edu.
11. Найдите системы заочного образования для школьников (заочные школы).
12. Найдите сайт, на котором размещены статьи из журнала «Квант». Ознакомьтесь
с его структурой, «скачайте» несколько статей, которые интересны для Вас.
Посмотрите раздел журнала, касающийся абитуриентов.
13. Аналогично для журнала «Природа».
14. Разыщите книжки из серии «Библиотечка Кванта».
15. Найдите системы дистанционного обучения в сети интернет по физике, математике, информатике.
16. Какие физико-математические школы есть в Челябинске? (Санкт-Петербурге, Москве, Долгопрудном). В чем их особенности? (Подсказка. Можно найти и
использовать список победителей Всероссийской олимпиады.) 17. Какие летние физико-математические школы проводятся (проводились) в
России?
54
18. Какие научные конференции для школьников проводятся (проводились) в
России? Попытайтесь найти информацию о международных конференциях.
19. Проводится ли и какие интернет-конференции для школьников?
20. Выясните, что такое турнир юных физиков?
21. Выясните правила прием в МФТИ.
22. Кто такой американский физик Митчелл Фейгенбаум и какое открытие он
сделал?
23. Что такое реакция Белоусова-Жаботинского? Какова история ее открытия?
24. Что такое «эффект бабочки»?
25. Кто из российских ученых был лауреатом Нобелевской премии?
26. Что такое теория катастроф?
27. Когда была написана книга братьев Стругацких «Жук в муравейнике»?
18. Обсуждаем проблему
Кроме справочника, физики часто пользуются книгами, научными журналами.
Иногда кто-то может подсказать, где читать про интересующую вас проблему (папа, мама, профессор), а иногда это сделать некому. Тогда приходится самому ходить в
библиотеку, или искать других понимающих в данной проблеме людей. Попробуйте
сами разыскать (любым доступным способом!) информацию о следующих проблемах и
подготовить небольшой рассказ о том, что вам удалось узнать.
Задачи
1. Почему не падает велосипед?
2. Почему у кошки глаза блестят?
3. Почему гудят провода?
4. Что такое смерч?
5. Как устроены кристаллы?
19. Сами формулируем задачу
Мы с вами обсудили много полезных приемов, которые применяются при
решении задач. Пора и самим попробовать придумать задачу.
Откуда берутся задачи по физике? Школьники решают задачи, которые для них
сочиняют преподаватели. (Некоторые задачи известны так давно, что никто не помнит, кто их автор.) Но вот приходит время, когда нужно заниматься физикой
самостоятельно. А это значит, надо самому сформулировать для себя задачу. Этому
можно учиться сейчас, а не ждать, когда вы получите диплом о высшем образовании.
55
Ведь придумать задачу иногда не менее важно, чем ее решить. Например, в переписке с
Ньютоном, Роберт Гук поставил задачу об определении формы орбит планет. Решая ее, Ньютон создал свою знаменитую книгу «Математические начала натуральной
философии», положившую начало теоретической физике.
Придумать задачу зачастую гораздо сложнее, чем ее решить. Сочиняя задачу, надо очень хорошо представлять физическую ситуацию, которая положена в основу
задачи. Ведь обычно или в условии, или в самом вопросе к задаче содержится
некоторая подсказка для решающего. А если вы составляете задачу сами, то этой
подсказки пока еще нет.
После того как вы составили задачу, очень важно еще раз внимательно прочитать
ее формулировку. Хорошо ли стилистически сформулирована задача? Почему-то
школьники, увлекающиеся физикой, часто не любят излагать свои мысли словами, а
предпочитают формулы. Но умение излагать свои мысли - абсолютно необходимая
компонента профессии физика.
Тщательно проверьте, достаточно ли в условии данных для решения задачи? Нет
ли лишних данных? Решите эту задачу еще раз, как бы заново. Еще лучше, дайте
порешать ее своему товарищу. Какие затруднения у него возникнут? С чем они
связаны, с самой физикой, или с тем, что вы не очень хорошо составили задачу? Не
пожалейте времени для ответа на эти вопросы, и вы получите очень полезные навыки
для будущей работы.
Ниже приведены несколько задач, в которых оставлена лишь часть «дано».
Нужно самим придумать, что «требуется определить», т.е. сформулировать вопрос к
задаче. К некоторым задачам можно сформулировать несколько вопросов. Составив
эти вопросы, определите, какие из них более сложные. Попробуйте также сами
придумать несколько задач целиком.
Задачи
1. Стальной шар, масса которого равна 1,2 кг, имеет объем 200 см3 . «?»
2. Длина платформы железнодорожной станции равна 100 м. Товарный состав, движущийся со скоростью 60 км/ч, идет мимо платформы 16с. «?»
3. В цилиндрическом сосуде с площадью дна 125 см2 находится вода. Когда в
сосуд положили кубик льда, уровень воды повысился на 9 мм. «?»
4. Материальная точка движется 10 с по плоскости x, y по замкнутому маршруту, составленному из отрезков прямых, из точки с координатами (-3,0), затем в (1,0), (-1,3) и возвращается снова в точку (-3,0). Значения координат даны в метрах. «?»
56
5. Тележка массы M и длины l может катиться без трения по горизонтальной
поверхности. У заднего края тележки лежит брусок массы m. Коэффициент
трения между бруском и тележкой µ. К бруску приложена горизонтальная сила
F, направленная вперед. «?»
6. Придумайте задачу по кинематике.
7. Придумайте задачу по динамике.
8. Придумайте задачу на оценку порядка физической величины.
20. Заключительные задачи
Мы закончили изучение первой части нашей книжки. Многие из задач, которые
мы решали, не требуют глубоких знаний всех разделов физики. Но со всеми методами, с которыми вы познакомились, вам придется сталкиваться всю жизнь, и всю жизнь
совершенствовать свое мастерство в оценках физических величин, построении
графиков, измерении. Ведь при изучении каждого раздела физики - механики, электричества, теплоты и т.д. надо будет «работать и думать». Решите еще несколько
задач, чтобы освежить в памяти некоторые из использованных нами методов.
Задачи
1. Оцените минимальную скорость, которую необходимо сообщить маленькому
шарику, чтобы он перелетел из одного конца классной комнаты в другой.
2. Оцените ускорение, которое возникает, когда вы сбегаете по школьной лестнице
при переходе с одного пролета лестницы на другой.
3. Если Земля сложена из тех же пород, что и на поверхности, то какова ее масса?
4. Сколько поколений прошло на Земле со времени появления первобытного
человека?
5. Известно, что максимальная высота гор на Земле около 10 км. Оцените размер
астероидов, начиная с которого они имеют шарообразную форму. Считайте, что
астероид сложен из тех же пород, что и Земля.
6. Измерьте толщину нити, пользуясь миллиметровой бумагой и цилиндрическим
карандашом.
7. Как долго гремит гром?
8. Как быстро растает кубик льда с ребром примерно в 1 см, приготовленный в
холодильнике, и брошенный в воду при комнатной температуре?
9. По каким линиям движутся планеты вокруг Солнца? По каким линиям движутся
кометы, приходящие из космоса и покидающие Солнечную систему?
57
10. При какой температуре жидкий гелий становится сверхтекучим?
11. Площадь ромба однозначно определяется величиной стороны a и углом α между
сторонами ромба. Из соображений размерности получите формулу для площади
ромба.
12. В некотором диапазоне значений скоростей сила сопротивления в газе зависит
от площади поперечного сечения тела S, плотности газа ρ, и скорости тела v. Во
сколько раз отличаются скорости капель, размеры которых отличаются в n раз?
13. Массивный шарик висит на пружине. Все размеры пружины и шарика
увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличится растяжение пружины? Во
сколько раз изменится период колебаний системы?
58
ЧАСТЬ II
КОЕ – ЧТО О ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Мы живем в удивительном мире. Нам хочется
понять то, что мы видим вокруг, и спросить:
каково происхождение Вселенной? Какое место
занимаем в ней мы, и откуда мы и она - все это
взялось?
