0
N 1
+
( 0 N ) ( 0)
( 0) N
x~
= f ′ x x~
N 1
+
( 0) N
Таким образом, если имеется некоторая маленькая добавка к значению x 0, то
после первой итерации она умножается на постоянное число C= f ’(x0), после второй –
на C 2, после третьей – на C 3 и т.д. Это означает, что переменная x приближается к
неподвижной точке по закону геометрической прогрессии с показателем C. Отметим, что наше рассмотрение на итерационной диаграмме соответствует тому, что мы
аппроксимируем f(x) касательной (вспомните геометрический смысл производной!) в
окрестности x 0 Соответствующая итерационная диаграмма и дает геометрическую
прогрессию (рис.88).
Рис. 88
Теперь по свойству геометрической прогрессии автоматически получаем, что если
• f (′ x ) < 1, то итерации сходятся; 0
• f (′ x ) > 1, то итерации расходятся.
0
Это, как говорят, позволяет судить об устойчивости неподвижной точки.
В первом случае неподвижную точку называют устойчивой, а во втором –
неустойчивой.
Сходящийся процесс мы уже изобразили на итерационной диаграмме, а
119
расходящийся может выглядеть так (рис.89):
Рис. 89
Вернемся от отображения общего вида к нашему случаю. Тогда
f ( x)
1
=1−
f (′ x =
=
≈
.
0 )
1
4
2 + x
(2+ x )2
0
(
2
5 + )
145900
,
0
3
Итак, как мы видим C=0.145900. Это означает, что итерации сходятся, причем
поскольку f ’(x0) мало, значит, сходятся очень быстро. В этом убеждаемся, итерируя
x +1
соотношение x
= N
. Результат представлен в следующей таблице.
N 1
+
x + 2
N
Число звеньев
в цепочке, N
xN
%
1 x1=1
2
x2=2/3≈0,666667
7,86
3
x3=5/8≈0,625000
1,12
4
x4=13/21≈0,619048
0,16
5
x5=34/55≈0,618182
0,02
… …
…
5 − 1
x
≈ ,
0
∞
0=
618034
2
0
Мы убеждаемся, что увеличение числа звеньев действительно приводит в
неподвижную точку. Из таблицы видно, что, оказывается, цепочку всего из трех
звеньев можно считать бесконечной с точностью до 1%, а из пяти – уже с точностью
всего 0,02%!
Устойчивость неподвижной точки этого отображения снимает и еще один
физический вопрос: о том, не «испортят» ли возможные дефекты в цепочке результат
нашего решения. Продумайте сами, почему это так и изобразите соответствующие
итерационные диаграммы.
120
Нам осталось сказать, что в силу большой важности величины f ’(x0) она носит
специальное название – мультипликатор, и обозначается обычно µ =f ’(x0).
Задачи
1. Шарик падает с некоторой высоты на горизонтальную поверхность. При каждом
ударе о поверхность шарик теряет долю скорости ε. Напишите отображение, задающие зависимость высоты ( n+ 1)-го подскока от n-го. Какую
последовательность образуют высоты подскоков?
2. Что будет, если в задаче о цепочке сопротивлений начальное (крайнее правое) сопротивление равно 100, а остальные – по-прежнему равны 1?
3. В задаче из раздела «числовые последовательности» говорилось, что
отображение xn+1= ( xn+ a/ xn)/2 можно использовать для вычисления квадратного
корня из числа a. Найдите первые пять членов последовательности xn, порождаемой этим отображением при a=2. Величину x 1 положите равной
единице. Проиллюстрируйте решение задачи с помощью итерационной
диаграммы. Покажите, что неподвижная точка этого отображения устойчива.
Можно ли использовать отображение xn+1= a/ xn? Почему?
4. Найдите неподвижные точки и исследуйте их устойчивость для отображения
x
3
n+1= ax n- bx n .
5. Как будет выглядеть итерационная диаграмма для отображения, дающего
арифметическую прогрессию?
6. Напишите программу, которая строит итерационные диаграммы одномерного
отображения для заданной функции f(x) и заданного начального значения x 1.
7. Изготовьте цепочку сопротивлений и проверьте в эксперименте данные таблицы
из текста. При использованной Вами точности приборов и изготовления
резисторов сколько элементов в цепочке будет достаточным?
3. Логистическое отображение и бифуркационные деревья
Могут ли отображения демонстрировать поведение более сложное, чем в
рассмотренной задаче о бесконечной цепочке сопротивлений? Ответ на этот вопрос
положительный. Оказывается, что для более сложной динамики достаточно, чтобы
функция f(x) имела квадратичный экстремум.
Простейшей функцией с квадратичным экстремумом является парабола, а
соответствующее отображение называют логистическим
x
= rx 1− x .
n+1
n (
n )
121
Изобразим график функции x
= rx 1− x , т.е. итерационную диаграмму
n+1
n (
n )
нашего отображения (рис.90).
