находится под поверхностью жидкости.
11. Шарик массы m прикреплен к невесомому резиновому жгуту жесткости k, длина
которого в недеформированном состоянии равна l. Шарик на жгуте вращают
так, что жгут образует угол α с вертикалью. Выберите безразмерные параметры, характеризующие эту задачу, и изобразите на плоскости этих параметров
область, внутри которой возможно такое поведение системы. Что будет
происходить с шариком вне этой области?
12. На рисунке 59 показана схема известного опыта, демонстрирующего инертность
тел. Начиная с некоторого момента времени, нижнюю нить тянут с постоянной
силой f. В зависимости от величины силы рвется либо нижняя, либо верхняя
нить, либо обе нити остаются целыми. Найдите на плоскости T, f области, внутри которых реализуются эти ситуации. Считайте, что разрыв нити
наступает при натяжении T; вплоть до разрыва нить имеет постоянный
коэффициент жесткости k. Масса груза М, нить невесома.
Рис. 59
7. Критические ситуации
Очень часто для ответа на вопрос, поставленный в стиле качественной теории, бывает нужно изучать какую-то особую выделенную ситуацию. Такие ситуации
достаточно часто возникают и при решении задач по физике, имеющих стандартную
формулировку.
Пусть, например, на наклонной плоскости стоит цилиндр радиуса r и высоты h.
Угол α наклона плоскости к горизонту постепенно увеличивают. Спрашивается, при
каком значении угла α цилиндр опрокидывается?
Чтобы решить эту задачу, надо выделить специфическую ситуацию, когда
цилиндр только-только «хочет» опрокинуться. Эта ситуация называется критической
80
(рис.60).
Рис. 60
В критической ситуации цилиндр «почти» оторвался от наклонной плоскости.
Это означает, что и сила реакции опоры, и сила трения приложены к точке О. Моменты
этих сил относительно оси, проходящей через точку О, равны нулю. Цилиндр будет
оставаться в равновесии до тех пор, пока сила тяжести имеет момент, равный нулю.
Это возможно, только тогда, когда вертикаль, опущенная из центра тяжести цилиндра, проходит через точку О. Из этих соображений легко получаем условие начала
опрокидывания:
tgα=2 r/h.
Определить параметры задачи, при которых возникает то или иное критическое
состояние, не всегда просто. Например, как вы знаете, поток жидкости или газа может
быть регулярным – ламинарным, а может быть нерегулярным – турбулентным. Ясно, что если мы увеличиваем скорость набегающего потока жидкости, то должно
возникнуть критическое состояние, соответствующее переходу от ламинарного течения
к турбулентному. Однако, вычислить критическое значение скорости и исследовать
особенность поведения жидкости вблизи критического состояния потока оказалось
очень и очень непростой задачей. Сейчас эта проблема все еще остается в центре
внимания активно работающих физиков.
Задачи
1. С вершины неподвижной полусферы радиуса R соскальзывает без начальной
скорости маленький кубик. В какой точке он оторвется от полусферы?
2. В сферической лунке радиуса R и глубины h находиться шар радиуса r. Систему
двигают с горизонтальным ускорением а. При какой величине ускорения шар
выкатиться из лунки?
3. Тележка скатывается по наклонному желобу, который переходит в кольцо
радиуса R, лежащее в вертикальной плоскости (рисунок). С какой высоты надо
отпустить тележку, чтобы она выполнила «мертвую петлю»? Трением
81
пренебречь.
4. Шестиугольный карандаш толкнули вдоль горизонтальной плоскости, как
показано на рисунке 61. При каких значениях коэффициента трения µ между
карандашом и плоскостью карандаш будет скользить по плоскости, не
вращаясь?
Рис. 61
8. «Эталонные задачи»
Задачи бывают учебные, бывают научные. А что такое «эталонные» задачи?
Наука развивается таким образом, что любая область физики (механика, термодинамика, теория колебаний и т.д.) не сводится к набору теоретических
положений и следствий из них. Структура физики значительно сложнее. Очень часто
решение какой-либо задачи начинает кочевать из учебника в учебник, и, наконец, она
становится, как говорят, классической. При этом важной является не только задача
сама по себе, но и те идеи, методы, приемы, тот образ мышления, которые
привлекаются для ее анализа.
Особенно большое значение такие задачи имеют на ранних стадиях становления
теории. Например, интенсивно развивающаяся сейчас теория нелинейных волн во
многом основана на решении ряда эталонных задач.
Умение решать определенное число основных задач является существенным
признаком овладения теорией. Можно сказать и иначе: тот, кто умеет решать
«эталонные» задачи, не встретит принципиальных трудностей в решении других задач, характерных для данной области физики.
«Эталонные» задачи – это не строго заданный список. Мы можем, составить его и
сами. Давайте подумаем, какие «эталонные» задачи по механике можно назвать?
Конечно, это груз на наклонной плоскости, два груза на блоке, задача о столкновении
двух шаров и т.д.
Полезно не только уметь решать эталонные задачи, но и уметь чувствовать, какая
из задач является «эталонной». Если вы это умеете делать, вы хорошо чувствуете
структуру физической теории.
82
Задачи
1. Составьте список из 10 – 15 «эталонных» задач по всему курсу механики.
2. Составьте список «эталонных» задач по гидростатике и гидродинамике.
Мы должны знать. Мы будем знать.
Давид Гильберт
9. Исследовательские задачи
Обычные задачи по физике Вы решаете на уроках или дома, несколько более
сложные – на олимпиадах. Но урок, олимпиада, работа над домашним заданием
скоротечны. На каждую задачу Вы тратите не так много времени - ведь необходимо
решать их довольно большое число. (В физико-математических школах – сотни!). В
профессиональной же жизни ученого-исследователя ситуация прямо противоположная.
Ученый тратит на задачу обычно не то что часы, или даже дни, а месяцы и годы.
Иногда в этот процесс вовлекаются целые поколения ученых. Такова история, например, известной теоремы, которую сформулировал еще в 17-ом веке Ферма, и
которая была доказана лишь недавно. А вот в вопросе о механизме и природе
турбулентности в жидкости и газе сейчас наметился прогресс, есть много идей и
«находок», но полной ясности все еще нет.
Таким образом, исследовательская работа требует своего рода «погружения», постоянных размышлений. Она состоит из поиска, ошибок и открытий, больших и
маленьких. Именно поэтому не все, кто блестяще выступал на олимпиадах и даже на
уроках, находят себя в научной работе. И, наоборот, многие, кто не блистал на
олимпиадах, но склонен к размышлениям и самостоятельной работе, становились
выдающимися учеными. Один перечень имен грозит серьезным потрясением учебному
процессу, поэтому о персоналиях здесь умолчим. (Я ни коей мере не против олимпиад, но хочу подчеркнуть, что это не единственный и не бесспорный билет на «поезд» в
науку.)
Еще одна особенность реальных задач в том, что исследователю не только можно, но и нужно пользоваться учебниками, монографиями, статьями, консультациями, помощью коллег, возможностями сети Интернет. Ведь цель состоит именно в
получении решения, а не в тренинге по решению задач с известным ответом! В школе
же обычно все иначе. Также в школе никогда (за редким исключением) не учат
технологии «мозгового штурма» задачи. Вспомним в связи с этим, хотя бы, полное
молчание в аудитории и грозные взгляды учителя во время контрольных работ. А в
реальной жизни навыки «мозговой атаки» очень пригодилось бы.
Еще одно отличие школьных задач состоит в том, что их авторы точно знают, как
83
эту задачу решать. (Трудно представить себе, чтобы творилось бы в школе на уроках в
противоположном случае.) А вот задачи, которые решают ученые, как раз отличаются
тем, что часто не ясно, ни как их решать, ни что получится. (Кстати, иногда ничего.
Многие выдающиеся ученые, например физики Альберт Эйнштейн, Игорь Евгеньевич
Тамм, химик Дмитрий Иванович Менделеев очень много времени потратили на задачи, которые решить не удалось.) Как не вспомнить здесь следующую цитату из известного
произведения братьев Стругацких: ...
«Г-голубчики, - сказал Федор Симеонович озадаченно, разобравшись в почерках. - Это же п-проблема Бен Б-бецалеля.
К-калиостро же доказал, что она н-не имеет р-решения. Мы сами
знаем, что она не имеет решения, сказал Хунта, немедленно
ощетиниваясь. - Мы хотим знать, как ее решать...»
Задачи без заранее известного ее авторам ответа вообще не встречается в
школьных учебниках. Но именно такие задачи учат познавать окружающий мир, устанавливать новые закономерности. При этом, не важно, чтобы тема была
амбициозна и грандиозна, важен характер исследования. Большим мастером
составления таких задач был наш выдающийся соотечественник, Нобелевский лауреат
Петр Леонидович Капица. Подобные задачи он часто давал на вступительные экзамены
в аспирантуру. По воспоминаниям, это «держало в форме» не только претендентов, но
и их руководителей, поскольку к ним молодежь бегала за консультациями.
(Обязательно найдите список задач П. Л. Капицы в сети Интернет!) Таким образом, можно и на «школьном» уровне сформулировать задачи, которые
были бы близки к характеру работы ученого. Их можно назвать исследовательскими
задачами. Некоторое их количество мы предложим здесь Вашему вниманию. Чтобы
подчеркнуть их исследовательский характер, мы дали каждой задаче свое название.