Для ответа на эти вопросы мы принимаем
некую «картину мира». Такой картиной может
быть как башня из стоящих друг на друге черепах,
несущих на себе плоскую Землю, так и теория
суперструн.
Обе
они
являются
теориями
Вселенной, но вторая значительно математичнее
и точнее первой. Ни одна из этих теорий не
подтверждена наблюдениями: никто никогда не
видел гигантскую черепаху с нашей Землей на
спине, но ведь и суперструну никто никогда не
видел. Однако модель черепах нельзя назвать
хорошей научной теорией, потому что она
предсказывает возможность выпадения людей
через край мира.
Стивен Хокинг
В математике мы чувствуем себя комфортно, если имеется система аксиом и
следствий из них - теорем. Математика приучает нас к строгости и логике. В этом нам
помогает ее изящный формализованный язык. Платон говорил, что математика - это
язык, на котором с людьми разговаривают боги.
В физике тоже много математики, доказательств, формальных методов. Но для
физика очень важна, как говорят, физическая картина происходящего. Решая задачу, вы
должны хорошо представлять, что собственно происходит? Построение физической
теории или решение задачи начинается не с формул, а с рассказа о явлении. И на всем
протяжении решения следует помнить о физической интерпретации каждого вашего
шага, каждого нового результата, полученного математическими методами.
В этой части книжки мы поговорим с вами о некоторых аспектах физической
теории.
49
1. Физическая модель
В механике вы решали задачи, в которых рассматривались тела, связанные
«нерастяжимыми» нитями, перекинутыми через «невесомые» блоки, тела, движущиеся
без трения по «идеально гладким» поверхностям и т.д. Вы быстро привыкли к таким
удивительным объектам, хотя прекрасно знаете, что на самом деле нерастяжимых
нитей, невесомых блоков и идеально гладких поверхностей не бывает. Хорошо, что
кто-то за нас придумал этот фантастический мир, для которого задачи имеют простые
решения. А если надо самим описать физическую ситуацию, кто тогда придумает
идеализированную картину явления? Ясно, что это надо делать самим. Как же сделать
так, чтобы наша теория не превратилась в нечто подобное «теории гигантской черепахи
с плоской Землей на спине»? Создать идеализированную картину физического явления
- это своего рода искусство. Ведь надо суметь упростить реальный процесс, но так, чтобы ухватить его существенные черты, именно те, которые вы хотите описать и
понять!
Идеализированная ситуация, в которой какие-то стороны реальности отброшены, а какие-то учтены, называется физической моделью. Построение модели - хотя и
увлекательное, но и не простое занятие. Сначала следует построить самую
приближенную, как иногда говорят, самую «грубую» модель реальности.
Рассказывают, что когда выдающийся российский математик Чебышев делал доклад об
оптимальном раскрое ткани, то первые его слова были: «Представим себе, что человек -
это шар». Это пример самой простой модели человека. Затем можно построить более
сложную модель, учитывающую более «тонкие» эффекты. (В примере с раскроем
ткани - существование рук и ног.) Так возникает целая цепочка усложняющихся
моделей, которые описывают одно и то же явление.
Как отобрать факторы, которые стоит учитывать при построении модели, а какие
следует отбросить? В этом очень эффективную помощь вам окажет метод оценки
порядка физической величины. Предположим, что вы подозреваете, что несколько
факторов оказывают влияние на характер физического процесса. Оцените влияние
каждого из них. Если окажется, что оно примерно одного порядка, то в вашей модели
надо учесть все перечисленные факторы. Может, однако, оказаться, что воздействие
одних факторов более существенно, а других - менее. Тогда в самой грубой модели вы
учтете факторы, дающие самый существенный вклад. Для уточненной модели вам
следует принять во внимание факторы, дающие вклад, на порядок меньший и т.д.
Некоторые модели бывают полезными лишь в период работы над теорией.
50
(Такова, например, первоначальная модель Максвелла электромагнитного поля, представляющая собой набор зацепляющихся друг за друга механических устройств.) Потом эти модели забываются, но чтобы придумать что-то новое, они были
необходимы людям! Некоторые же модели оказываются столь удачными, что
возникают целые разделы физики, посвященные той или иной модели. Например, исследование модели «абсолютно черного тела» дало толчок для развития целой новой
науки - квантовой механики. Модели часто носят имена людей, предложивших их, или
же интенсивно исследовавших. (Правда, при этом не всегда соблюдается принцип
исторической справедливости.) Например, широко известна модель Изинга, которая
позволила людям продвинуться в понимании природы магнетизма.
Задачи
1. Является ли кусок ваты удачной моделью облака?
2. Вам необходимо определить площадь поверхности тела человека. Предложите
иерархию усложняющихся моделей, пригодных для этой цели. Сколько
параметров необходимо задать, чтобы применить каждую из предложенных
вами моделей? Определите время, которое вы затратите на вычисления с
помощью каждой модели.
3. Оцените влияние вращения Земли на величину ускорения свободного падения у
поверхности Земли. Оцените влияние притяжения Луны и Солнца на величину
ускорения свободного падения. Какой из этих трех факторов наиболее
существенен? Можно ли рассчитывать движение тел у поверхности Земли, учитывая притяжение Солнца, но пренебрегая вращением Земли? Притяжением
Луны?
4. Рассмотрите движение двух грузов на нити длиной порядка одного метра, перекинутой через блок. Получите условие, при выполнении которого можно
пренебречь влиянием массы нити. Реалистично ли это условие? Считая, что
блок закреплен, а нить скользит по блоку, получите условие, при выполнении
которого можно пренебречь трением нити о блок. Считая, что сопротивление
воздуха описывается формулой Ньютона, получите условие, при выполнении
которого можно пренебречь сопротивлением воздуха. Какой из трех
перечисленных факторов окажет наибольшее влияние в случае, когда массы
грузов равны 50 г и 200 г, а коэффициент трения =0,01?
5. Можно ли пренебречь сопротивлением воздуха в задаче о колебаниях маятника?
Считайте, что сила сопротивления подчиняется закону Стокса.
51
6. У поверхности Земли располагается мощное месторождение. Оно фиксируется
по изменению величины ускорения свободного падения ∆ g. Предложите модель, пригодную для оценки запасов руды по величине ∆ g. Плотность руды ρ, плотность земной породы ρЗ.
7. Определите сжатие Юпитера у полюсов ∆ r/r0 ( ∆ r – разность экваториального и
полярного радиусов), если известно, что средний радиус Юпитера r0 = 70000 км, ускорение свободного падения у поверхности g = 20 м/с2 , время обращения
вокруг своей оси T = 10 часов. В качестве простейшей модели Юпитера, используйте «жидкую» планету с компактным центральным ядром, в котором
сосредоточена основная масса планеты.
2. Алгебра приближенных чисел
Физическая модель - одно из центральных понятий физики. При ее построении
надо хорошо понимать, какие факторы более существенны, а какие менее. На
математическом языке эти правила описания физического явления довольно часто
удается сформулировать в виде условий малости тех или иных физических величин.
Существование малых величин дает возможность применять своеобразную
математическую технику, о которой и пойдет речь.
Мы с вами уже немного говорили об арифметике приближенных чисел. Также
полезны, бывают приближенные алгебраические действия. В этом случае вы проводите
преобразование
выражения,
содержащего
обозначенную
буквой
величину,
относительно которой известно лишь, что она мала. Одна из наиболее популярных
формул алгебры приближенных чисел выглядит следующим образом: (1+ x)2 ≈ 1+2 x.
Проверим ее. Возьмем x=0,001. Тогда (1+0,001)2 =1,002001, что с хорошей
точностью равно 1,002. В этом частном случае формула «сработала». А в более общем?
Пользуясь известным соотношением алгебры, можно записать точное выражение
(1 +x)2 = 1+2 x+x2 .