Рис. 90
Хорошо видно, что отображение может иметь уже две неподвижных точки. Одна
из них имеет ординату x0=0. Исследуем устойчивость этой точки, для чего вычислим
соответствующую производную (мультипликатор):
f (′ x) = ( r − 2 rx)
= r .
x=0
При r >1 эта точка неустойчива. Изобразим динамику в этом случае на
итерационной диаграмме (рис.91).
Рис. 91
Можно заметить, что итерации вблизи начала координат идут по закону
геометрической прогрессии. Этот факт послужил основой для серьезного изучения
логистического отображения в популяционной биологии. Действительно, известно, что
при достаточном количестве пищи (параметр r) популяция (например, рыба в пруду) размножается по закону геометрической прогрессии. Для простоты будем считать, что
xn дает количество рыбы в пруду в n-ый год. Таким образом, начальное значение x1 -
это число рыб, выпущенных в пруд в первый год, x2 – количество рыбы на следующий
год и т.д.
Спрашивается, что будет с этой рыбой по истечении достаточно большого
122
времени? Сначала количество рыбы будет нарастать по геометрической прогрессии.
Ясно, однако, что если рыбы слишком много, то популяция перестает расти. Поэтому
график f(x) и имеет падающий участок.
Интуиция говорит о том, что количество рыбы в пруду сначала нарастает, а затем
стабилизируется. (Математики сказали бы, что последовательность xn имеет предел.) Наш график как будто подтверждает в этом интуицию (рис.92).
Рис. 92
Как можно видеть, есть еще одна неподвижная точка x ∗
0 , к которой сходятся
итерации.
∗
1
x = rx 1− x , x = 1− .
0
0 (
0 )
0
r
Это и будет установившееся количество рыбы в водоеме.
Однако, устойчива ли эта неподвижная точка? Найдем ее мультипликатор
∗
∗
⎛
1 ⎞
µ = f (′ x
.
0 ) = r − 2 rx
= r − 2 r
0
⎜1− ⎟ = 2 − r
⎝
r ⎠
Если r немного больше 1, то да; точка устойчива, но при r >3 получаем, что
мультипликатор µ= f (′ ∗
x ) >1, а значит «стабильное» состояние популяции оказывается
0
неустойчивым (рис.93)!
123
Рис. 93
А какой же режим рождается при r=3? Используя итерационную диаграмму, можно предположить, что это будет ситуация типа показанной на рисунке 94.
Рис.94
Говорят, что в этом случае отображение имеет 2-цикл. Можно легко получить
явное выражение для его элементов из следующего условия:
⎧ f ( x
x
x
rx 1 x
2 ) =
1
⎧ =
1
2 ( −
2 )
⎨
.
⎩ f ( x
x
x
rx 1 x
1 )
⇒ ⎨
= 2
⎩ =
2
1( − 1 )
Сложим друг с другом оба уравнения системы, а затем вычтем из первого
уравнения второе. В итоге получаем:
⎧ x − x =
1 r
x
x r x
x
r
1
2
( −
1
2 )[ (
+
1
2 ) −
]
⎧
+
x + x =
⎪
⎪⎪ 1
2
r
(
⎨
.
x +
r 1
x
2 x x
x
x
1 r
1
2 )2 −
=
1 2
( +
1
2 )⎛
− ⎞ ⇒ ⎨
⎪
⎜
⎟
⎪
+
⎩
⎝ r ⎠
⎪ x x =
⎩ 1 2
2
r
Используя теорему Виета, можем записать уравнение для поиска элементов 2-цикла:
+ r
+
2
1
1
x −
+
r
x
= 0 .
2
r
r
124
Решая это квадратное уравнение, получаем: 1+ r ± ( r − )
3 ( r + )
1
x =
.
,
1 2
2 r
Из этой формулы, кстати, хорошо видно, что 2-цикл рождается при r=3, а при r<3
его существование невозможно, так как под корнем стоит отрицательное число.
Итак, если пищи слишком мало, то первые поколения нарастают очень быстро по
численности, а затем стационарная численность рыбы не устанавливается, а она
начинает меняться периодически от года к году: x1, x2, x1, x2 и т.д. Это очень важный
результат с точки зрения динамики популяции.
Ну, а если еще больше увеличить r? Аналитически можно показать, что
существует значение параметра, при котором станет неустойчивым и 2-цикл.
Действительно, для элемента 2-цикла можно написать соотношение
x = f x = f f x .
1
( 2) ( ( 1)
Таким образом, элемент 2-цикла есть неподвижная точка двукратно
проитерированного отображения. Этот факт позволяет легко определить устойчивость
цикла, поскольку тогда можно применить полученный ранее способ анализа
устойчивости неподвижной точки. При этом только надо использовать правило
дифференцирования сложной функции. Итак
µ [
′
= f ( f ( x
= f ′ f x f ′ x = f ′ x f ′ x .