Итак, из приведенных ниже задач для начала нужно выбрать всего одну - ту, которая Вам понравится. На ее решение придется потратить не час и даже не один
день. Таким образом, значение имеет не число решенных задач, а глубина проработки
решения. Такие задачи, можно надеяться, помогут Вам лучше понять науку, как
профессию, состоящую в получении новых результатов "своими руками".
И еще одно замечание. Вы можете решать такие задачи не в одиночку – образуйте
школьную научную лабораторию, - и вперед, к новым знаниям!
В силу сказанного, не хочется давать подробный пример решения какой-либо
задачи. Однако в качестве «подсказки», приведем возможный план исследований одной
темы. Пусть она звучит так: «Циклоида. От компьютерного моделирования до
84
изохронного маятника Гюйгенса». Предлагаемый Вам план работы иллюстрирует
также роль компьютера в исследованиях в целях моделирования и отображения
процессов, а также и для получения информации. Исследовательская работа в целом
не сводится только к работе на компьютере, но компьютер помогает «вжиться» в
задачу, что очень важно в исследовательской работе. Итак, вот наш план.
• В Интернете или справочнике по математике (может быть придется сходить в
библиотеку) найдите математическую формулу, задающую циклоиду.
• Напишите программу, которая рисует циклоиду на экране компьютера.
• Напишите программу, которая демонстрирует катящееся колесо и
«высвечивает» траекторию точки на ободе колеса. Рассмотрите случай, когда
точка может не лежать точно на ободе. Посмотрите, как траектория при
вариации расстояния от точки до обода превращается в классическую циклоиду.
• Напишите программу, которая строит семейство нормалей к циклоиде.
(Уравнение нормали к кривой найдите в справочнике или воспользуйтесь
консультацией
преподавателя.)
Внимательно
рассмотрите
огибающую
семейства нормалей. Какую кривую оно напоминает?
• С помощью Интернета выясните, что такое эволюта и эвольвента и как эти
понятия относятся к циклоиде.
• С помощью Интернета соберите максимум информации об изохронном
маятнике Гюйгенса. Наряду с другими вариантами, попробуйте поиск по
ключевым словам «Маятник Гюйгенса»
• Изготовьте изохронный маятник Гюйгенса в варианте с циклоидальными
направляющими и проведите с ним эксперименты. Проверьте, насколько это
удастся, изохронность маятника и работоспособность теоретической формулы
для периода.
• Найдите в Интернете биографию Гюйгенса и познакомьтесь с ней.
• С помощью Интернета или электронной библиотеки выясните свойство
циклоиды, как «брахистохроны» - линии, форма которой такова, что время
соскальзывания с данной высоты по данной линии минимальна.
• Изготовьте изохронный маятник Гюйгенса в виде листа жести, изогнутого по
циклоиде (брахистохроне), по которой катается шарик. Получите формулу для
периода такого маятника (учтите момент инерции шарика!) и сравните с
экспериментом.
Итак, особенность задач в этом параграфе в том, что они не имеют строго
85
определенных решений - каждая из них допускает множество подходов и дальнейшее
развитие. «Арсенал» Вашего исследования не фиксирован. Используйте теоретические
соображения, эксперименты, компьютерное моделирование, по своим наклонностям и
возможностям - в тексте даются лишь отдельные советы. Обсуждайте Вашу задачу с
другими учениками. Используйте литературу - для решения некоторых задач это
полезно, а решение некоторых из них без этого и невозможно. Используйте
консультации своих учителей и ученых.
Задачи
1. Монета на наклонной плоскости. Монету на наклонной плоскости толкают
параллельно ребру этой плоскости. Исследуйте, как трансформируется
траектория скольжения монеты на этой плоскости в зависимости от угла
наклона, коэффициента трения, начальной скорости. Проведите также
компьютерное исследование и соответствующие эксперименты. Попробуйте
провести классификацию возможных траекторий.
2. Искажение поверхности океана. П.Л. Капица предложил такую задачу: над
поверхностью океана помещена материальная точка массы m. Точка
располагается на высоте h над невозмущенным уровнем океана. Исследуйте вид
возмущенной поверхности воды. Постройте соответствующие «профили» на
компьютере. Все ли возможные конфигурации в такой системе можно
наблюдать в реалистичных условиях на Земле? Рассмотрите возможные
модификации
этой
задачи,
например,
случай
расположения
двух
притягивающих центров над водой и др.
3. Форма изогнутой линейки. Сожмите металлическую линейку, приложив к ее
концам некоторое усилие. Какую форму примет слегка изогнутая линейка?
Проверьте предположения, что форма линейки задается:
а) синусоидой,
б) параболой.
4. Цепочка с грузиками. Как надо распределить по цепочке систему грузиков
разного размера, чтобы она приняла в поле тяжести форму окружности?
Изготовьте такую цепочку и проведите эксперименты
5. Катастрофы мыльной пленки. Имеются два проволочных кольца с радиусами
R и r (рис.62). Выясните, при каких значениях расстояния между кольцами h может существовать мыльная пленка, натянутая одновременно на оба кольца, образуя некоторую фигуру вращения. (Внутри колец пленок нет). Что
86
произойдет с мыльной пленкой, если постепенно увеличивать h? Проведите
теоретическое рассмотрение и проделайте соответствующие эксперименты.
Продумайте, как экспериментально зафиксировать конфигурацию пленки.
Рис. 62
6. Оптические каустики в цилиндрической чашке. В цилиндрическом сосуде
(например, в чашке с молоком) можно наблюдать яркую линию с еще более
ярким острием. Эта линия - каустика - представляет собой огибающую световых
лучей, отраженных от цилиндрической поверхности. Проведите теоретическое, экспериментальное и компьютерное исследование такой каустики.
7. Случайное блуждание на компьютере. Проведите численное моделирование
задачи о случайном блуждании на двумерной решетке размера N x N, считая: что
на каждом шаге по времени частица с равной вероятностью переходит в одно из
соседних (по вертикали и горизонтали) узлов или остается на месте. Постройте
несколько траекторий. Получите численно оценку среднего времени ухода на
расстояние, большее R, от точки старта для нескольких различных R.
Предложите эмпирическую формулу для этой зависимости. Попробуйте
исследовать аналогичную задачу в трехмерном пространстве.
8. Плавающий шар. Исследуйте вопрос о глубине погружения шара в жидкость.
Проведите эксперименты с разными шариками и жидкостями разной плотности.
Результаты экспериментов удобно представить в подходящих безразмерных
переменных, в качестве которых могут выступать соответствующие комбинации
размерных величин, характеризующих задачу. (Плотность жидкости можно
менять, подсыпая в воду соль.) Изучите возможные колебания шара на
поверхности воды. Как зависит период от введенных безразмерных параметров?
Оцените роль диссипация в системе? Линейны или нелинейные колебания
шара?
9. Статические и колебательные свойства висящей цепочки. Говорят, что если
87
цепочку подвесить за концы, то она примет форму цепной линии. Проверьте это
утверждение. Если слегка толкнуть цепочку за концы в горизонтальном
направлении и снова зафиксировать их, то возникнут колебания. Попробуйте
исследовать эти колебания.
10. Вращающаяся цепочка. Исследуйте устойчивые конфигурации, которые может
принимать массивная цепочка, если ее вращать за один конец. Проведите
предварительно эксперименты, изготовив цепочку из скрепок. Попытайтесь
реализовать соответствующую компьютерную модель.
11. Неизохронный маятники. Гюйгенс установил, что маленький шарик совершает
строго изохронные колебания (т.е. колебания, период которых не зависит от
амплитуды), если он движется по циклоиде. Какую форму следует придать
поверхности, чтобы колебания шарика соответствовали «потенциальной яме» не
с квадратичным минимумом, а с минимумом четвертой степени?
12. Радуга. Найдите в справочнике данные по коэффициенту преломления света в
воде в диапазоне от красного цвета до фиолетового и воспроизведите в цветной
графике на компьютере расчет траекторий лучей света в капле воды (теория
радуги Декарта). Определите, под какими углами по отношению к направлению
на солнце наблюдатель увидит красное и фиолетовое кольца радуги.
Попробуйте провести аналогичное исследование для капли несферической
формы.
13. Поющая бутылка. Известно, что если дуть в горло бутылки, то бутылка будет
издавать звук определенной частоты («гудеть»). Определите, от каких
параметров бутылки зависит высота издаваемого тона (т.е. частота звука).
Проведите эксперименты с различными бутылками и пузырьками. Проверьте
найденную зависимость экспериментально. (Для этого Вам скорее всего
понадобится пианино и, возможно, консультация человека, получившего
музыкальное образование.)
14. Моделирование линзы. Напишите программу, моделирующую прохождение
света через толстую линзу. При построении хода лучей пользуйтесь законами
преломления, а не свойствами тонкой линзы. Рассмотрите прохождение пучка
лучей через толстую линзу. Сравните полученную картину с известной из курса
физики. Исследуйте, как зависит ход лучей от параметров линзы.
15. Бильярд. Напишите программу, моделирующую движение шарика в замкнутой
области, считая все удары о стенки абсолютно упругими. Рассмотрите движение
88
в областях различной формы. (Квадрат, эллипс, прямоугольник и т.д.) Попробуйте выявить какие-то закономерности в динамике частицы.