Значит, чтобы получить нашу приближенную формулу, мы должны пренебречь
величиной x 2. Нетрудно понять, что так можно делать, если величина x мала по
сравнению с единицей. Обычно условие, что x значительно меньше единицы, записывают следующим образом:
х << 1 .
Выпишем основные формулы алгебры приближенных чисел.
52
1
( + x)2 ≈ 1+ 2 x
1+ x ≈ 1+ x / 2
1
≈1− x
1
( + x)
sin x ≈ x
cos x ≈ 1− x 2 / 2
ex ≈ 1+ x
Во всех этих формулах предполагается, что величина x мала по сравнению с
единицей, причем в тригонометрических формулах величина x измерена в радианах.
4 + x
Преобразуем для примера выражение
, используя формулы,
2 + x
представленные в рамочке:
4 + x
1
( + x / )
4
=
≈ 1
( + x /
1
)(
8
− x / )
2 ≈ 1− 3 x /8 .
2 + x
1+ x / 2
Соотношения, обведенные рамочкой, можно интерпретировать и как
приближенные равенства пар функций, например y=(1+ x)2 и y=1+2 x. Давайте построим
графики этих двух функций и убедимся в справедливости нашего утверждения
(рис.32).
Рис. 32
Как мы видим, графики близки друг к другу в некоторой области значений
переменной x. В подобном случае говорят, что функция y=1+ x/2 аппроксимирует
функцию y=(1+ x)2 в этой области.
Как приближенные равенства используют физики? Для их применения должны
быть какие-то основания, характеризующие особенности происходящих явлений.
Например, если маятник совершает колебания около положения равновесия, то его
смещение вычисляется по формуле x = l sinϕ , где l - длина нити, ϕ - угол отклонения
маятника (рис.33.а). Если колебания происходят так, что угол отклонения маятника все
время остается малым (рис.33.б), то можно воспользоваться соотношением sinϕ ≈ ϕ и
считать, что x ≈ l ϕ . Этим приближенным равенством можно пользоваться при условии
53
ϕ << 1. Нетрудно видеть, что это же условие можно сформулировать и иначе : x << l, т.е.
смещение маятника мало по сравнению с длиной нити.
Рис. 33
Для физика очень важно условие малости физической величины. При решении
задач это условие иногда сразу бросается в глаза. Например, если вы решаете задачу о
движении на блоке двух грузов с массами 200 г и 100 г, скрепленных нитью массы 0,1
г, то совершенно ясно, что масса нити мала по сравнению с массами грузов. Бывает, однако, и так, что условие малости величины завуалировано. Рассмотрим, например, следующую задачу. На поверхности воды плавает цилиндр длины l = 20 см и радиусом
R = 2 см так, что он погружен в воду на глубину h = 3 см. На цилиндр посредине сверху
надавливают пальцем с силой F = 0,02 Н. Чему равна глубина погружения цилиндра?
Прежде чем решать задачу, оценим по порядку величины максимальную архимедову
силу, которая может действовать на цилиндр:
F = gV
ρ
=
gR 2
πρ
l ≈ ,
2 4 H .
Ap
Но сила, действующая со стороны пальца, F = 0,02 Н. Следовательно, она мала по
сравнению с максимальной архимедовой силой:
F << FАр .
Отсюда мы можем сделать вывод о том, что под действием пальца цилиндр
погрузится в воду на глубину ∆ h, где ∆ h - малая величина по сравнению с
первоначальной глубиной h:
∆ h << h.
Определим ∆ h. По закону Архимеда F= ρ g∆ V, где ∆ V - часть цилиндра, ушедшая
под воду при надавливании пальцем (рис.34).
54
Рис. 34
При малом заглублении цилиндра в воду под действием силы F можно считать, что объем ∆ V ≈ S∆ h, где S - площадь сечения цилиндра плоскостью, совпадающей с
поверхностью воды. Итак,
V
∆ ≈ S h
∆ = 2 R 2 − ( h − R)2 ⋅ l h
∆ = 2 (2 R − h) hl h
∆ .
Отсюда легко получаем, что
∆ h ≈ F /[2ρ gl h(2 R − h)] ≈ 0,3 мм.
Таким образом, наше предположение, что цилиндр очень незначительно
заглубится в воду подтвердилось, поскольку величина ∆ h ≈ 0,3 мм много меньше
величины h = 3 см. Запомните одно правило: в физике не бывает просто малых
величин. Если вы говорите, что какая-то величина мала, значит, вы обязаны указать, по
сравнению, с чем она мала. Если вы предполагаете малость какой-то физической
величины в ходе решения задачи, то уже «решив» задачу, вы обязаны проверить свое
предположение, посмотреть, действительно ли полученное значение физической
величины удовлетворяет необходимому условию.
Задачи
1
1. Докажите, что
≈ 1− x , если x << 1.
1 + x
2. Докажите, что (1+ x)3 ≈ 1+3 x, если x << 1.
3. С помощью микрокалькулятора «докажите» справедливость соотношения sin x ≈
x при малых x. Для этого постройте на миллиметровой бумаге график
зависимости относительной погрешности ∆ = (sin x- x)/sin x, выраженной в
процентах, от величины x. Определите, до каких значений переменной x можно
пользоваться соотношением sin x ≈ x с точностью не ниже 10%.
4. Преобразуйте следующие выражения при малых x: а)
2
1 + x 1
/( − x) ; б) 91 + x)3 −1 − tgx ; в) (2 x ⋅ sin x −1 + cos x) / x .
5. В каком случае в соотношении x 2 +0,01 x можно пренебречь первым членом?
Вторым членом? Нельзя отбросить ни тот, ни другой?
55
6. Без помощи микрокалькулятора определите приближенные значения
следующих выражений:
а)
1
sin( 0 ) , б) 126 , в)
cos(440 ) .
7. Используя микрокалькулятор и миллиметровую бумагу, изобразите на одном
графике функции y = sin x и y = x. В какой области значений x графики близки
друг к другу? То же самое для функций y = cos x и y = 1 -x2 /2.
8. Решите приближенно уравнение cos x = kx в области 0< x< π. Рассмотрите два
случая : k >> 1 и k < 1. В каждом из этих случаев сначала постройте самое
«грубое» решение, а затем уточните его.
9. Из закона всемирного тяготения получите формулу, описывающую уменьшение
величины ускорения свободного падения с высотой вблизи поверхности Земли.
До каких высот можно пользоваться этой формулой, ошибаясь менее чем на
10%?
10. Тело брошено под углом α к горизонту с некоторой скоростью v. Получите
формулу для дальности и высоты полета тела при малых значениях угла α. Если
этот угол увеличить в 2 раза, во сколько раз возрастет дальность и высота полета
тела?
11. На сколько процентов изменится частота колебаний груза на пружине, если
жесткость пружины увеличить на 3%, а массу груза - на 2%? Задачу решите без
использования микрокалькулятора.
12. Тело, брошенное под углом к горизонту α1 = 450 , пролетело расстояние l = 20 м.
На сколько ближе оно упадет, если его бросить из той же точки и с той же
скоростью, но под углом α2 = 430 ? Задачу решите без использования
микрокалькулятора.
13. Из формулы теории относительности Эйнштейна для энергии движущегося тела
2
m c
0
E =
, получите обычную (физики говорят - нерелятивистскую) 2
2
1 − v / c
формулу для кинетической энергии.
14. В схеме, показанной на рисунке 35, движок сдвинули вправо на расстояние, составляющее 2% длины реостата. На сколько процентов меняется при этом ток
в цепи? Напряжение цепи остается постоянным. Рассмотрите два случая: первоначально движок находится на расстоянии 1/4 длины реостата от его
левого края, и движок находится точно посередине.
56
Рис. 35
15. Шар радиуса 5 см, изготовленный из материала с плотностью =0,1 г/см, плавает
в воде. Определите глубину погружения шара. Указание. Объем шарового
сегмента V= π h 2 (R-h/ 3 ).