1 ) ]
( ( 1) ( 1)
( 2) ( 1)
В нашем случае f (′ x) = r − 2 rx и легко получаем
2
µ = r (1− 2 x
− x = r
− x + x + x x =
1 )(1
2 )
2
2
[1 (2 1 2) 4 1 2]
+ r
+
2 ⎡
1
1 r ⎤
= r 1− 2
+ 4
2
= − r + 2 r + 4
⎢
2 ⎥
⎣
r
r ⎦
Таким образом, при r=1+ 6 = ,
3 449 мультипликатор обращается в –1, и 2-цикл
становится неустойчивым! Какой режим при этом рождается? Точка x 1 «удвоится» –
расщепится на две. То же самое произойдет с точкой x 2. Значит, у нового движения
будет четыре элемента, т.е. реализуется 4-цикл.
Что будет, если еще больше увеличить параметр, можно установить уже только
при помощи компьютерного моделирования.
Для этого, прежде всего, естественно использовать программу построения
итерационных диаграмм. Итак, приступаем к компьютерному моделированию. Сначала
убедимся, что в интервале 3< r<3,449 действительно рождается 2-цикл. Затем чуть-чуть
увеличим параметр r>3,449 и убедимся, что рождается 4-цикл. Далее будем брать
другие значения параметра и смотреть, что получится.
125
На рисунке 95 показаны некоторые типы итерационных диаграмм, которые
возможны для отображения, заданного квадратичной параболой. Мы здесь
использовали другое представление параболического отображения
2
x
= 1− λ x ,
n 1
+
n
которое более удобно в ряде отношений.
Рис. 95
Мы видим, что 4-цикл превращается в циклы периода 8, 16 и т.д., затем возникает
сложный, неповторяющийся процесс. Эти режимы называют динамическим хаосом.
Что это означает на языке динамики популяции? Пусть мы запустили рыбу в пруд и
подкармливаем рыбу, чтобы иметь большой улов. Если пищи немного, то численность
популяции станет стабильной. Если пищи увеличить, то возможны колебания
численности рыбы год от года – в одном году рыбы много, а на будущий год - мало.
Если же количество пищи перейдет через некоторое пороговое значение, то
численность рыбы начнет хаотически, непредсказуемо меняться год от года! Весьма
неожиданный и нетривиальный результат. Ясно, что сама возможность такого
поведения в предельно простых и предсказуемых системах является важным
открытием. О его нетривиальности говорит тот факт, что возможность такого
динамического хаоса была осознана только в конце двадцатого века!
Вернемся к нашим диаграммам. Можно видеть, что с ростом параметра
возникают сложные циклы периодов 6, 4, 3 и т.д., чередующиеся с областями
непериодического поведения.
Еще одна эффектная иллюстрация сложного поведения квадратичного
отображения – бифуркационное дерево (или, как иногда говорят, дерево Фейгенбаума
126
по имени американского физика, установившего многие интересные законы динамики
отображений). Бифуркационное дерево дает зависимость установившихся значений
переменной x от параметра. Наше аналитическое рассмотрение позволяет нарисовать
начальный участок дерева (рис. 96).
Рис. 96
Это неустойчивая неподвижная точка и рождающийся 2-цикл. В последнем
случае переменная последовательно посещает две ветви дерева. Такую ситуацию
называют бифуркацией удвоения периода. Полное дерево (для всех значений
параметра) можно построить с помощью компьютера. Для этого надо задать некоторое
начальное значение переменной и параметра. Затем выполнить несколько сот итераций
отображения, чтобы исключить переходные процессы и реализовать установившийся
режим, и вывести некоторое количество точек на экран дисплея. Затем процедуру
повторить для слегка измененного количества параметра. (Рекомендуем в качестве
нового начального значения переменной использовать то, что получилось на
предыдущем шаге процедуры.) И далее все повторить для всего диапазона
управляющего параметра. В результате получится картинка, показанная на рисунке 97.
Рис. 97
На бифуркационном дереве хорошо видны моменты удвоений периода, когда
дерево расщепляется на две ветви, хаотический режим и различные окна
127
периодических режимов в хаосе.
Одно из удивительных открытий американского физика Фейгенбаума состояло в
том, что аналогичное поведение демонстрирует не только это, но и другие
отображения, моделирующие математические, физические, химические и даже
социальные системы. Он сумел обосновать этот факт теоретически. Еще более
удивительно, что и системы в виде дифференциальных уравнений тоже демонстрируют
такое поведение – переход к хаосу через удвоения периода. При этом законы такого
перехода, открытые Фейгенбаумом, универсальны – т.е. одинаковы для всех систем.
Можно сказать, что возникновение хаоса в результате каскада удвоений периода – это
одна из фундаментальных закономерностей природы.