Организуйте поиск в сети Интернет по проблемам бильярдов. (Это весьма
обширная область статистической физики и нелинейной динамики).
16. Прыжок с гирями. Известно, что древнегреческие атлеты прыгали в длину с
гирями. Бросая их в определенный момент, они увеличивали дальность прыжка.
Попробуйте определить, в какой момент и как нужно отбросить гири, чтобы
максимально увеличить дальность прыжка.
17. Качалка. В теории катастроф очень популярна модель, известная как качалка
(рис.63). Рассмотрите параболическую качалку, форма нижней поверхности
которой задана уравнением y=x 2. Исследуйте проблему устойчивости такой
системы. Ознакомьтесь с теорией качалки (Постон и Стюарт, Теория катастроф), связывающей проблему ее устойчивости с построением огибающей семейства
нормалей. Проведите компьютерное моделирование семейства нормалей.
Изготовьте качалку из картона, проведите эксперименты с ней и сравните с
результатами компьютерного моделирование. Реализуйте ту же программу
исследований для качалки в форме эллипса.
магниты
Рис. 63.
18. Неваляшка (Ванька-Встанька). Рассмотрим «модель» этой известной игрушки
в виде цилиндра со смещенным центром тяжести. Если такой цилиндр положить
на плоскую поверхность, то он имеет два положения равновесия: устойчивое
(центр тяжести занимает наинизшее положение) и неустойчивое (центр тяжести
занимает наивысшее положение). Исследуйте, какие положения равновесия
будет иметь этот цилиндр, если его положить на выпуклый (или вогнутый) полуцилиндр (большего радиуса). Что будет происходить при выведении
цилиндра из положений равновесия?
19. Математический ряд и физический эксперимент. Если положить на один
кирпич сверху второй, то его можно сдвинуть на расстояние x1 =l/2, прежде, чем
89
произойдет падение. На какое расстояние x2 можно сдвинуть третий кирпич, положенный
на
второй
(рис.64)?
Получите
соответствующую
последовательность xn для возрастающего числа кирпичей. Чему равна длина
стенки в пределе бесконечного числа кирпичей? Попробуйте экспериментально
реализовать соответствующую ситуацию. (Рекомендуем использовать не
кирпичи, а что-нибудь полегче - костяшки домино, спичечные коробки и др.) Обсудите результаты эксперимента и их соответствие с теорией. Попробуйте в
эксперименте реализовать другую стратегию, нацеленную на получение
длинной стенки. Стенку, какой длины Вам удастся создать?
Рис. 64
20. «Падающее домино». Составим из костей домино цепочку, поставив их на
меньшую грань на равном расстоянии друг от друга. Если толкнуть первую
кость, то, падая, она толкнет вторую и т.д. Исследуйте процесс распространения
такой «волны». В частности, определите, зависит ли (и если да, то как) время
падения всей цепочки от расстояния между костями, количества костей, силы
толчка первой кости, других параметров. Проведите эксперимент. Попробуйте
сделать теоретический расчет и сравнить результаты. Примечания: 1. Лучше
использовать детское домино (с костями большого размера). 2. Для измерения
времени, скорее всего, понадобится более точный прибор, чем часы с секундной
стрелкой.
21. Маятник с переменной массой. Изготовьте маятник из сосуда, в который
можно наливать виду (например, из бутылки). Изучите зависимость периода
колебаний маятника от массы налитой в бутылку воды. Попробуйте построить
такой график теоретически. Сначала, считайте маятник математическим с
длиной, равной расстоянию до центра масс системы, затем – физическим.
Сравните результаты двух теорий и эксперимента.
22. Компьютерная реализация принципа Гюйгенса. Принцип Гюйгенса состоит в
том, что волновой фронт, испущенный поверхностью, можно найти как
огибающую множества сферических (на плоскости круговых) фронтов, испущенных
каждой
точкой
излучающей
поверхности.
Реализуйте
компьютерную иллюстрацию принципа Гюйгенса для эллипса. Попробуйте
90
выполнить компьютерную мультипликацию распространяющегося фронта и
обсудите его форму. Попробуйте в качестве излучающей поверхности взять
другие гладкие кривые
91
Часть III.
ФИЗИКИ ТОЖЕ ЛЮБЯТ МАТЕМАТИКУ
…Любит ли он поросят или нет?
И КАК он их любит?…
Пятачок. Милн. «Винни Пух и все, все, все»
В этой части книги мы продолжим разговор о том, как физики используют
математику. По-видимому, физики принадлежат к наиболее активным «потребителям»
математики. Даже сложился определенный тип «математического» физика – физик-теоретик. Здесь уместно упомянуть, что нашему выдающемуся соотечественнику Льву
Давидовичу Ландау именно прекрасное знание теории функций комплексного
переменного позволило понять, что некоторая «особенность» задачи о движении
бесстолкновительной плазмы требует аккуратного математического обращения, что
привело к открытию нового физического явления, известного теперь как «затухание
Ландау». Подобных примеров не мало. Очень часто физики переоткрывают для себя
тот или иной математический аппарат, когда в нем возникает потребность. Так, например, было с матричным формализмом в квантовой механике. Очень многие
математические идеи Анри Пуанкаре нашли воплощение в современной теории
колебаний и т.д.
Замечательно, что иногда математика оказывается для физиков не просто
инструментом, а открывает совершенно новые подходы. В этом случае возникает
совсем новый способ построения теории, иной, чем в традиционной физике.
Действительно, в физике изучают определенные типы явлений: механику, электричество, теплоту и т.д. Но вполне может случиться, что совершенно разные
физические процессы приводятся к одинаковым уравнениям. Тогда возникает
замечательная ситуация, когда Вы, используя уже готовые наработки, готовые знания и
готовую интуицию, с ходу можете решать (иногда очень эффектно для коллег) совсем
другие задачи из другой области физики. Говорят, этим приемом весьма успешно
пользовался Лев Давидович Ландау. Соответствующий принцип очень лаконично и
ясно сформулировал Ричард Фейнман: «Одинаковые уравнения – одинаковые
решения». А наш соотечественник, Леонид Исаакович Мандельштам говорил об
«интернациональном» языке теории колебаний, основанном на определенном виде
дифференциальных уравнений. Сейчас таких «интернациональных» теорий стало
много к ним относится, в частности, теория бифуркаций, теория динамических систем, теория динамического хаоса и т.д.
92
Наше же обсуждение в этой части книги будет касаться, в основном, математического анализа. С одной стороны, анализ очень важен для физиков. А вот с
другой… Вопрос о том, КАК следует преподавать математический анализ в школе (да, наверное, не только в школе) остается дискуссионным. Чтобы не поссориться на этой
почве с математиками, эта часть книги названа «физики тоже любят математику». И
это действительно так, хотя, наверное, разные из них любят математику по-разному и в
разной степени. Есть среди физиков такие, для кого математика не только инструмент, но и хобби. Но вот для всякого начинающего исследователя еще в школе встает вопрос, как этим инструментом овладеть. К сожалению, преобладает очевидная на первый
взгляд точка зрения, состоящая в том, что пусть прежде всего математики на своих
уроках изложат строгим образом математическую теорию. А тогда, на уроках физики, ученики без проблем смогут ее применять. К сожалению, такая методика в школе
обычно терпит фиаско. Применению математического анализа надо учить (или учиться
самому) отдельно. Это создает некоторые «внутришкольные» проблемы и коллизии. По
нашему мнению, нужны или специальные уроки, или даже специальный курс, нацеленный именно на использование математического анализа в физике. Во многом
он должен состоять из решения задач, так как, решая задачи, учишься применять
математические знания и навыки. Такой курс был реализован, в свое время, в лицее
прикладных наук и предлагается теперь Вашему вниманию.
1. Числовые последовательности
В математике числовые последовательности – достаточно популярный раздел.
Самые известные из них – это арифметическая и геометрическая прогрессии. Для
математиков числовые последовательности и их теория – первый шаг к
математическому анализу. В физике же теория последовательностей используется
не
так часто (по сравнению, скажем, с тригонометрией). В то же время многие
физические процессы допускают дискретизацию, а значит, приводят к числовым
последовательностям. Например, брошенное под углом к горизонту тело описывает
непрерывную кривую, но вспышки стробоскопа заменяют ее на набор дискретных
точек. Или еще один пример. Пусть Вы смотрите на термометр один раз в день, в 8
утра, выходя в школу. В этом случае вместо непрерывной функции зависимости
температуры от времени, Вы имеете деле с дискретной переменной. Ей можно
присвоить номер, отвечающий очередному дню. В современной науке очень развился
аппарат для работы с дискретными переменными, однако, мы обсудим эти
возможности чуть позже, а сейчас предлагаем потренироваться в решении физических
93
задач с применением числовых последовательностей.
Задачи
1. Придумайте способ, как «экспериментально» получить последовательность, составленную из нулей и единиц. Реализуйте его.
2. Предложите
«экспериментальный»
способ
построения
числовой
последовательности, составленной только из цифр 0, 1, 2, 3.
3. На рисунке 65 показан стробоскопический снимок тела, скользящего по
наклонной плоскости. Каковы свойства последовательностей xn и vn? Вспышки
стробоскопа происходят через равные интервалы времени.