16. В цилиндрической пробирке длиной 10 см находится легкий поршень на
расстоянии 6 см от дна пробирки. В пробирку поверх поршня начинают
наливать воду, с тем, чтобы вода заняла весь объем пробирки выше поршня.
Насколько сместится поршень при этом? (Считайте, что газ под поршнем
подчиняется закону Бойля - Мариотта PV=const.)
17. Сосуд объемом V разделен подвижным поршнем площади S на две равные
части. Давление газа в сосуде равно P. Определите период малых колебаний
поршня около положения равновесия. Масса поршня M много больше массы
газа. (Считайте, что газ под поршнем подчиняется закону Бойля - Мариотта.) 3. Геометрия разных масштабов
Итак, решение физической задачи может существенным образом использовать
наличие больших и малых величин, характеризующих представленную в этой задаче
ситуацию. Такой подход к решению приводит не только к своеобразной
алгебраической технике, но может быть использован и при геометрических
построениях. Поясним, как это делается, с помощью нескольких примеров.
Одна из самых простых фигур, подробно изучаемых в геометрии, - треугольник.
Известна классификация треугольников, основанная на соотношении длин их сторон.
Вы хорошо знаете, что бывают равносторонние и равнобедренные треугольники.
Свойства этих треугольников достаточно часто используются при решении физических
задач. Но полностью ли удовлетворяет физиков такая классификация треугольников?
Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к следующему рисунку (рис.36).
57
Рис. 36
Оба показанных на этом рисунке треугольника являются равнобедренными.
Однако, как они не похожи! Как описать отличие этих двух треугольников? На
принятом у физиков языке мы можем сказать, что характерная длина боковой стороны
первого треугольника того же порядка, что и длина основания. У второго треугольника
характерная длина боковой стороны много больше, чем основания.
«Вытянутые» треугольники очень часто встречаются при решении физических
задач. Например, они появляются, когда определяют расстояние до далеких звезд с
помощью метода параллакса. Суть этого метода состоит в том, что измеряются два
угла, под которыми видна звезда из противоположных точек земной орбиты (рис.37).
Рис. 37
Расстояние между этими точками BC и два измеренных угла полностью
определяют треугольник ABC, из которого и находится искомое расстояние до звезды.
Ясно, что треугольник ABC относится к типу «вытянутых» треугольников, поскольку
расстояние даже до ближайших звезд много больше размеров земной орбиты.
Получим некоторые соотношения для треугольника, в котором длина двух сторон
одного порядка, а длина третьей стороны на один или несколько порядков меньше.
Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник (рис.38).
58
Рис. 38
«Маленький» катет такого треугольника равен a = c sinϕ, где c - гипотенуза.
Используя известное нам соотношение алгебры приближенных чисел sinϕ ≈ ϕ, получаем
a ≈ c ϕ .
«Большой» катет равен b = c соsϕ. Но тогда можно записать
b ≈ c( 1 - ϕ2/2 ).
Это два основных соотношения в прямоугольном треугольнике, угол ϕ при
вершине которого мал.
Обратите внимание на одно интересное следствие второго соотношения. Найдем
разницу ∆ между гипотенузой и «большим» катетом
∆ = c – b ≈ c ϕ2/2 .
Эта разница очень мала - она порядка c ϕ2. Поэтому часто величиной ∆ можно
пренебречь и считать, что гипотенуза и большой катет равны: b ≈ c.
Аналогичные рассуждения можно провести и для равнобедренного треугольника
(рис.39).
Рис. 39
В этом случае длина основания a связана с длиной боковых сторон c простым
соотношением a = 2 c sin(ϕ / 2). Отсюда следует, что
а ≈ c ϕ .
Посмотрим, как полученные соотношения можно применить в физике. Для этого
решим следующую задачу.
59
Задача. Резиновый жгут длины l натянут с силой F. Посредине жгута прикреплен
шарик массы m. Определите период малых колебаний шарика. Колебания происходят в
невесомости.
Давайте отклоним шарик на некоторое небольшое расстояние x от положения
равновесия (рис.40).
Рис. 40
При малой величине смещения x угол ϕ мал, и мы имеем треугольник с
исследованными нами свойствами.
Прежде всего, отметим, что при смещении шарика жгут удлинился на величину
∆ l ≈ l ϕ2/2. (Докажите это самостоятельно.) Следовательно, сила натяжения жгута
возросла на величину ∆ F = k∆ l ≈ kl ϕ 2/2, где k - коэффициент жесткости жгута. При
малых углах ϕ это очень маленькая величина, ею можно пренебречь и считать, что сила
натяжения жгута не изменилась и равна F.
Подсчитаем теперь силу, которая стремится вернуть шарик обратно, в
равновесное положение (рис.41).
Рис. 41
Из рисунка видно, что возвращающая сила равна
Fv = 2 F sinϕ ≈ 2 F ϕ .
С другой стороны, смещение шарика x можно вычислить следующим образом: x = l tgϕ/2 ≈ l ϕ / 2.
Итак, для возвращающей силы находим:
Fv = 4 Fx/l.
Мы получили, что возвращающая сила пропорциональна смещению. Но ведь это
закон Гука! Эффективное значение коэффициента жесткости в «поперечном»
направлении равно K= 4 F/l. Теперь осталось лишь применить формулу для периода
колебаний груза на пружине, и задача решена:
T = 2π m / K = π ml / F .
60
Давайте еще раз проанализируем наши приближения. Во-первых, мы заменили
sinϕ на ϕ. Поэтому точность расчета тем выше, чем лучше выполняется неравенство
х << l.
Во вторых, мы пренебрегли дополнительным удлинением жгута ∆ l, возникающим
при колебаниях шарика. Это можно делать, если ∆ F=kl ϕ2/2 << F. Поскольку ϕ ≈ 2 x/l, то
должно быть x << Fl / 2 k или
x <<
x
∆ l / 2 ,
0
где ∆ x0 =F/k - начальное растяжение жгута. Если ∆ x0 << l и x << l, то это неравенство
выполняется.
Задачи
1. Через весь земной шар по его поверхности натянута веревка так, что отсутствует
зазор между веревкой и поверхностью Земли. В веревку добавили кусок длиной
1 м. Проползет ли в образовавшийся зазор кошка?
2. Оцените высоту равнобедренного треугольника, стороны которого равны
1,00000001 и 2,00000001. Рассмотрите два возможных случая.
3. Докажите, что в треугольнике хотя бы две стороны всегда одного порядка
длины.
4. В треугольнике ABC сторона AB много больше стороны BC. Докажите, что
сторона AC того же порядка длины, что и AB, а угол АВС мал. Может ли быть
малым угол АСВ?
5. Получите приближенную формулу для площади треугольника, у которого одна
из сторон много меньше двух других. Рассмотрите сначала случай
равнобедренного треугольника, а затем - произвольного. Оцените точность
вашей формулы.
6. Из вершины A прямоугольного треугольника ABC опущена высота AH.
Проведена окружность с центром в точке B, проходящая через точку A.
Докажите, что при малых значениях угла ABC окружность делит отрезок CH
примерно пополам.
7. Докажите, что если в треугольнике все три стороны одного порядка длины, то
возможны только две альтернативные ситуации:
1) все углы треугольника одного порядка;
2) два угла треугольника малы и их величины одного порядка.
8. Получите приближенную формулу для площади правильного N-угольника, 61
применимую в случае, когда число N велико. Сторона многоугольника равна a.
9. Оцените точность, с которой можно вычислять диаметр Луны с помощью
соотношения dл = ϕ Rзл , где Rзл - расстояние от Земли до Луны, а ϕ - угол, под
которым Луна видна с Земли. (Воспользуйтесь микрокалькулятором, либо
«уточненной» формулой sin x ≈ x – x 3/6.) 10. Человек среднего роста считает, что горизонт «находится» на расстоянии около
4 км. Используя эту информацию, оцените радиус Земли. Во сколько раз
«отодвинется» горизонт, если человек заберется на вышку, высота которой в два
раза превышает его рост?