Задачи
1. Покажите, что отображение x
= rx 1− x заменой переменных приводится к
n+1
n (
n )
виду
2
x
= 1− λ x . Проведите исследование неподвижных точек и 2-циклов
n 1
+
n
логистического отображения в форме
2
x
= 1− λ x аналогично тому, как это
n 1
+
n
сделано в тексте.
2. Найдите значения параметра λ, отвечающее сверхустойчивому 2-циклу, характеризующимся равным нулю мультипликатором.
3. Реализуйте программу, которая строит бифуркационное дерево для
логистического отображения. Укажите значения параметров, когда реализуются
2-цикл, 3-цикл, 4-циклы (их несколько!), 5-циклы.
4. Постройте итерационные диаграммы логистического отображения, дающие
характерные циклы и хаотические режимы.
5. Постройте бифуркационное дерево для отображения xn+1=λcos xn. Сравните с
деревом логистического отображения.
6. Создайте программу, которая при щелчке мышью на бифуркационном дереве в
отдельном окне строит итерационную диаграмму.
4. Прыгающий шарик
Рассмотренные нами примеры были одномерными отображениями, поскольку
характеризовались единственной переменной x. Теперь мы рассмотрим пример
системы, которая характеризуется уже двумя измерениями.
При решении задачи 1 из раздела «Дискретные отображения на примере
школьной задачи» вы познакомились еще с одной системой, демонстрирующей, наряду
128
с логистическим отображением, геометрическую прогрессию. Вы показали, что высота
подскока шарика, отпущенного над горизонтальной поверхностью, дается
соотношением
h
= − ε h
n 1
+
(1 )2 , n
где ε - доля теряемой при ударе скорости. Правда, это убывающая прогрессия, так как
(1-ε)<1. А нельзя ли превратить эту систему в систему со сложной динамикой? Для
этого надо как-то поддержать колебания шарика. Простейшее решение состоит в том, чтобы заставить поверхность вибрировать, например, по гармоническому закону
(рис.98):
Рис. 98
Тогда «стол» может двигаться навстречу шарику, сообщать энергию и
поддерживать колебания. Для такой системы довольно просто построить дискретное
отображение. Прежде всего договоримся о выборе дискретных переменных. В отличие
от логистического отображения их будет две: скорость шарика перед n-ым ударом υ n и
момент его удара tn.
Сделаем одно очень существенное предположение – будем пренебрегать
смещением стола в момент удара. (Этот можно сделать, если скорость шарика
достаточно велика по сравнению со скоростью плиты.) Тогда движение шарика на
плоскости t, y выглядит так, как показано на рисунке 99.
129
Рис. 99
Итак, скорость шарика перед ударом υ n. Пусть скорость стола зависит от времени
по закону
υ( t) = V sin t
ω .
0
Тогда перед ударом его скорость есть υ = V sin t ω . Перейдем в систему отсчета,
0
n
связанную со столом. В этой системе отсчета шарик налетает со скоростью
υ + V sin t
ω .
n
0
n
При ударе по условию теряется доля скорости ε. Тогда в этой системе отсчета
скорость шара после удара
(1−ε )(υ + V sin t
ω .
n
0
n )
Вернемся в исходную систему отсчета, для чего добавим к найденному значению
скорости скорость стола. Тогда шарик отлетает от плиты со скоростью
(1−ε )(υ + V sin t
ω + V sin t
ω .
n
0
n )
0
n
Ясно, что, подпрыгнув с этой скоростью в отсутствии сопротивления воздуха, он
с ней же упадет на стол. Но это уже будет скорость перед ( n+1)-ым ударом. Таким
образом
υ = 1− ε υ + V 2 − ε sinω t .
n 1
+
(
) n 0(
)
n
Время свободного полета шарика τ = 2υ
g . Тогда очевидно
n 1
+
2υ n 1
t
= t
+
+
.
n 1
+
n
g
Мы получили искомое двумерное отображение. Его можно несколько упростить, приведя к безразмерному виду. Для этого положим ϕ n= ω tn.
Тогда
υ = − ε υ + V
− ε
ϕ
n 1
+
(1 ) n 0(2 )sin , n
2ω
ϕ
= ϕ +
υ .
n 1
+
n
n 1
+
g
ω
2
Полагая V =
υ , получим
g
V
= − ε V + k
ϕ
ϕ
π
n 1
+
(1 )
sin
n
n
( , mod2
n
),
ϕ = ϕ + V .
n 1
+
n
n 1
+
(
2 2 − ε ) V ω
Здесь k
0
=
.
g
Итак, в безразмерном виде наше отображение характеризуется двумя
130
параметрами: ε - параметр диссипации и k – безразмерная амплитуда колебаний стола.