Рис. 65
4. Космический корабль приближается к планете. Луч радара, следящего за
кораблем, равномерно вращается с частотой ω. Корабль приближается к планете
так, что проекция его скорости на направление луча радара постоянна и равна v.
Радар измеряет расстояние до корабля через промежутки времени, равные
периоду его развертки T=2 π/ω. Каковы свойства последовательности значений
расстояний, зафиксированной радаром?
5. Интенсивность света, проходящего через некоторое вещество, изменяется по
закону Бугера: I=I0e–α x , где x – координата, отсчитываемая от границы воздуха и
вещества. Имеется цепочка из пластин толщины d, изготовленных из такого
вещества, пронизываемых световым лучом (рис.66). Установите свойства
последовательности I0, I1, I2, I3, .…Пройдет ли свет через такую бесконечную
цепочку?
Рис. 66
6. Имеется цепочка из пластин, толщина которых изменяется по закону
геометрической прогрессии с показателем β. Установите свойства
последовательности I0, I1, I2, I3,.… Пройдет ли свет через бесконечную цепочку
таких пластин? Если да, то чему будет равна его интенсивность? Толщина
94
первой пластины d.
7. Шарик, брошенный без начальной скорости с высоты h на горизонтальную
поверхность, подпрыгивает на высоту h/2. На каком расстоянии от точки броска
шарик перестанет прыгать и начнет двигаться по поверхности, если его бросить
с поверхности со скоростью 1 м/с под углом 45 градусов к горизонту (рис.67)?
Рис. 67
8. Бактерии имеют такой закон развития: каждая живет 1 час и каждые полчаса
порождает одну новую (всего две за свою жизнь). Каково будет потомство
одной бактерии через 6 часов после ее рождения?
9. Маленький шарик шарнирно укреплен на легком стержне длины l (рис.68.).
Шарику сообщают некоторую скорость v0 так, что он начинает вращаться вокруг
точки O. В процессе его движения фиксируется последовательность значений
горизонтальной проекции скорости шарика в нижней точке его траектории.
Постройте график этой последовательности и опишите ее свойства. Имеет ли
она предел? Учесть небольшое сопротивление воздуха.
Рис. 68
10. Автомобиль стартует из точки A и начинает движение по кольцевому шоссе
протяженностью 200 м. График зависимости пути, пройденного автомобилем от
времени, показан на рисунке 69. Проходя мимо точек A и В, автомобиль дает
короткий гудок. Определите последовательность моментов времени, в которые
раздается гудок. Расстояние АВ равно 100м, а ВА - 200м. Дайте графическое
решение задачи.
95
Рис. 69
11. Представьте себе клубок шерстяных ниток. Мысленно рассеките его
плоскостью. Стартовав со свободного конца нити, пройдите мысленно вдоль
нее, обозначая через xn, yn координаты каждого очередного пересечения нити с
плоскостью. Имеют ли последовательности xn и yn пределы в «физическом»
смысле?
12. За три часа концентрация некоторого лекарства в крови пациента падает в два
раза. Инъекции лекарства производят один раз в шесть часов. Получите
разностное уравнение, описывающее динамику концентрации лекарства в крови
непосредственно перед каждой очередной инъекцией. Составьте таблицу, иллюстрирующую динамику концентрации лекарства. Нарисуйте примерный
график изменения концентрации лекарства в крови от времени. Во сколько раз
отличаются концентрации перед инъекцией и сразу после нее через достаточно
большой интервал времени?
13. Решите предыдущую задачу в случае, если инъекции производят один раз в
сутки.
14. Как установил Ньютон, температура остывающего тела изменяется по закону
T=Tс+( T0-Tс) e–α t , где T0 - начальная температура тела, Tс – температура
окружающей среды, α – некоторый коэффициент. Через равные интервалы
времени телу сообщают количество тепла Q. Теплоемкость тела C. Получите
разностное уравнение, описывающее изменение от раза к разу температуры тела
сразу после получения очередной «порции» тепловой энергии. Каков характер
соответствующей последовательности значений температуры: убывающий или
нарастающий? От чего это зависит? Найдите предельное значение этой
последовательности. Как будет изменяться температура тела в «реальном»
времени? Нарисуйте примерный график. В каком интервале будет колебаться
температура тела через достаточно большое время? Зависит ли асимптотический
закон изменения температуры от ее начального значения?
15. Покажите, что разностное уравнение xn+1 =xn/2+ a/2 xn можно использовать для
вычисления квадратного корня из числа a. (Такой способ применяли еще в
древнем Вавилоне). Найдите первые десять членов последовательности xn, порождаемой этим уравнением, в случае a=2. Величину x0 положите равной
единице. Сколько итераций надо сделать, чтобы получить значение
2 с
точностью 1%? От чего зависит число итераций, которые необходимо
совершить, чтобы получить заранее заданную точность?
96
16. Ученик вышел из дома в Лицей прикладных наук, но на полдороге он передумал
и решил пойти в кино. Пройдя полдороги в кино, он передумал, и снова пошел в
Лицей и т.д. Каким будет асимптотический характер движения ученика? Все
объекты расположены на открытой местности (рис.70). Выполните сначала
простое геометрическое построение и найдите точки поворота ученика, а затем
дайте строгое решение задачи. Зависит ли закон асимптотического движения
ученика от начальной точки на плоскости? Чем он определяется?
Рис. 70
17. Решите предыдущую задачу в случае, когда ученик циркулирует между ЛПН, кино и катком. Определите период установившегося движения ученика, если эти
три объекта находятся в вершинах прямоугольного треугольника с катетами
500м и 1000м. Скорость движения ученика - 5 км/ч.
2. Производная в математике и физике
Как мы уже видели, физики широко используют алгебру и геометрию. Вы, конечно, слышали и о неевклидовой геометрии, которая применяется в теорию
относительности. Одно время очень популярна была топология и т.д. Но, как мы
говорили во введении к этой части, есть раздел школьной (или почти школьной) математики, который стал своего рода камнем преткновения. Речь идет о
математическом анализе, и в первую очередь, о понятии производной.
Для математиков определение производный - тонкий процесс, содержащий
некоторые математически изящные и для времени, когда они были разработаны, неожиданные построения.
Физики мыслят производную как скорость изменения некоторой величины в
ходе какого-то процесса. Им достаточно этого интуитивного представления и правил, по которым эту скорость вычисляют.
Но тут, как говорится, нашла коса на камень. Очень многих математиков такой
подход раздражает. Они считают его неверным и ошибочным. И полагают, что сначала
нужно научиться всем тонкостям, связанным с бесконечно малыми, пределами и т.д.
Только после такого обучения физик имеет право пользоваться инструментом анализа.
97
Доходило до смешного – хорошо помню, как нам в физико-математической школе
учителя не советовали на вступительных экзаменах в вуз говорить, что мы знакомы с
производной, так как нас обязательно «провалят» на соответствующих математических
тонкостях. А не знать производную, мы тогда вполне имели право – она не входила в
школьные программы. Уже в преподавательской практике приходилось сталкиваться с
ситуацией, когда математики обижались, если физики вводили какое-либо
математическое понятие раньше, чем они. (Этот относится не только, к производной и
интегралу, но и, например, к вектору.) Гораздо более серьезно и печально в этом плане
выглядит нешуточная дискуссия вокруг замечательной книжки Якова Борисовича
Зельдовича «Высшая математика для начинающих».
Наверное, истина, как всегда посередине. Надо познакомиться и со строгими
доказательствами, и с «ремеслом» применения производной. Надо также сказать, что с
появлением компьютеров, оперирующих с фантастической точностью, понятие
«бесконечно малое число» стало гораздо менее абстрактным, чем в XVII-XIX веках. И, видимо, жизнь подтверждает, что использовать производную, не зная всех тонкостей
доказательств, можно. Ведь огромное количество людей прекрасно умеет пользоваться
телевизором, не имея представления о том, как он, собственно, работает. Тоже самое, наверное, в еще большей степени относится к компьютеру. Точно также, скрипач-виртуоз вполне может быть не знаком со всеми таинствами и этапами изготовления
скрипки.
Заметим также, что и сами математические подходы к методологии анализа могут
быть разными. Например, один из его создателей - Ньютон шел путем, гораздо более
близким физикам. (Хотя себя считал математиком). Об этом можно прочесть в книжке
Владимира Игоревича Арнольда «Гюйгенс и и Барроу. Ньютон и Гук.»
Поговорим теперь немного о восприятии физиком производной. Конечно, проще
всего мыслить образами из механики. На каждом автомобиле стоит прибор, который
показывает его скорость. Это спидометр. Как он работает? Он не может дать истинное
мгновенное значение скорости. Он измеряет среднюю скорость на небольшом, но все
же конечном отрезке пути. Поэтому для физика скорость есть V=∆ x/∆ t, где ∆ x – очень
маленький отрезок пути, а ∆ t – очень маленький отрезок времени, за которое этот путь
пройден. Конечно, эти наши с Вами «очень маленькие» не вызывают восторга у
математиков. Но физик может мыслить немного по-другому. Для него малость означает
малость по сравнению с другими характерными масштабами задачи (см. первую
часть книжки). Наконец, компьютеры, как мы уже говорили, делают понятие малых
величин очень практичными. Хотя, будем справедливыми, и с физической точки зрения
98
здесь могут возникнуть нюансы. Действительно, реакция разных людей разная, и один
водитель может заметить мелкое дрожание стрелки спидометра, а другой нет. А каковы
инерционные свойства стрелки? Не испортят ли они всю картину? И все же понятие
скорости привычно, а как это не удивительно, привычка делает вещи более понятными.