11. При испытании самолета оказалось, что хвостовое оперение попадает в струю
газа от двигателей, расположенных на крыле самолета. Тогда двигатели
«довернули» на угол 40 так, что струя стала уходить чуть в сторону. На сколько
дальше от хвостового оперения проходит струя газа? На сколько процентов
упала при этом «полезная» сила тяги двигателей? Расстояние от двигателей до
хвоста 25 м.
12. Из лука стреляют вертикально вверх стрелой массы m. На какую высоту
поднимется стрела? Натяжение тетивы лука T, ее длина l, тетиву оттягивают на
расстояние h.
13. На горизонтальной поверхности с коэффициентом трения µ лежит тело массы m.
К телу приложена сила F, направленная под небольшим углом α к горизонту.
Определите ускорение тела. Постройте график зависимости ускорения тела от
угла α при нескольких значениях внешней силы F. При каком значении угла α
ускорение максимально? При каких значениях угла α тело будет оставаться в
покое при фиксированной величине внешней силы? При каких значениях
внешней силы тело будет оставаться в покое при любых α? Коэффициент трения
µ << 1.
14. Из резинового шнура длины l и массы m с коэффициентом жесткости k изготовили кольцо, которое вращается с угловой скоростью ω вокруг своего
центра. Найдите радиус кольца.
15. Докажите, что при малых x окружность x 2+ y 2= R 2 может быть аппроксимирована
параболой.
16. Аппроксимируйте функцию y = a cos kx окружностью при малых x. В какой точке
расположен центр этой окружности? Чему равен ее радиус?
17. Проволока согнута в форме параболы y = ax 2 . На проволоке находится бусинка, 62
которая может скользить без трения. Бусинку отпускают с высоты h без
начальной скорости. Чему равна сила давления бусинки на проволоку в точке О
(рис.42)?
Рис. 42
18. Автомобиль движется с постоянной по величине скоростью v по дороге, представляющую собой синусоиду с амплитудой A и периодом l: y = a sin(2π x/l).
В каких точках дороги центростремительное ускорение автомобиля
максимально? Определите его величину.
19. Из жести изготовлена пластинка, имеющая «синусоидальный» вертикальный
профиль y = a sin(2π x/l). В одной из образовавшихся «ямок» колеблется шарик.
Определите период колебаний шарика. Считайте колебания малыми.
20. Спутник движется по эллипсу, уравнение которого задано соотношением x 2 / a 2
+ y 2 / b 2 =1. В точке с координатами x=0, y=b скорость спутника оказалась равной
v. Определите центростремительное ускорение спутника.
4. Два масштаба времени в одной задаче
Чтобы построить физическую модель и решить задачу, очень важно представлять
себе характерные масштабы времени происходящих процессов. Одни процессы
происходят «быстро», другие «медленно». Ясно, что это не очень четкие понятия, их
смысл зависит от конкретной ситуации. (Например, время может течь «медленно» на
скучном уроке, а на интересном «быстро».) В физике понятия быстро и медленно очень
часто используется при решении задач.
Чтобы лучше разобраться, как это делается, рассмотрим следующую задачу.
Шарик массы m = 100 г может колебаться на пружине с частотой 2 Гц. Система
находится в покое. Затем на шарик начинает действовать сила, зависящая от времени, как показано на рисунке 43. Найдите амплитуду колебаний шарика.
63
Рис. 43
Физическая ситуация, описанная в задаче, характеризуется двумя характерными
масштабами времени. Первый из них - период собственных колебаний шарика T, равный 0,5 с. Второй - характерное время действия внешней силы ∆ t, равное 3 10-3 с.
Поскольку период колебаний много больше времени действия внешней силы
T >> ∆ t,
то смещением шарика за время действия этой силы можно пренебречь. Таким образом, внешняя сила носит характер короткого удара. В результате этого удара шарик
приобретает импульс F∆ t и, соответственно, скорость v = F∆ t/m. После этого он
совершает свободные колебания, амплитуду которых A определим из условия kA 2/2 =
mv 2/2, где ω = k / m . Окончательно A = F∆ t/m ω ≈ 5см.
Если внешняя сила носит характер кратковременного удара, то легко решается и
задача, когда сила зависит от времени каким-либо сложным образом (рис.44).
Рис. 44
В этом случае за время действия силы шарик практически не смещается и
получает скорость v = P/m, где P - импульс внешней силы, численно равный площади
под изображенной на рисунке кривой.
Достаточно часто можно считать быстрыми процессы столкновения тел. Оценим, например, время столкновения футбольного мяча со стенкой.
Выберем модель процесса столкновения. Будем считать, что мяч деформируется
незначительно, сохраняя в целом форму шара, и лишь в области контакта со стенкой
его оболочка становится плоской (рис.45).
64
Рис. 45
Пусть мяч деформировался на величину x, малую по сравнению с радиусом мяча
R. Радиус области контакта мяча со стенкой можно вычислить по формуле
r = R 2 − ( R − x)2 = 2 Rx − x 2 ≈ 2 Rx .
Мы воспользовались тем, что x < R. Объем мяча меняется незначительно, следовательно, давление внутри мяча также практически не меняется. Поэтому сила, действующая на мяч со стороны стенки, равна
F ≈ ( P-P0) S ≈ ( P-P0)π r 2 ≈ 2π R( P-P0) x, где P - давление воздуха в мяче, P0 - атмосферное давление, S - площадь контакта мяча
со стенкой. Таким образом, сила пропорциональна величине деформации. Это снова
закон Гука с эффективным коэффициентом жесткости k = 2π R( P-P0). Следовательно, мяч сожмется, остановится и «оттолкнется» от стенки за время τ, равное половине
периода колебаний:
τ = T / 2 = π m/ k ≈ π m/ 2 R
π ( P − P ) .
0
Сделаем численные оценки. Будем считать, что мяч «накачан» так, что
избыточное давление внутри него равно одной атмосфере, т.е. 105 Па. Массу мяча
примем m ≈ 0,4 кг, радиус R ≈ 0,15 м. Подставляя эти значения в полученную формулу, находим
τ ≈ 6,4 10-3 с.
Таким образом, время соударения мяча со стенкой действительно мало.
Столкновения «сплошных» упругих тел, например, стальных шаров, тоже обычно
являются быстрыми процессами. Характерное время таких столкновений определяется
временем распространения волны деформации, которая проходит по телу «туда-сюда»
и определяется размерами тел и скоростью звука.
Понятие о быстрых и медленных процессах важно не только в механике.
Оказывается, даже свойства веществ могут зависеть от характерного времени
наблюдения. Например, если изготовить шарик из силикона, то на небольших
65
характерных временах он будет вести себя подобно резиновому мячику (отскакивать от
стенки при ударе и т.д.). Но если подождать достаточно долго, то шарик из силикона, лежащий на столе, начнет «течь» как вязкая жидкость. Такое свойство силикона
получило название вязкоупругость. (Подробнее о вязкоупругости можно узнать из
книжки А.Ю. Гроссберга и А.Р. Хохлова «Физика полимеров», Библиотечка «Квант», выпуск 74.)
Задачи
1. Можно ли выделить «быстрые» и «медленные» процессы при исследовании
зависимости температуры на улице от времени в течение года?
2. При атмосферном электрическом разряде мы видим молнию и слышим гром.
Какие характерные времена можно соотнести с этим природным явлением?
Попробуйте оценить их порядок.
3. Почему для измерения температуры медицинским термометром требуется 10
минут, а «стряхнуть» его можно почти сразу?
4. Опишите, чем отличаются процессы в цилиндре двигателя внутреннего
сгорания в случаях, когда смесь сгорает постепенно или со взрывом (детонация).
В каком случае выше К.П.Д. двигателя?
5. В задаче о колебаниях шарика на пружине оцените величину смещения шарика
за время действия внешней силы и сравните ее с амплитудой колебаний.