В наше соотношение мы добавили символы (ϕ , mod π
2 . Это означает, что мы
n
)
берем не само значение фазы ϕ n, а добавку к 2π n, где n – целое. Такое дополнение
естественно, так как синус - 2π-периодическая функция, а ϕ n будет меняться в
ограниченном интервале от 0 до 2π.
Убедимся, что наше предположение о том, что вибрации стола поддержат
колебания шарика, верно. Найдем неподвижную точку отображения
V = (1− ε ) V + k sinϕ,
ϕ = ϕ + V − 2π .
n
Отсюда
V = 2π ,
n
2π ε
n
= sinϕ.
k
Это уравнение имеет два решения
n
π ε
ϕ
2
= ± arcsin
k
при условии 2 n
π ε < k. Можно показать, что одна из этих точек устойчива, а другая –
нет. (Вообще, устойчивые и неустойчивые точки рождаются парами.) Таким образом, если безразмерная амплитуда k > πε
2
, то в системе возможна неподвижная точка,
которой отвечают подскоки на одинаковую высоту (рис.99).
Мы можем легко найти высоты подскоков в этой точке
2
2
2
2
υ
m
mg
mg π
1
2
h
n
=
+ =
V =
.
2
8 2
ω
2 2
ω
Будем теперь увеличивать амплитуду колебаний стола k. Обратимся к
компьютерному моделированию. На рисунке 100 показано бифуркационное дерево, дающее зависимость установившейся скорости V от амплитуды k при фиксированном
значении ε=0,9.
131
Рис. 100
Можно видеть, что в системе имеет место бифуркации удвоения периода. Нам
остается добавить, что наша практически школьная задача на самом деле является
одной из серьезных моделей нелинейной динамики. Ее ввел российский физик
Заславский, как некоторую модель астрофизики ускорения космических частиц
гравитационными полями звезд. Однако она получила популярность скорее как именно
как модель шарика, прыгающего на столе. Ее реализовывали и экспериментально, для
чего в качестве вибрирующего стола использовали диффузор громкоговорителя
(рис.101)
Рис. 101
В эксперименте наблюдались и удвоения периода и хаотические колебания.
Задачи
1. Постройте бифуркационное дерево в задаче о прыгающем шарике для ε=0,3, ε=0,5 и ε=0,9.
132
2. Изобразите качественно график y= y( t), подобный рис.3, для случая удвоенного
периода колебаний.
3. Напишите программу, которая строит график y( t). Рассмотрите случаи 2-цикла, 4-цикла, хаоса, и другие возможные варианты.
4. Обсудите применимость сделанного приближения о пренебрежении смещением
плиты. Когда оно будет справедливо?
5. Отображение Эно
Простейшим одномерным отображением со сложной динамикой является
логистическое отображение
x
= rx 1− x или
2
x
= 1− λ x ,
n+1
n (
n )
n 1
+
n
которое описывает, например, динамику популяции.
В предыдущем разделе на примере задачи о прыгающем шарике мы
познакомились с двумерными отображениями. Нельзя ли построить двумерное
обобщение логистического отображения? Оказывается, можно. При введении
одномерного отображения мы предполагали, что численность популяции в ( n+1)-ый
год зависит лишь от численности в n-ый год. Предположим теперь, что память
“глубже” – численность в ( n+1)-ый год зависит и от численности в ( n-1)-ом году. Эта
зависимость должна быть слабой. Поэтому будем полагать ее линейной. Тогда
x
= rx 1− x − bx ,
n 1
+
n (
n )
n 1
−
где b – некоторый новый коэффициент.
Введем теперь обозначение yn+1 = xn. Тогда
x
= rx 1− x − by
n+1
n (
n )
n .
y
= x
n+1
n
Это и есть искомое двумерное отображение. Если использовать другое
представление для квадратичной функции, то это отображение можно записать в виде
x
= 1− λ x 2 − by
n+1
n
n .
y
= x
n+1
n
Такое отображение впервые предложил французский астрофизик Мишель Эно, и
оно носит его имя. (Эно не использовал биологическую интерпретацию, а исходил из
другой мотивации – искал простейшие двумерные квадратичные отображения со
сложной динамикой.)
Интересно, что отображение Эно можно получить и для простой физической
системы.
133
Пусть в воде плавает лодка массы m, на которой установлен двигатель, включающийся периодически с периодом T на очень короткое время (рис.102). Пусть
за это время лодка получает импульс P. Будем считать, что сила сопротивления
пропорциональна скорости с коэффициентом k.
Рис. 102
В промежутке между моментами работы двигателя лодка движется свободно. Мы
уже решали такую задачу в третьей части книжки. Поэтому теперь без труда
воспользуемся готовым решением:
V m ⎛
− k t ⎞
0
x = x +
1− m
e
.
0
⎜⎜
⎟⎟
k ⎝
⎠
Перейдем теперь к конструированию отображения.