А из возникших тонкостей можно опять найти выход с помощью рассуждения о разных
масштабах. Например, период собственных колебаний стрелки должен быть много
больше характерного времени измерения ∆ t , и тогда ее собственные колебания не
будут заметны.
Но перейдем к «деловой» части нашей программы. Далее мы будем полагать, что
читатель владеет «ремеслом», то есть немного умеет дифференцировать и
интегрировать.
Применение производной в физике весьма многообразно. Прежде всего, некоторые величины просто являются производными других, и тогда анализ дает
способ их вычисления. Так, скорость, - это производная от пройденного пути. Поэтому, если путь зависит от времени как S=at 2/2, то скорость будет зависеть от времени так: V=dS/dt=at. Удивительно, но в школьном курсе не вполне внятно говориться о том, что
ускорение есть первая производная скорости, и, соответственно, вторая производная
пути по времени. По этой причине отнюдь не сразу школьники, изучающие физику, узнают, что второй закон Ньютона – это, собственно, дифференциальное уравнение.
Причина та же – дифференциальное уравнение появляется в лучшем случае на вершине
школьной математики, а физику надо как-то изучать.
Предлагаем Вашему вниманию несколько задач, использующих понятие
производной. Обратите внимание, что при решении некоторых из них, Вам
понадобиться знать, как с помощью производной построить касательную к графику
функции. Тех, кто не помнит соответствующей формулы, отсылаем к справочнику.
Задачи
1. Пружина характеризуется зависимостью потенциальной энергии от удлинения
U(x)=kx 2/2 +ax 4 ( k>0, a>0). Определите зависимость силы упругости пружины от
ее удлинения. При каком условии выполняется закон Гука?
2. Покажите, что формула для потенциальной энергии гравитационного
взаимодействия двух масс U(R)=–GMm/R соответствует закону всемирного
тяготения Ньютона.
3. По тонкому кольцу радиуса R равномерно распределен электрический заряд Q
(рис.71). Найдите зависимость электрического поля от координаты x, 99
отсчитываемой вдоль оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его
плоскости. Сделайте это двумя способами: с помощью закона Кулона и
вычислив производную от зависимости потенциала от координаты x.
Рис. 71
4. Найдите закон изменения электрического поля вдоль оси диполя с дипольным
моментом p, вычислив производную от зависимости потенциала от координаты.
Диполем называются два заряда противоположных знаков q и – q, расположенные на малом расстоянии l, причем дипольный момент p=ql.
5. Найдите приближенно относительное изменение периода колебаний
математического маятника при увеличении длины нити со 100 см до 101 см? С
каким ускорением надо двигать в вертикальном направлении точку
прикрепления маятника, чтобы скомпенсировать найденное изменение периода
колебаний?
6. Оцените максимальную скорость автомобиля, график движения которого
показан на рисунке 72.
Рис. 72
7. Торпедный катер выходит на цель, двигаясь по параболе y = –Cx2, где C = 0,01
м–1. В какой точке следует выпустить торпеду, чтобы поразить неподвижную
цель, имеющую координаты x = 100 м, y=300 м. Сколько решений имеет задача?
Дайте физическую интерпретацию каждому из них.
8. На рисунке 73 показана зависимость силы упругости пружины от удлинения
пружины. К пружине подвешен груз массой m=100 г. Определите период малых
колебаний груза около положения равновесия.
100
Рис. 73
9. Материальная точка массой m движется под действием силы f( x), зависящей от
координаты x вблизи минимума потенциальной энергии x 0. Покажите, что
период малых колебаний точки дается выражением T= 2 π[ m/ f' '( x0)]1/2.
Указание:
при
малых
∆x
справедливо
приближенное
равенство
f( x0+∆x) ≈f( x0) +f' ( x0) ∆x+( f'' ( x0)/2) ∆x 2 .
10. Найдите период возможных малых колебаний материальной точки массой m, движущейся вдоль оси x, если зависимость потенциальной энергии от
координаты x дается следующими формулами:
а) U( x) =U0 sin(2 πx/l);
б) U( x) = 4 a[( b/x)6 –( b/x)12]; в) U( x) = U0 [( x/l)3–3 x/l)].
3. Задачи на максимум и минимум
Очень полезны в физике производные при решении задач на максимум и
минимум. Это связано с тем, что максимуму и минимуму гладкой функции отвечает
нулевое значение производной. Решим, например, следующую задачу.
Задача. На горизонтальной поверхности с коэффициентом трения µ лежит брусок
массы m. К бруску приложена сила F, направленная под углом α к горизонту. При
каком минимальном значении величины силы можно сдвинуть брусок с места? Под
каким углом к горизонту для этого следует приложить усилие?
Описанная система, вместе с действующими силами, показана на рисунке 74.
Рис. 74
Эта задача допускает решение и традиционными методами, но оно весьма
нетривиально. А понятие производной делает решение почти автоматическим.
Действительно, проектируя силы на вертикальное направление, получим
N + F sinα = mg .
Условие начала скольжения дается равенством проекцией сил на горизонтальное
направление
101
F cos α = f ,
тр
при известном дополнительном равенстве f
= N
µ . Из этих трех уравнений без труда
тр
находим
µ
=
mg
F
.
cosα + µ sinα
По условию, нужно найти угол α, отвечающий минимальной силе. Как видно из
последнего соотношения, этому значению силы отвечает максимум выражения
cos α + µsin α .
Дифференцируя его и приравнивая производную нулю, находим условие
экстремума
− sin α + µ cosα = 0 .
Отсюда tgα = µ , или α = arctg µ . Полученное соотношение и дает ответ к задаче.
Интересно, что при малом коэффициенте трения α ≈ µ. Предлагаем читателю
самостоятельно доказать, что найденный экстремальный угол действительно отвечает
именно минимуму силы.
Задачи
1. Маленький кубик скользит без трения по поверхности со скоростью v 0, приближаясь к изгибу, профиль которого дается функцией y=x/[( x/a)2+1].
Определите максимальную и минимальную скорости, которые кубик будет
иметь в процессе движения. Ось x горизонтальна, ускорение свободного падения g.
2. Один моль идеального газа расширяется так, что его давление зависит от объема
газа по закону P=a-bV2 ( a>0, b>0). Определите максимальную температуру газа.
3. Закон взаимодействия двух молекул в некоторых случаях может быть описан
потенциалом Ленарда-Джонса U( r)=4 a[( b/r)6–( b/r)12]. Изобразите график
зависимости потенциала от расстояния между молекулами. Определите
положение минимума потенциала. Используя этот результат, оцените
расстояние между молекулами вещества и величину энергии, необходимой, чтобы оторвать молекулы друг от друга. (Параметры a и b считайте
известными.) Найдите зависимость силы межмолекулярного взаимодействия от
расстояния и изобразите соответствующий график.
4. По кольцу радиуса R равномерно распределен электрический заряд Q (рис.75).
Вдоль оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости, может двигаться точечный заряд –q. При каком положении заряда на него
действует максимальная сила?
102
Рис. 75
5. В толстостенный стакан массы M наливают жидкость с плотностью ρ (рис.76).
Постройте качественно график зависимости высоты центра масс системы от
высоты h налитой в стакан воды. При каком значении уровня воды центр масс
системы занимает наинизшее положение? Внутренняя часть стакана имеет
форму цилиндра с площадью сечения S и высоты H. В пустом стакане центр
масс располагается на расстоянии h0 от дна.
Рис. 76
6. Частица с массой m налетает на атомное ядро с массой M. После упругого удара
ядро приобрело кинетическую энергию, составляющую n-ую часть
кинетической энергии налетавшей частицы. Постройте график зависимости
величины n от отношения масс частиц k=m/M. При каком отношении масс доля
переданной энергии максимальна?
7. Известно, что для некоторых модификаций и соединений углерода валентные
связи атомов углерода направлены к вершинам тетраэдра, причем угол между
ними составляет 109°28'. Покажите, что если в круге радиуса R вырезать сектор
так, чтобы получить развертку конуса, объем которого максимален, то угол при
вершине такого конуса равен 109°28'.
8. Известно, что прочность балки прямоугольного сечения определяется
выражением bh2 , где b – ширина балки, h – ее высота. Как из цилиндрического
бревна радиуса R сделать балку наибольшей прочности?
9. На какой высоте следует поместить лампу над центром круглого стола, чтобы на
его краях получить максимальную освещенность?
4. Экспонента
Экспонента – эта одна из замечательнейших функций в физике, понимание
которой, однако, наступает только после изучения математического анализа. Эта
функция, y=Сeax, является решением самого простого дифференциального уравнения
103
dy/dx=ay.
Здесь e=2,718281828… - универсальная математическая константа, a – некоторая
постоянная, С –постоянная величина, определяемая из граничных условий (постоянная
интегрирования). Таким образом, производная пропорциональна самой функции.