6. Футбольный мяч падает с высоты 3 м. Оцените характерную силу, действующую на мяч со стороны земли в момент удара. Сравните ее с весом
мяча. Оцените максимальную величину деформации и сравните ее с радиусом
мяча. Оцените изменение давления в мяче при ударе и сравните его с начальным
давлением.
7. Два стальных шарика диаметром 1 см, находящиеся на расстоянии 1 м, движутся друг навстречу другу со скоростями v = 10 см/с. Выделите
характерные стадии физического процесса и оцените их длительность. Скорость
звука в металле c ≈ 1000 м/с.
8. Металлический полый шар массы M заполнен резиной массы m = M/4. Два
таких шара, двигаясь в невесомости навстречу друг другу с равными скоростями
v0 , испытали центральное столкновение. Найдите установившуюся скорость
разлета шаров. Известно, что незаполненные шары сталкивались упруго.
Скорость звука в резине значительно меньше, чем в металле.
9. Маятник отклонили на угол π/2 от вертикали и отпустили (рис.46). При этом он
66
вернулся в исходное положение через время t 1 . Когда же на пути маятника
поставили стенку, как показано на рисунке, время возвращения в исходное
положение составило t 2 . Найдите угол α, если известно, что он мал. Удар о
стенку мгновенный и абсолютно упругий. Длина нити l. Какому условию
подчиняются времена t 1 и t 2 , когда угол α мал?
Рис. 46
10. Кубик из пенопласта массой M = 100 г лежит на горизонтальной подставке
(рис.47). Высота кубика h = 10 см. Снизу кубик пробивает вертикально летящая
пуля массой m=10 г. Скорость пули при входе в кубик v 1 = 100 м/с, при вылете v 2
= 95 м/с. Оцените время, за которое пуля пролетает через кубик. Оцените силу, которая действует на кубик со стороны пули, и сравните ее с весом кубика.
Оцените скорость, с которой подпрыгнет кубик. Оцените смещение кубика за
время пролета пули. Оцените высоту, на которую подпрыгнет кубик и время его
свободного полета. Оцените высоту, на которую поднимется пуля и время ее
свободного полета. Выделите характерные стадии физического процесса, описанного в этой задачи, и укажите их длительность.
Рис. 47
5. Уравнения в физике
Итак, физическая модель выбрана, сделаны все разумные приближения и
записаны необходимые уравнения. На первый взгляд может показаться, что «физика
закончилась». Действительно, мы свели задачу к чисто математическим соотношениям: уравнению или системе уравнений. Теперь остается лишь продемонстрировать
коллегам свою технику решения уравнений. На самом деле и на этой стадии решения
приходится привлекать физические соображения.
Предположим, что наша задача приведена к квадратному уравнению. Но
67
квадратное уравнение может иметь два корня. Оба ли решения имеют смысл с точки
зрения реальной физической ситуации? Если нет, то почему? Какое из этих решений
оставить? На такие вопросы физик отвечать обязан, поскольку они являются частью
задачи, которую он решает.
Рассмотрим следующую задачу. С земли запускают шар-зонд, который
поднимается вверх равномерно со скоростью V. Кроме того, с земли бросают
вертикально вверх со скоростью v камень. В какой момент времени встретятся шар-зонд и камень? Известно, что интервал времени между стартом шара и броском камня
равен τ.
По условию задачи не сказано, что произошло раньше - запущен зонд или брошен
камень. Чтобы обойти эту сложность, будем считать, что камень брошен в момент
времени t = 0, а зонд стартовал в момент времени t = τ. При этом допустим, что
величина τ может быть как отрицательной, так и положительной. В первом случае
сначала бросили камень, а потом стартовал зонд, а во втором наоборот.
Зависимости координат камня и зонда от времени даются известными
кинематическими соотношениями
x =vt-gt 2 /2 , x=V( t- τ) .
Условие встречи приводит к квадратному уравнению
vt-gt 2 /2 = V( t- τ) ,
решая которое, получаем
t = ( V − v) / g − ( V − v)2 / 2
g + 2 V τ / g ,
1
t = ( V − v) / g + ( V − v)2 / 2
g + 2 V τ / g .
2
Построим теперь графики зависимости координат шара и камня от времени.
Будем варьировать величину τ, как параметр, и посмотрим, какие качественно разные
ситуации взаимного расположения графиков возможны.
Для случая, когда начальная скорость камня v больше скорости зонда V, таких
ситуаций четыре (рис.48).
68
Рис. 48
На рисунке 48.а графики движения зонда и камня не пересекаются. На языке
алгебры мы скажем, что дискриминант квадратного уравнения отрицателен
( V-v)2 /g 2 +2 V τ /g < 0.
С точки зрения физики, это соотношение удобно записать в виде условия, накладываемого на время τ,
τ < -( V-v) 2 / 2Vg.
Физическая интерпретация анализируемой ситуации очень проста: зонд запущен
«задолго» до того момента, когда брошен камень.
На рисунке 48.б изображена ситуация, когда графики движения камня и зонда
пересекаются в двух точках. Это означает, что шар и камень могут «встретиться» два
раза. Если камень ударяет в зонд, то смысл имеет только одно решение, которому
соответствует меньшее значение координаты. Поэтому из двух решений квадратного
уравнения следует выбрать t 1 . Такая ситуация возникает, если время τ удовлетворяет
неравенству
-( V-v)2 /2 Vg < τ < 0.
Физически рассмотренная ситуация соответствует тому, что зонд стартовал раньше
камня, но начальная скорость камня достаточно велика, и камень догоняет зонд.
(Подумайте самостоятельно, как интерпретировать наличие двух корней квадратного
уравнения в этом случае.)
Графики движения камня и зонда на рисунке 48.в пересекаются в двух точках, однако, первая точка соответствует отрицательной координате. Шар и зонд могут
встретиться только один раз, и следует выбрать другой корень квадратного уравнения
t 2. Этой ситуации соответствуют времена τ такие, что
0 < τ < 2 v/g.
69
В этом случае зонд стартовал после того, как был брошен камень и камень «падает» на
зонд сверху.
И, наконец, возможна ситуация, когда обе точки пересечения графиков
соответствуют отрицательной координате (рис.48.г). Поэтому хотя квадратное
уравнение имеет два решения, но камень и зонд не столкнутся: камень упал на землю
до момента старта зонда. Это возможно при
τ > 2 v/g.
Случай, когда начальная скорость камня v меньше скорости зонда V, рассмотрите
самостоятельно.
Итак, вот какое исследование пришлось нам проделать, уже после того, как задача
была «решена»!
А если задача приводит к кубическому уравнению? Как быть, ведь его «не
проходят» в школе? Можно обратиться к справочнику за соответствующей формулой
решения кубического уравнения (она носит имя Кардано). Но ее использование грозит
нам столкновением с новым типом чисел - комплексными числами. Что же делать, если
применение формулы Кардано встретило затруднение? Ведь задачу надо решать
несмотря ни на что. (К сожалению, физик не всегда может ждать, когда математики
решат какую-то математическую проблему или расскажут ему о решении.) Давайте рассмотрим для примера следующую задачу. Два сообщающихся сосуда
соединены тонкой трубкой. Один сосуд имеет форму перевернутого конуса высоты H =
10 см с радиусом основания R = 3 см. Второй сосуд - цилиндр высоты H = 10 см и
радиуса r = 1 см . В систему наливают объем воды V = 60 см3 . На какой высоте
установится уровень?
Объем воды в цилиндрическом сосуде равен π r 2 h, а в коническом сосуде -
[π( hR/H)2 h]/3 = π R 2 h 3/3 H 2, где h - высота уровня воды. Поскольку суммарный объем
жидкости равен V, то
π r 2 h+ π R 2 h 3/3 H2 = V.
Мы получили кубическое уравнение относительно искомой величины h. Прежде чем
его решать, выполним несколько преобразований.