Первый важный шаг при построении отображений – это выбор переменных. В
нашем случае решение задачи «подсказывает», что удобно использовать значение
координаты xn и Vn непосредственно перед включением двигателя.
Двигатель работает очень короткое время и по условию сообщает лодке
дополнительный импульс P. Тогда координата лодки сразу после действия двигателя
не успевает измениться, а скорость получает добавку P/m: x = x , V = V + P m.
n
n
Далее лодка движется свободно и можно применить наше решение, используя
найденные координату и скорость как начальные значения
x = x , V = V + P m.
0
n
0
n
Тогда через время T получим
k
⎛
−
⎞
x( T )
T
m
= x +
1
m
P
− e
V +
n
( n
),
⎜⎜
⎟⎟
m
k ⎝
⎠
k
−
V ( T ) = (
P
V +
e
n
) Tm.
m
Но это значения координаты и скорости непосредственно перед ( n+1)-ым
импульсом! По нашему определению – xn+1 и Vn+1. Тогда
134
k
⎛
− T
m
⎞
x
= x +
1
m
P
− e
V +
n 1
+
n
( n
),
⎜⎜
⎟⎟
m
k ⎝
⎠
k
− T
P
m
V
= V +
e
n 1
+
( n
) .
m
Итак, мы получили дискретное отображение для двух переменных xn и Vn, как
говорят, двумерное отображение.
Найденное нами отображение линейно и поэтому демонстрирует очень простую
динамику. Представим себе, однако, что задача поставлена несколько иначе. Пусть на
лодке укреплен магнит, а импульсы она получает от внешнего магнитного поля, включаемого на короткое время (рис.103).
Рис. 103
В этом случае магнитное поле будет разным в разных точках и поэтому P= P( x), где функция P( x) характеризует распределение этого поля.
Тогда получим
k
⎛
− T
m
⎛
⎞
P x
m
(
⎞
n )
x
= x +
1− e
⎜ V +
,
n 1
+
n
n
⎜⎜
⎟⎟
m⎟
k
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
P( x
−
⎞
n )
k T
m
V
= ⎜ V +
⎟ e
.
n 1
+
n
m
⎝
⎠
Или, что то же самое:
k
⎛
T
m
⎞
x
= x −
1
m
− e
V ,
n 1
+
n
n 1
k
+
⎜⎜
⎟⎟
⎝
⎠
⎛
P( x
−
⎞
n )
k T
m
V
= ⎜ V +
⎟ e
.
n 1
+
n
m
⎝
⎠
Из первого уравнения видно, что удобно ввести замену переменной
m
k
⎛
T ⎞
y = x +
1− em V.
k ⎜⎜
⎟⎟
⎝
⎠
Действительно, тогда yn+1= xn. В свою очередь
P( x
m
x
y
n ) ⎛
− k
⎞
⎛
− k
T
T ⎞
−
x
= x +
1− m
e
+
1− m
n
n
e
n 1
+
n
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
k ⎝
⎠ k ⎝
⎠ k T
m
e
−1
или
135
k
− T
P x
x
= f x − by где
m
b = e
и f ( x) = x(1+ b)
( )
+
(1− b).
n+
( n)
,
1
n
k
Мы получили искомое двумерное отображение
x
= f x − by
n 1
+
( n)
n
y
= x .
n 1
+
n
Ясно, что нужно как-то конкретизировать функцию f( x). Простейшее
предположение состоит в том, что это квадратичная функция f ( x) 2
= 1 − x
λ . Тогда
x
= 1
2
− λ x − by
n 1
+
n
n
y
= x .
n 1
+
n
Мы пришли к отображению Эно.
Обсудим теперь кратко некоторые свойства этого отображения. Отображение Эно
при b=0 превращается в логистическое отображение. Поэтому для него естественно
ожидать аналогичного поведения.
Найдем, прежде всего, неподвижную точку:
x = 1
2
− λ x − by
0
0
0
y = x .
0
0
Тогда
2
λ x + + b x − =
0
(1 )
1
.
0 Откуда
0
− (1+ b)± (1+ )2 + 4λ
x =
b
.
0
2λ
Неподвижных точек две, как и у логистического отображения. Они существуют
при условии:
(1+ )2
b
λ > −
.
4
Найдем теперь 2-цикл:
⎧ x = 1−
2
λ x − by
2
1
1
⎪⎪ y = x
⎨ 2
1
⎪ x = 1−
2
λ x − by
1
2
2
⎪⎩ y = x
1
2
Подставляя второе уравнение в третье и четвертое в первое, получаем
2
x = 1− λ x − bx
2
1
2 ,
2
x = 1− λ x − bx
1
2
1
или
(1+ b)
2
x = 1− x
λ
2
1
(
.