Вспомнив смысл производной, как скорости, легко приходим к физическому варианту
понимания экспоненты. Экспонента описывает процессы, когда скорость изменения
величины равна самой величине. Отсюда вытекает вывод о «взрывном» характере
соответствующих процессов. Действительно, с ростом величины растет и скорость ее
изменения. Значит, величина растет все быстрее и быстрее. Математики часто любят
вводить число e иначе, через некоторый предел. Это надо помнить, но все же
физический смысл экспоненты через свойство пропорциональности функции и
производной легче запоминается и полезнее в приложениях.
Экспонента очень распространена. Например, по экспоненциальному закону
может на начальной стадии нарастать численность колонии бактерий, пока не вступят в
действие другие факторы, например, ограничение запасов пищи. Экспонента всегда
присутствует в явлениях, связанных с радиоактивным распадом.
Чтобы лучше понять, как экспонента появляется в реальной жизни, решим
простую задачу.
Задача. Канат намотан на цилиндрическую тумбу так, что он делает N полных
оборотов. Корабль натягивает трос с силой F. Какую силу должен приложить матрос, чтобы удержать корабль? Коэффициент трения троса о тумбу равен µ.
Рассмотрим маленький кусок каната, обвивающий тумбу (рис.77).
Рис. 77
Пусть угол, по которым этот кусок виден из центра тумбы, есть d α. И пусть сила
натяжения на длине этого куска (за счет трения этого фрагмента каната) возрастает на
величину dF. Ясно, что
dF = N
µ ,
где N – сила давления нашего фрагмента на тумбу. Осталось найти связь F и N.
Проецируя силы на радиальное направление, получаем
104
d α
α
F sin
+ ( F +
) d
dF sin
= N .
2
2
Помня, что dF и d α малы, а sin d α ≈ d α , получаем Fd α = N . Теперь легко
находим, что
dF = µ N = µ α
Fd ,
или
dF = F
µ .
d α
Итак, мы получили уравнение экспоненты. Отсюда автоматически следует
µα
F = F e .
0
Давайте сделаем численные оценки. Пусть µ = 0.2, а трос четыре раза обвивает
тумбу, т.е. α = 8π . Тогда
,
1 6
F
e π
=
F .
0
Итак, усилия матроса этот прием увеличивает в ,16π
e
≈ 152,24…. раз! А если
коэффициент трения составляет 0,4, то выигрыш в силе уже 23227,59… раз. Таковы
свойства «взрывного» роста экспоненты.
Задачи
1. Радиоактивный элемент распадается по закону N(t)=N0e–t/T, где T – среднее время
жизни. Определите период полураспада элемента. Для радия среднее время
жизни T = 2400 лет. Определите период полураспада радия.
2. За время t=800 лет распалось ∆ m = 10 г радия. Сколько его было в начальный
момент времени?
3. Содержания радия на Земле в среднем составляет 10–12 (по атомам). Каково было
содержания радия десять тысяч лет назад? пять миллиардов лет назад?
4. Покажите, что производная от давления по вертикальной координате в
изотермической атмосфере пропорциональна давлению. Получите закон
изменения давления с высотой. Оцените, во сколько раз ниже атмосферного
давление на вершине самой высокой горы?
5. Груз массы M подвешен на тросе. Как должна меняться толщина троса, чтобы в
любом его сечении нагрузка на единицу площади сечения была одинаковой?
Плотность материала троса ρ, площадь сечения в точке прикрепления груза S.
5. Интеграл
Чтобы поупражняться в применении интеграла, решим следующую задачу.
Задача. Вычислите силу гравитационного взаимодействия материальной точки
массы m и однородного тонкого цилиндра длины L и массы M. Цилиндр и точка лежат
105
на одной линии так, что кратчайшее расстояние между ними равно R (рис.78).
Рис. 78
Разобьем наш стержень на маленькие (для физика – конечные!) кусочки длины dx (рис.79).
Рис. 79
M
Масса этого кусочка dm =
dx . Сила его гравитационного притяжения к
L
материальной точке есть
mdm
γ
dF =
.
2
x
(Начало координат совпадает с материальной точкой m.) Обратите внимание, что
dx << x , поэтому в знаменателе просто пишем 2
x , игнорируя распределенный характер
кусочка dx.
Суммарная сила и есть интеграл, т.е. сумма вкладов от всех остальных кусочков
dx:
L+ R
F = ∫ dF .
R
Мы пишем определенный интеграл, потому что стержень занимает конечный
отрезок от R до L+ R. Поэтому мы аккуратно поставили интервалы интегрирования.
Итак,
R+ L dm γ
R+
mM
L dx
γ
R+
mM
L
1
γ mM ⎛ 1
1 ⎞
F = γ m
=
= −
⋅
= −
⎜
− ⎟
∫
.
2
∫
x
L
x 2
L
x
L
R
R
R
⎝ R + L R ⎠
dx
1
Мы учли, что ∫ = − . Окончательно
x 2
x
mM
γ
F =
.
R( R + L)
Это и есть ответ к задаче. Посмотрим, что будет, если стержень отодвинуть очень
далеко. Тогда R>> L и получаем
mM
γ
F =
.
2
R
106
Тела в этом случае взаимодействуют как материальные точки, как и должно быть.
Итак, при использовании интегрирования работает идея «разбивания на
маленькие кусочки». В приведенном примере это относилось к простейшей, одномерной задаче. Но идею разбивания на маленькие кусочки для подготовки к
интегрированию можно распространить и на двумерные системы. При этом часто
можно использовать свойство симметрии системы. Обратимся, например, к такой
задаче.
Задача. Диск массы m и радиуса R вращается вокруг своей оси с угловой
скоростью ω. Чему равна его кинетическая энергия?
Воспользуемся тем, что скорости элементов, равноудаленных от центра диска, одинаковы. Поэтому его удобно разбить на тонкие кольца толщины dr, расположенные
на расстоянии r от центра (рис.80).
Рис. 80
M
Масса такого кольца есть dm =
dS , где dS – площадь кольца. В силу малости
R 2
π
dr легко получаем
dS = 2 r
π ⋅ dr .
Для этого мы просто длину кольца умножили на его ширину. (По-прежнему
«работает» малость dr!)
Тогда кинетическая энергия нашего элемента есть
2
2
υ
ω r 2 M
2
ω M
dW =
dm =
⋅
⋅ 2 rdr
π
=
⋅ r 3 dr .
2
2
R 2
π
R 2
В силу малости малость d r можно считать, что все точки кольца лежат на
расстоянии r от центра. Полную энергию находим интегрированием
2
2
4 R
R
2
2
ω M
ω M r
ω R M
3
W = dW =
r dr =
⋅
=
∫
∫
.
2
2
R
R
4
4
0
0
2
ω
Это и есть ответ к задаче. Если записать кинетическую энергию W, как
= I
W
,
2
2
MR
то можно видеть, что мы фактически показали, что момент инерции диска I =
.
2
107
Задачи
1. Материальная точка движется так, что ее ускорение меняется по линейному
закону a=ct. Получите закон зависимости координаты тела от времени в
следующих случаях:
а) в момент времени t=0 скорость и координата равны нулю; б) в момент времени t=0 скорость равна v0 , а координата x0; в) в момент времени t=t0 скорость равна v0, а в момент времени t=0 координата
равна x0.
2. Докажите, что объем шара равен 4π R 3/3.
3. Имеется тонкий диск радиуса R, по которому равномерно распределен заряд с
поверхностной плотностью σ (рис.81). Определите зависимость потенциала и
напряженности электрического поля от расстояния до диска вдоль оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости. Исследуйте
случаи, когда это расстояние мало и велико по сравнению с радиусом диска.
Рис. 81
4. Определите положение центра масс тонкой пластинки, имеющей форму
половины круга радиуса R.
5. Определите положение центра масс однородной полусферы радиуса R.
6. Найдите закон изменения потенциала внутри равномерно заряженного шара
радиуса R. Потенциал на бесконечности примите равным нулю. Чему равен
потенциал в центре шара?
7. Имеется два плоскопараллельных заряженных слоя толщины h, имеющих одну
общую грань. Объемные плотности заряды равны соответственно ρ 1 и ρ 2.
Найдите закон распределения потенциала внутри слоев и постройте
соответствующие графики.
8. Найдите энергию электрического поля, заключенного между двумя
концентрическими сферами с радиусами R и r, несущими заряды Q и –Q
соответственно. Плотность энергии электромагнитного поля W=ε0E 2/2.
9. Идеальный газ массы m изотермически расширился от объема V1 до объема V2.
Вычислите работу газа. Температура газа T, молярная масса µ.
10. Воду массой M=100 г нагрели от температуры t1 =10°С до t2=90°С. Определите
изменение энтропии воды (для тех, кто знаком с понятием энтропии).
108
11. Получите выражение для энтропии идеального одноатомного газа.
12. Однородный диск радиуса R и массы M вращается вокруг своей оси с угловой
скоростью ω. Определите кинетическую энергию диска.
13. Для атмосферы, удовлетворяющей закону распределения Больцмана, определите
высоту центра масс некоторого выделенного столба воздуха. Чему равна эта
высота для Земли, если считать среднюю температуру равной 10°С?