Сделаем замену переменной x = h/H:
π r 2 Hx + π R 2 Hx 3/3 = V.
Смысл x очень прост - это доля высоты системы, занятая водой. Такая замена
позволяет перейти к уравнению с безразмерными коэффициентами: x+( R 2/3 r 2) x 3 = V/ π r 2 H.
70
Это уравнение уже удобно для математического исследования. Подставив в него
численные значения величин R, r и V, получим
x+3 x 3 = 6/π.
Построим график функции y = x+3 x 3 (рис.49). Достаточно ограничиться областью
0< x<1, поскольку только такие значения x имеют физический смысл.
Рис. 49
Функция y = x+3 x 3 монотонно возрастает. Следовательно, наше уравнение имеет
единственный корень. Построенный график позволяет оценить примерное значение
корня x ≈ 0,75. Это уже неплохой результат!
Что делать дальше? Используя микрокалькулятор, можно построить график
функции y = x+ 3 x 3 в окрестности точки x ≈ 0,75 и уточнить решение. А можно
получить уточненное решение и аналитически. Для этого будем считать, что x =
0,75+∆, где ∆ - маленькая добавка, такая что ∆ << 0,75. Подставим соотношение x =
0,75+∆ в наше уравнение:
(0,75+∆)+3(0,75+∆)3 = 6/π.
Воспользуемся теперь правилами алгебры приближенных чисел
0,75 + ∆ + 3 0,753 + 9 0,752 ∆ ≈ 6/π.
Теперь легко находим
∆ ≈ -0,0174.
Следовательно, уточненное значение корня x = 0,75 + ∆ ≈ 0,7326. Добавка ∆
действительно оказалась малой.
Более точно и быстро наше уравнение можно решить на компьютере. Однако, решение уравнений с помощью компьютера - тема отдельного разговора. Здесь мы
ограничимся лишь результатом расчета: x ≈ 0,73222044. Итак, уровень воды
установится на высоте h = xH ≈ 7,32 см. Это и есть ответ к нашей задаче.
Приведенная нами схема решения (составление уравнения, приведение его к
безразмерному виду, минимизация числа коэффициентов, определение числа корней, грубая их оценка и, наконец, точное решение) используется достаточно часто, когда
физическая задача приводится к сложному уравнению. Следует сказать, что не всегда
71
следует стремиться к максимальной точности решения такого уравнения.
Действительно, вряд ли имеет физический смысл решение задачи о сообщающихся
сосудах с точностью до десятых долей миллиметра, ведь на самом деле использованная
нами модель уже не годится для такой точности. (Часть воды остается в трубке, соединяющей сосуды, несколько изменяет уровень поверхностное натяжение и т.д.) Так что в нашей задаче вполне достаточно ограничиться приведенным приближенным
решением.
Задачи
1. К пружине жесткости k подвешен груз массы m. Груз удерживают так, что
пружина не растянута, а затем подталкивают вверх со скоростью v. В какой
точке остановится груз? Дайте физическую интерпретацию всем возможным
решениям.
2. Из куска проволоки, имеющего сопротивление R, изготовили кольцо. К кольцу
подключили один провод. Где надо подключить второй провод, чтобы
сопротивление между точками подключения равнялось r? При любых ли r задача имеет решение? Сколько существует решений и какова их физическая
интерпретация?
3. Мяч, брошенный под углом α к горизонту, попадает в вертикальную стену на
высоте h. На каком расстоянии от точки броска находится стена? Сколько
решений имеет эта задача? Постройте траектории мяча, соответствующие
каждому решению. При каких значениях h задача не имеет решения? Дайте
физическую интерпретацию полученному условию.
4. В цилиндрической пробирке длиной L находится легкий поршень на расстоянии
l от дна пробирки. В пробирку поверх поршня начинают наливать воду с тем, чтобы вода заняла весь объем пробирки выше поршня. На каком расстоянии от
дна расположится при этом поршень? Чтобы отобрать, нужный корень
уравнения, оцените порядок величины смещения поршня. Рассмотрите далее
случай, когда пробирка заполняется ртутью. Можно ли воспользоваться тем же
правилом отбора корня? Исследуйте положения поршня в пробирке с ртутью на
устойчивость. Для этого постройте на одном рисунке графики зависимостей
давления газа под поршнем и гидростатического давления столба воды от
положения поршня. Каким точкам на этих графиках соответствует равновесие
поршня?
5. Под каким углом следует наклонить плоскость, чтобы маленький грузик начал
72
скользить по ней с ускорением а? Коэффициент трения грузика о плоскость
равен µ. Постройте график зависимости требуемого угла α от безразмерного
параметра а/g. При всех ли а задача имеет решение? Сколько возможно
решений? Определите величину угла при µ = 0,3 и а = 2 м/с2.
Указание. При решении и исследовании уравнения sin x + p cos x = q может быть
полезна замена параметра p=tgβ.
6. Считая, что x = 0,7326 + ∆, где ∆ - малая величина, получите более точное
знач6ение корня уравнения x+3 x 3 = 6/π.
7. Отыщите в справочнике формулу Кардано и решите с ее помощью уравнение
x+3 x 3 = 6/π.
8. Решите задачу о сообщающихся цилиндрическом и коническом сосудах в
случае, когда в систему залили V = 80 см3 воды. На сколько повыситься уровень, если затем долить еще 1 см3 воды?
9. Шар радиуса 5 см, изготовленный из материала с плотностью ρ = 0,8 г/см, плавает в воде. Определите глубину погружения шара. Какую безразмерную
неизвестную величину удобно ввести? Сколько действительных корней имеет
полученное уравнение? Все ли они имеют физический смысл?
10. Пружина характеризуется следующей зависимостью силы упругости F от
величины деформации x: F = -kx – cx 3. На такой пружине подвешен груз массы
m. Найдите равновесное положение груза, считая, что отклонение от закона Гука
незначительно.
11. На покоящуюся, на горизонтальной плоскости систему, состоящую из двух
шариков массы m каждый, соединенных пружиной, налетает слева шарик массы
M. При этом происходит абсолютно упругий центральный удар. Найдите
величину отношения m/M, при котором удар произойдет еще раз.
6. Качественные теории
Что за странные слова вынесены в заголовок этого параграфа? Как это может
быть теория качественной? Ведь теории нужны для того, чтобы вычислять физические
величины, пусть приближенно или хотя бы по порядку величины.
Давайте, однако, обсудим следующую ситуацию. Мяч бросают с поверхности
земли. На расстоянии l от точки броска стоит стена высоты h (рис.50).
73
Рис. 50
Если бы мы решали «стандартную» задачу по физике, то вопрос к задаче мог бы
звучать так: «Начальная скорость мяча равна v, а угол, под которым бросили мяч, равен
α. В какой точке мяч удариться о стенку?»
Но мы с вами уже знаем, как важно представить физическую ситуацию во всем ее
многообразии. Поэтому давайте сформулируем вопрос иначе: «Какие возможны
качественно различные варианты движения мяча?» Нетрудно сообразить, что мяч
может упасть на землю, не долетев до стены. Кроме того, мяч может удариться о
стенку. Наконец, мяч может перелететь через стенку (рис.51).
Рис. 51
Итак, возможны три качественно разные ситуации. Какая из них реализуется, зависит от начальной скорости мяча v и угла α, под которым он брошен. Отметим, что
существуют целые области значений начальной скорости и углов, при которых
возможен определенный исход.
Для дальнейшего анализа нам понадобятся два кинематических соотношения.
Одно из них дает дальность полета мяча
L = v 2 sin 2α / g .
Второе позволяет определить высоту, на которой окажется мяч, пролетев по
горизонтали расстояние l:
H = l( tg α − lg/ 2 2
v cos2 α) .
Результат исследования, выполненного в стиле качественной теории, удобно
представить в виде двумерной диаграммы. Такая диаграмма представляет собой
плоскость параметров задачи, на которой изображены области, отвечающие, всем
качественно разным ситуациям. Этот метод в математическом смысле эквивалентен
74
графическому решению неравенств с двумя неизвестными.