1+ b)
2
x = 1− λ x
1
2
136
Складывая и вычитая эти уравнения, получим
(1+ b)( x + x = − λ x + x − x x 1
2 )
2
([ 1 2)2 2 1 2]
(
1+ b)( x − x = λ x − x x + x 2
1 )
([ 2 1)( 1 2)].
Если x ≠ x , то из второго уравнения следует, что
2
1
1+ b
x + x =
,
1
2
λ
а тогда из первого –
(1+ )2 − λ
x
=
b
x
.
1 2
2
λ
По теореме Виета элементы 2-цикла ищем из квадратного уравнения
1+ b
(1+ b)2 − λ
2
x −
x +
= .
0
2
λ
λ
Откуда
1+ b
1
3
x =
±
λ −
+ b
,
1 2
(1 )2.
2λ
λ
4
Таким образом, 2-цикл возможен при условии:
3
λ > (1+ )2
b .
4
При b=0 получаем λ=3/4=0,75 – значение, при котором неподвижная точка теряет
устойчивость и рождается 2-цикл. Естественно предположить, что аналогичная
ситуация имеет место и в отображении Эно, хотя доказать это значительно сложнее.
Мы этого делать не будем, а используем компьютерное моделирование.
На следующем рисунке показано бифуркационное дерево отображения Эно при
b=0,3 (рис.104). Можно видеть, что оно не только демонстрирует рождение
устойчивого 2-цикла из неподвижной точки, но и весь каскад бифуркаций удвоения
периода, хаос и окна периодичности в хаосе. Новым является то, что дерево иногда
скачком «разбухает». Такое явление в нелинейной динамике называют кризисом.
137
Рис. 104
Надо сказать, что мы описали лишь простейшие свойства отображения Эно. На
самом деле его динамика столь многообразна, что ему можно посвятить целую
монографию. Более того, многие современные исследователи по-прежнему используют
отображения Эно в своих работах.
Задачи
1. Нарисуйте на плоскости b, λ область существования устойчивой неподвижной
точки. Параметр –1< b<1.
2. Создайте программу, рисующую бифуркационное дерево для отображения Эно.
Постройте его для случаев b=0,3, b=0,6, b=0,9. Что происходит с деревом при
приближении b к единице?
6. Фазовое пространство и аттракторы
Как проследить за эволюцией динамической системы при заданных начальных
условиях? Для этого нужно «увидеть», что происходит с задающими динамическую
систему переменными x, y, ... в по мере эволюции во времени. Введем некоторое
пространство, по осям координат которого отложим эти переменные. Его принято
называть фазовым пространством. Фраза «задано начальное состояние динамической
системы», теперь означает, что задана точка в фазовом пространстве. «Включим»
время. Если система определена дискретным отображением, например, отображением
Эно или прыгающего шарика, то изображающая точка при каждой итерации будет
совершать «прыжки» в фазовом пространстве.
Динамическая система полностью задает закон эволюции во времени, однако, чтобы получить полную информацию о характере такой эволюции надо провести
исследование для различных начальных условий. Современные компьютеры делают
эту задачу не умозрительной, а вполне реальной и позволяют получать наглядные
геометрические образы такого процесса.
Итак, рассмотрим множество начальных состояний системы. В фазовом
пространстве в этом случае будем иметь уже не одну изображающую точку, а целое
облако. При «включении» времени они все двинутся по своим траекториям (в случае
дифференциальных уравнений), либо начнут совершать «прыжки» (в случае
дискретных отображений). При компьютерном моделировании разумно создать
мгновенные «снимки» облака через определенные промежутки времени (число
итераций). Тогда можно следить за эволюцией облака на экране дисплея.
138
Перейдем к компьютерному моделированию. В качестве исследуемой системы
выберем отображение Эно.
x
= 1− λ x 2 − by
n+1
n
n
y
= x
n+1
n
Здесь λ и b – параметры. На рисунке 105 показаны мгновенные «снимки» облака
изображающих точек на фазовой плоскости для отображения Эно, сделанные через
одну итерацию.
Рис. 105
Заметим, что при работе за компьютером весьма удобно и увлекательно
наблюдать эволюцию облака изображающих точек в режиме «компьютерной
мультипликации».
Наиболее существенный результат, который вытекает из компьютерного
моделирования (рис.105), состоит в том, что облако изображающих точек
«конденсируется» на некоторые предельные объекты. Их называют аттракторами (от
английского to attract – притягивать). Динамические системы, которые обладают
139
аттракторами, называют диссипативными.
Существование аттракторов приводит к весьма важным выводам о поведении
системы. В этом случае исследование установившихся режимов, т.е. режимов, которые
наблюдаются по истечении достаточно большого времени, эквивалентно изучению
геометрической структуры аттрактора. (Соответствующий подход в теории колебаний
был высказан А. А. Андроновым и лежит в основе понятий об автоколебаниях. За
примерами автоколебательных систем в реальной жизни далеко ходить не надо, например, часы – это автоколебательная система.)