14. При вращении цилиндрического стакана с водой вокруг оси с угловой скоростью
ω поверхность воды принимает форму параболоида вращения y=ω 2 r 2/2 g, где y –
абсцисса точки поверхности, r – ее расстояние от оси. В стакан радиуса R налили
объем воды V. При какой угловой скорости вращения стакана обнажится дно?
Стенки стакана достаточно высоки.
6. Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которые входят производные.
Например, к ним относится соотношения, выражающие второй закон Ньютона, ибо
скорость – это производная координаты от времени, а ускорение – производная
скорости от времени. Иными словами, ускорение – вторая производная координаты по
времени. Для материальной точки, приравняв ускорение, умноженное на массу, силе и
получим второй закон Ньютона.
При решении дифференциальных уравнений у физиков есть маленький секрет.
Они позволяют обращаться с величиной dx просто как с маленькой, но конечной
величиной. У математиков это тоже «почти» можно, но dx тогда называют
дифференциалом, и его мыслят все же бесконечно малым. Хорошо помню, как в школе
не мог совершенно понять, как решать дифференциальные уравнения. Так мне строго
«наказали», что величина dy/dx есть неразделимый символ. И только, когда старший
товарищ подсказал, что с dy и dx можно обращаться довольно произвольно, вдруг все
стало на свои места. Наверное, это не совсем верно с точки зрения математики, но, как
говорится, из песни слов не выкинешь.
А теперь давайте немного поупражняемся и решим следующую задачу, в рамках
которой нам придется учитывать, что второй закон Ньютона – это дифференциальное
уравнение.
Задача. Модели корабля массой m сообщили начальную скорость v 0. Считая, что
сила сопротивления пропорциональна скорости с известным коэффициентом k, определите зависимость скорости и координаты модели от времени. Какое расстояние
пройдет модель до полной остановки?
109
Запишем второй закон Ньютона для нашей задачи: ma = f = − υ
k ,
тр
где fтр – сила сопротивления, пропорциональная скорости тела υ. Знак минус отвечает
торможению тела. Воспользуемся тем, что ускорение есть производная скорости. Тогда
υ
d
m
= − υ
k .
dt
Обратимся с dt как с алгебраической величиной:
d υ
k
= − dt .
υ
m
Интегрируем обе части
∫ υ
d = − k ∫ dt,
υ
m
k
m υ + C = −
t .
m
Откуда
kt m
υ Ce−
=
.
Найдем постоянную C. При t = 0 должно быть υ = υ . Поэтому
0
kt m
υ = e−
υ
.
0
Но задача еще не решена. Вспоминаем, что скорость – это производная
координаты
dx
− kt m
= υ e
.
dt
0
Вновь обращаемся с dt, как с алгебраической величиной
dx = υ e− kt mdt .
0
Интегрируем полученное соотношение
∫ dx =
,
0 ∫ −
υ e kt mdt
m υ
x = −
0 e− kt m + C .
k
Поскольку в начальный момент времени t = 0 координата x = x 0, то
m υ
C = x
0
+
.
0
k
Окончательно
m υ0
x =
(1− e− kt m)+ x .
0
k
m υ
Интересно, что при t → ∞ получаем x = x 0
+
. Таким образом, до полной
0
k
m υ
остановки тело пройдет конечное расстояние
0 .
k
Итак, в процедуре решения на «физическом» уровне дифференциальных
110
уравнений (по крайней мере простых) нет ничего столь уж хитрого. В то же время, из-за их слабого «представительства» в школьном курсе больше всего страдает теория
колебаний, которая основана именно на общности дифференциальных уравнений
колебательных процессов различной природы. Поэтому теория колебаний то
появляется в механике, конечно, без дифференциальных уравнений, то исчезает из
этого раздела. В лучшем случае дело ограничиваются несколько загадочными
разговорами об аналогии между маятником и колебательным контуром. Но без
дифференциальных уравнений эту аналогию на самом деле понять достаточно глубоко
очень трудно.
Задачи
1. Лодка тормозится под действием силы, пропорциональной ее скорости. За 4
секунды скорость упала с 2 м/с до 1 м/с. Какое расстояние прошла при этом
лодка?
2. Решите задачу из текста, в предположении, что сила сопротивления
пропорциональна квадрату скорости модели.
3. В дне цилиндрического сосуда радиуса R имеется небольшое отверстие радиуса
r. Начальный уровень воды в сосуде H. Установите закон, по которому
изменяется во времени высота воды в сосуде. Через какое время вытечет вся
вода? Сделайте численную оценку для случая R=5см, r=2мм, H=20см. По какому
закону изменяется скорость вытекающей струи? Считайте, что скорость
вытекания определяется формулой Торичелли v = 2 gh , где h – уровень воды в
сосуде.
4. Вода вытекает через маленькое отверстие площади S из сосуда, имеющего форму
перевернутого конуса высоты H с углом при вершине α. Первоначально сосуд
полностью заполнен водой. Через какое время из сосуда вытечет вся вода?
5. Маленький шарик массы m и радиуса r отпущен без начальной скорости в среде с
коэффициентом вязкости η и плотностью ρ. Ускорение силы тяжести g.
Определите закон движения шарика, считая, что сопротивление среды
описывается формулой Стокса. Силой Архимеда пренебречь. Определите
предельную скорость падения шарика. Оцените время, за которое шарик
достигнет этой скорости и расстояние, которое он при этом пройдет. Выполните
численные оценки для глицерина и стального шарика радиуса r=1мм. Какой
высоты надо взять сосуд, чтобы можно было наблюдать падение шарика с
постоянной скоростью?
111
6. С поверхности планеты массы M и радиуса R вертикально вверх брошено тело с
начальной скоростью v 0. Определите зависимость высоты подъема от времени.
Покажите, что при небольшом значении начальной скорости получается обычная
формула для движения в поле силы тяжести. Уточните понятие «небольшое
значение скорости». Атмосфера отсутствует.
7. Резиновый шнур имеет длину в недеформированном состоянии l и
характеризуется коэффициентом жесткости k. На какую длину растянется шнур
под действием собственного веса, если его подвесить за один из концов? Масса
шнура M.
8. Используя первое начало термодинамики, получите дифференциальное
уравнение для давления идеального газа в адиабатическом процессе.
Теплоемкость газа при постоянном объеме равна C V . Решив это уравнение, получите зависимость давления от объема, характерную для адиабатического
процесса.
9. Давление P в изотермической атмосфере как функция высоты описывается
дифференциальным уравнением dP/dx=–( µg/RT) P. Известно, что давление на
высоте H равно PH . Чему равно давление на поверхности планеты?
10. Температура воздуха T изменяется с высотой h по линейному закону T=T0+ah.
По какому закону изменяется давление воздуха? Воздух считайте идеальным
газом с молярной массой µ.
11. В межзвездном пространстве летит тело. Определите закон изменения
температуры тела во времени. Начальная температура тела T0, теплоемкость тела
C, площадь поверхности S. Считайте, что остывание тела происходит за счет
теплового излучения.
12. Остывание тела за счет теплопроводности описывается дифференциальным
уравнением T'=– α( T-T с). Здесь T – температура тела, Tс – температура
окружающей среды. Получите закон изменения температуры со временем и
постройте соответствующие графики. Какие две различные физические ситуации
описывает полученное соотношение?
13. Конденсатор емкости C замкнут на резистор с сопротивлением R. В начальный
момент времени ток в цепи равен I0 . Определите закон изменения заряда на
обкладках конденсатора. За какое время величина тока упадет в 2 раза?
14. Конденсатор емкости C замкнут на элемент, вольтамперная характеристика
которого дается следующим соотношением: I=a( e bU–1), где a и b -
положительные коэффициенты. Начальное напряжение на конденсаторе равно
112
U0. Определите закон изменения напряжения на конденсаторе от времени.
15. Маятник в виде массивного шарика на невесомом стержне отклонили на малый
угол α0 от неустойчивого положения равновесия и отпустили без начальной
скорости. Определите закон изменения угла α в случае, когда он остается малым.
Сформулируйте ограничение на время движения, при выполнении которого угол
остается малым. Оцените это время для α0=1˚ и l=1м.
7. Математический кругозор
Наряду с твердым знанием и умением пользоваться целым рядом разделов
математики, очень важно иметь и определенный математический кругозор. То есть
иметь, хотя бы на очень популярном уровне, представление о достижениях многих
поколений математиков. Мне кажется, что в физико-математическом лицее
обязательно должен быть курс на эту тему, который вел бы либо математик, умеющий
понятно объяснять, опираясь на интуицию (которая, по мнению выдающегося
математика Владимира Игоревича Арнольда, играет не последнюю роль в математике), либо физик, обладающий склонностью к математическому мышлению и увлеченный
математикой. Читателям же для расширения математического кругозора рекомендуем
Интернет и библиотеки. Итак, используя возможности сети Интернет и библиотек, попробуйте ответить на следующие вопросы.
Задачи
1. Что такое лист Мебиуса?
2. Что такое бутылка Клейна?
3. Как выполнить трехмерную развертку четырехмерного куба?.
4. Так доказали или нет Великую теорему Ферма?
5. Что такое теоремы Геделя?
6. Что такое проблемы Гильберта?
7. Какой математический смысл в терминах «косы»?
8. Какой смысл в математике придают слову «сборка»?
113
Часть IV
НЕЛИНЕЙНЫЙ МИНИМУМ
…Что там у Вас в физике новенького?