Построим двумерную диаграмму, соответствующую нашей задаче. Прежде всего, выберем два параметра, которые будут отложены по осям абсцисс и ординат. С
физической точки зрения, наиболее естественно было бы использовать угол α и
начальную скорость v. Однако, безразмерный параметр lg/v 2 удобнее, чем скорость v, поскольку для него получаются более простые соотношения. Отметим, что физический
смысл имеют лишь неотрицательные положительные значения этого параметра и
значения угла α, лежащие в интервале от 0 до π/2.
Найдем, прежде всего, линии, разграничивающие области параметров с разным
характером движения. Им соответствуют «граничные» траектории мяча, разделяющие
семейства траекторий трех описанных нами типов (рис.52).
Рис. 52
Построение подобных «граничных» ситуаций является важной компонентой
качественного анализа задачи, в которой возможны различные типы поведения.
Для нашей задачи уравнения разграничительных линий даются следующими
соотношениями
l = v 2 sin 2α / g ,
h = l( α
tg − lg/ 2 2
v cos2 α) .
Выразим отсюда безразмерный параметр lg/v 2:
lg/ 2
v = sin α
2 ,
lg/ 2
v = sin 2α − ( h / l)(cos2α + )
1 .
Приступим теперь к построению двумерной диаграммы. Изобразим
разграничительные линии, соответствующие траекториям 1 и 2, на одном рисунке
(рис.53).
75
Рис. 53
Эти линии разбили диаграмму на три области, которые соответствуют трем
возможным типам движения мяча. Нетрудно установить, какая область соответствует
какому «исходу».
А что будет происходить, если мы будем бросать несколько мячей с некоторой
определенной скоростью, постепенно увеличивая угол? Чтобы ответить на этот вопрос, следует провести на диаграмме горизонтальные линии, которые соответствуют
фиксированным значениям скорости (рис.54).
Рис. 54
Как видно из рисунка, возможны три «сценария такого эксперимента с набором
мячей».
1) Все мячи не долетают до стенки.
2) Мячи, брошенные под малыми углами, не долетают до стенки; мячи, брошенные в некотором интервале больших углов, ударяются в стенку; Мячи, брошенные под еще большими углами, не долетают до стенки.
3) Мячи, брошенные под малыми углами, не долетают до стенки; мячи, брошенные под большими углами, ударяются в стенку; мячи, брошенные под
еще большими углами, перелетают через стенку, и далее в обратном порядке.
Определим пороговые значения скорости, при которой меняются типы
«сценариев». Очевидно, что им соответствуют максимумы разграничительных линий.
Максимум линии, заданной уравнением lg/v 2 = sin2α, достигается при значении α = π/4
и равен единице. Поэтому соответствующее пороговое значение скорости
2
v
= lg.
min1
76
Это минимальное значение скорости, при которой мяч уже может долететь до стенки.
Максимум линии, заданной уравнением
lg / 2
v = sin 2α − ( h / l)(cos 2α + ) 1
равен
( 1
2
+ h / 2
l − h / l) . (Докажите это самостоятельно.) Таким образом, соответствующее пороговое значение скорости
lg
v 2 =
.
vin 2
1+ h 2 / l 2 − h / l
Это минимальное значение скорости, при которой мяч уже может перелететь через
стенку.
Одним из первых, кто понял необходимость качественных теорий, был
выдающийся французский физик и математик Анри Пуанкаре. Он решал задачу о
движении планет солнечной системы при наличии взаимного влияния планет.
Оказалось, что это очень сложная задача. Тогда Пуанкаре изменил саму постановку
вопроса к задаче. Он не стал интересоваться, как именно в деталях будут двигаться
планеты. А стал формулировать вопрос так: «Упадут ли, в конце концов, планеты на
Солнце или нет?» Оказалось, что даже такие вопросы требуют очень серьезного
анализа. В настоящие время существуют целые области математики, основанные на
подобных идеях, например, качественная теория дифференциальных уравнений.
Одним из примеров двумерных диаграмм могут служить фазовые состояния
вещества. На такой диаграмме по двум осям координат отложены два параметра -
давление Р и температура Т, а также изображены соответствующие области твердой, жидкой и газообразной фазы какого-либо вещества (рис.55).
Рис. 55
Как пользоваться такой диаграммой? Зафиксируем некоторое значение
температуры Т и давления Р. На диаграмме, им соответствует точка ( Т, Р). Если такая
точка попала в область твердой фазы, это означает, что если создать давление Р и
температуру Т, вещество будет находится в твердой фазе и т.д.
Еще один пример диаграммы мы возьмем из акустики. На следующем рисунке
77
изображена диаграмма слышимости звуков (рис.56).
Рис. 56
Здесь в качестве параметров фигурируют интенсивность звука S и его частота f.
На диаграмме показаны области, отвечающие музыке, речи, шуму и т.д.
Задачи
1. Сколько возможно качественно разных типов реакции родителей на вашу
успеваемость в конце учебного года?
2. В вертикально расположенной пробирке под поршнем находится газ, а над
поршнем – жидкость. Какие качественно разные состояния системы возможны
после нагревания пробирки? (Жидкость не закипает.)
3. Опишите все возможные типы движения в каждой из трех «потенциальных ям», изображенных на рисунке 57.
Рис. 57
4. Используя диаграмму состояний для задачи о мяче, брошенном в направлении
стенки, ответьте на вопрос: какие исходы будут наблюдаться, если бросать мячи
под фиксированным углом с возрастающей начальной скоростью. Дайте
физическую интерпретацию условию h = l tgα, соответствующему пересечению
второй разграничительной линии на диаграмме с осью абсцисс.
5. Используя диаграмму состояния вещества, приведенную в тексте, опишите
возможные типы фазовых превращений в системе, которые можно наблюдать с
ростом температуры при фиксированном давлении.
6. Пусть имеется некоторое уравнение. Назовем качественно разными ситуациями, когда оно имеет разное количество решений. Изобразите на плоскости
параметров области, отвечающие качественно разным ситуациям для
78
следующих уравнений:
а) 2
x + px + q = 0 ,
б) 4
2
x + px + q = 0 ,
в) sin x + p cos x = q для значений 0 < x < π.
7. На доске массы М лежит небольшой брусок массы m (рис.58). Коэффициент
трения между доской и бруском равен µ1, а между доской и поверхностью - µ2.
К бруску приложена горизонтальная сила F. Укажите все возможные
качественно разные ситуации поведения системы. Установите значения
параметров, при которых реализуются эти ситуации. Изобразите на плоскости
параметров µ1, µ2 области, соответствующие различным типам динамики
системы.
Рис. 58
8. На горизонтальной поверхности с коэффициентом трения µ лежит тело массы m.
К телу приложена сила F, направленная под углом α к горизонту. Укажите все
возможные качественно разные ситуации поведения системы. Изобразите
соответствующие области на плоскости безразмерных параметров α , mg/F. Как
будет меняться характер движения тела, если к нему прикладывают
фиксированную по величине силу, постепенно увеличивая угол, под которым
она действует?
9. В теплоизолированный сосуд, содержащий массу М воды при температуре Т, бросили кусок льда массы m при температуре –t. Какие качественно разные
состояния системы возможны после установления теплового равновесия?
Изобразите на плоскости m, M области, соответствующие каждому из этих
состояний. Каким точкам на плоскости m, M соответствует нулевая конечная
температура?
10. Тонкая однородная палочка длины l и плотности ρ шарнирно укреплена за
верхний конец так, что шарнир находиться на расстоянии h от поверхности
жидкости плотности ρж. Какие качественно разные ситуации расположения
палочки возможны? Изобразите на плоскости параметров h/l ρ / ρ ж области, соответствующие этим ситуациям. Рассмотрите два случая: точка прикрепления
79
шарнира находится над поверхностью жидкости, и точка прикрепления шарнира