Из кинофильма
Эта часть книжки несколько отличается от остальных. Ее цель состоит в том, чтобы ввести школьника в круг и вопросов, которые актуальны сейчас. Ведь школьная
физика – это очень интересно, но, как правило, это «дела давно минувших дней».
Приобщиться к современной физике очень непросто. Обычно это возможно на старших
курсах вуза, когда освоен определенный объем знаний и навыков. Однако в конце ХХ
века появилась наука, новые идеи которой доступны и школьнику. Более, того широкое
внедрение компьютеров и, что особенно важно, их постоянное совершенствование
позволяют даже школьникам, ну если не получать новые результаты, то по крайней
мере чувствовать себя сопричастными к современным исследованиям. Содержание
этого раздела представляет своего рода минимум знаний и навыков, который позволяет
ориентироваться в мире нелинейной динамики.
1. Нелинейный мир
Успехи механики в XVII-XIX веках были столь впечатляющими, что стало
казаться возможным представить себе всю Вселенную как гигантскую динамическую
систему. Эту позицию четко сформулировал Лаплас: «Состояние системы природы в
настоящем есть, очевидно, следствие того, каким оно было в предыдущий момент, и, если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между
объектами Вселенной, то он сможет установить соответствующие положения, движения и общие воздействия этик объектов в любое время в прошлом или будущем»
(1776 г.). Эта доктрина, получившая название лапласовского детерминизма, выразила в
концентрированном виде идеал научного познания, каким он виделся в те времена.
Понадобился длительный путь развития науки и научного мировоззрения
(термодинамика и статистическая физика, квантовая механика), чтобы убедиться в
несостоятельности такого представления о мире. И все же лапласовский детерминизм
совсем недавно казался незыблемым для простых моделей типа осциллятора.
Конец XX века привнес ощущение научной революции, сравнимой с
возникновением собственно научного метода в эпоху Галилея. В центре внимания
исследователей вновь оказались самые фундаментальные свойства окружающего мира: эволюция систем во времени и геометрия природы. Однако характер интереса к этим
114
понятиям изменился. Картина мира стала переосмысляться, наполняясь новыми
образами (катастрофы, бифуркации, хаос, фракталы). Весьма характерны в этом
смысле слова нобелевского лауреата И. Пригожина: «Если в физике и химии где-то и
существует простота, то заведомо не в микроскопических моделях. Она скорее кроется
в идеализированных макроскопических представлениях, например, о простых
движениях типа гармонического осциллятора». Модели в виде осцилляторов, различных одномерных отображений и другие оказались во многом центральными
объектами интенсивно развивающихся синтетических научных дисциплин, к которым
относятся теория колебаний, теория бифуркаций, теория динамических систем, теория
динамического хаоса.
В 1963 г. американский метеоролог Э. Лоренц опубликовал статью
«Детерминированное непериодическое течение», в которой обсуждались результаты
численного исследования достаточной простой системы дифференциальных
уравнений, моделирующих динамику жидкости при конвекции в подогреваемом снизу
слое. Лоренц подверг полученные результаты тщательному и глубокому обсуждению, акцентируя внимание на связь между сложным поведением системы и присущей ей
неустойчивостью. Позднее это свойство пропагандировалось им как «эффект бабочки»
(butterfly effect): в приложении к метеорологии взмах крыльев бабочки может через
достаточно время повлечь существенное изменение погоды. Таким образом, бывают
случаи, когда невозможно предсказать поведение даже простой системы.
К настоящему времени соответствующие представления развиты настолько
глубоко, что можно говорить о теории динамического хаоса – науке о
«непредсказуемом» поведении простых динамических систем. Цель этой части – дать
представление о порядке и хаосе, или, иными словами, ввести в основные понятия
нелинейной динамики. Нелинейная динамика описывает эволюцию во времени
нелинейных систем (например, математического маятника, когда угол его отклонения
уже нельзя считать малым, как это обычно предполагается в школьном курсе физики.) Поэтому на первый взгляд кажется, что в основе нелинейной динамики и учения о
динамическом хаосе должна лежать глубокая теория дифференциальных уравнений. К
счастью, оказывается, что это не совсем так. Существуют другие математические
объекты – разностные уравнения или отображения, которые демонстрируют все
основные феномены нелинейной динамики. Отображения гораздо проще для
исследования, да и компьютерного моделирования, так как на их изучения тратиться
радикально меньше компьютерного времени. Отображения лишь недавно стали
входить в «инструментарий» исследователей, и поэтому они не представлены в
115
школьном курсе физики. Как мы убедимся сейчас, на самом деле отображения очень
естественно могут появляться при решении даже простых физических задач.
2. Разностные уравнения или отображения на примере школьной задачи
Практически в любом сборнике олимпиадных задач по физике можно найти
задачу о бесконечной цепочке резисторов. Она формулируется так: чему равно
сопротивление цепочки резисторов, которая состоит из одинаковых звеньев (рис.82)?
Рис. 82
Сопротивления всех резисторов одинаковы, и мы будем полагать их равными
единице. Традиционное решение этой задачи основано на соображении о том, что
добавление еще одного звена к бесконечной системе не изменяет ее, т.е. данная схема
эквивалентна показанной на рисунке 83.
Рис. 83
В результате приходим к схеме, показанной на рисунке 84.
Рис. 84
Здесь x 0 – искомое сопротивление. Нетрудно получить, что
( x + ⋅
x +1
0
)1 1
x =
, или
0
x =
.
0
( x + +
0
x + 2
0
)1 1
0
Тогда
2
x + x −1 = 0 .
0
0
Отсюда следует ответ к задаче:
116
5 −1
x =
≈
.
618034
,
0
0
2
Описанный метод в журнале «Квант» в статье, посвященной методам вычисления
сопротивлений различных схем, назвали методом Иона Тихого – по имени известного
героя Станислава Лема, сумевшего разместить постояльца в полностью заполненной
гостинице с бесконечным числом номеров.
Такое решение, хотя и весьма изящно, но оставляет некоторое чувство
неудовлетворения, поскольку остаются открытыми некоторые вопросы. В первую
очередь: какое отношение к реальности имеет эта задача и это решение? Ведь реальная
цепочка будет содержать конечное число звеньев. Можно сформулировать вопрос так: если мы можем измерять сопротивление с заданной точностью, то сколько звеньев
должна содержать цепочка, чтобы считаться бесконечной? Кроме того, если вдуматься, то заранее не очевидно, что добавление новых звеньев в реальной конечной цепочке
будет приближать результат измерения сопротивления к значению x 0. Вдруг малые
погрешности, которые вносят реальные резисторы, будут вносить нарастающий вклад?
Ведь цепочка бесконечная!
Оказывается, на все эти вопросы можно ответить, привлекая изящный
математический аппарат разностных уравнений или отображений, являющийся
частью современной теории д инамических систем. Итак, обратимся к нашей схеме, отсчитаем конечное число звеньев n и n+1 от правого конца (рис.85).
Рис. 85
Из рисунка хорошо видно, что схема эквивалентна такой:
Рис. 86
Отсюда легко получаем
117
x +1
x
= N
.
N 1
+
x + 2
N
Это и есть простейший пример отображения. В общем, виде одномерное
отображение задается соотношением
x
= f x
N +
( ).
1
N
x +1
1
(В нашем случае f ( x) =
=1−
. ) Мы назвали отображение одномерным, x + 2
x + 2
поскольку в него входит одна переменна – x.
Дискретное отображение xn+1= f(xn) является, по-видимому, простейшим примером
динамической системы. Смысл этого термина раскрывается просто: отображение
xn+1= f(xn) по заданному начальному значению x 1 позволяет определить все
последующие значения переменной x 2, x 3 и т.д. Действительно: x 2= f(x1),
x 3= f(x2),
…
Свойства отображений удобно иллюстрировать на так называемой итерационной
диаграмме. Для ее построения надо, прежде всего, изобразить график функции f(x). В
нашем случае это перевернутая гипербола, смещенная влево на две единицы и на одну
единицу вверх (рис.87). (Заметим, что поскольку сопротивления положительны, то
смысл имеет лишь кусок графика в первой четверти.)
Рис. 87
На графике удобно изобразить еще и биссектрису. Задавшись теперь начальным
значением x 1, можно найти x 2= f(x1) по графику. Затем это значение переносится на
биссектрису
и
процедура
повторяется.
Возникает
своеобразная
лесенка,
иллюстрирующая ход итераций.
Как видно из графика, наше отображение имеет, как говорят, неподвижную
точку, т.е. такую, для которой x 0= f(x0). Она как раз соответствует решению задачи по
118
методу Иона Тихого.
По рисунку получается, что последовательные итерации сходятся к неподвижной
точке. Как это доказать более строго? Каков характер сходимости (быстрый, медленный)? На эти вопросы можно ответить в общей формулировке.
Для этого исследуем поведение системы в случае, когда значений переменной
близки к предельному значению x
~
0.
Положим поэтому x
= x + x и
N 1
+
0
N 1
+
x = x + x~ , где знаком «тильда» сверху обозначены малые добавки к x N
0
N
0. Тогда из
x
= f x
N +1
( N ) имеем
x + x~
= f x + x~ ≈ f x + f ′ x x~
⇒