Процесс «конденсации» изображающих точек на аттрактор занимает некоторое
время. Как видно из рисунке 105 в результате изображающие точки притягиваются к
некоторой сложной слоистой структуре. Если просмотреть с помощью компьютера как
«микроскопа» отдельные фрагменты такого аттрактора, то обнаруживается, что он весь
состоит из отдельных «нитей» и областей пустого пространства, причем каждая нить в
свою очередь имеет аналогичную тонкую структуру. Как говорят, аттрактор в этом
случае обладает фрактальными свойствами. Подобные аттракторы были обнаружены
в семидесятые годы нашего века и получили название странных. А колебательные
режимы, которым не отвечает определенный период, назвали динамическим хаосом.
Обнаружение динамического хаоса явилось своего рода революцией в науке, так как
оказалось, что простые предсказуемые системы могут демонстрировать в
установившимся режиме нерегулярную непериодическую динамику.
Итак, если исследуемая система диссипативна, то можно изучать лишь ее
аттракторы. Это упрощает компьютерное моделирование - не надо следить за всеми
изображающими точками. Достаточно выбрать одну из них, выполнить определенное
(не очень маленькое) число итераций, чтобы эта точка «вышла» на аттрактор, а затем
вывести ее движение на экран компьютера. Тогда мы и получим портрет аттрактора.
Задачи
1. Напишите программу, которая реализует конденсацию изображающих точек на
аттрактор Эно.
2. Напишите программу, которая строит на экране аттрактор отображения Эно.
(Для этого необходимо предварительно выполнить несколько сот итерация без
вывода на экран для выхода изображающей точки на аттрактор.
3. Найдите примеры значений параметров, которые отвечают устойчивой
неподвижной точке, циклу периода 2, циклу периода 4.
4. Создайте программу, которая позволяет просматривать фрагменты аттрактора с
140
некоторым увеличением. (Можно, например, с помощью мыши выделять
фрагмент аттрактора.) С ее помощью убедитесь, что аттрактор Эно обладает
фрактальной структурой.
5. Постройте на плоскости двух переменных аттрактор, отвечающий предельному
переходу от отображения Эно к логистическому отображению. Выберите
значения параметров, отвечающих как периодическим, так и хаотическим
режимам.
6. Пронаблюдайте конденсацию изображающих точек на аттрактор для
отображения прыгающего шарика.
7. Постройте примеры аттракторов для отображения прыгающего шарика.
Постарайтесь, чтобы Ваша коллекция была достаточно полной.
7. Карты динамических режимов
Иллюстрации в виде бифуркационных деревьев демонстрируют возможность
нетривиальной эволюции аттракторов и, соответственно, колебательных режимов
динамических систем при вариации одного параметра. Еще более удивительное
разнообразие режимов можно наблюдать, если система характеризуется двумя
параметрами. На первый взгляд кажется, что исследование такой системы требует
кропотливой работы, и это действительно так. Однако, сейчас в нелинейной динамике
стал популярным весьма простой, наглядный и информативный прием, который
позволяет быстро получать существенную информацию о системе. Продемонстрируем
его на примере кубического отображения
x =a-bx +x3 ,
n+1
n
n
Компьютерная «технология» двухпараметрического исследования состоит в
следующем. Выбираются какие-либо значения параметров a и b. Затем выполняется
несколько сотен итераций отображения, для того, чтобы система вышла на аттрактор, а
затем - еще несколько сотен итераций уже непосредственно на аттракторе. По мере
итераций на аттракторе производится сравнение начального значения со всеми
последующими. Если они совпадают с высокой (наперед заданной) точностью, то
число итераций принимается за период движения. На плоскости параметров (на экране
дисплея) точка отмечается некоторым цветом, причем цветовая палитра выбрана
заранее, так что движениям с определенными периодами отвечают определенные
цвета. После этого процедура повторяется при слегка измененных значениях
параметров, так что в конечном итоге выполняется полное «сканирование» плоскости
параметров. В результате плоскость оказывается окрашенной в разные цвета в
141
соответствии с периодом движения на аттракторе. Области хаоса (непериодические
режимы) также обозначаются специальным образом. По аналогии с географией такую
«раскрашенную» плоскость называют картой динамических режимов. На рисунке
106 показана карта динамических режимов кубического отображения.
Рис. 106
Как видим, столь простая модель демонстрирует очень большое разнообразие
режимов и бифуркаций. В нижней части рисунка видна граница между областями
устойчивости неподвижной точки и цикла периода 2, представляющая собой линию
бифуркации удвоения периода. Линий рождения 4-цикла в результате аналогичной
бифуркации уже две, причем область устойчивости 2-цикла имеет характерный вид с
уходящим «вверх» пересекающимися «отростками». Таким образом, область
устойчивости 2-цикла ограничена этими линиями удвоений, а также двумя линиями
складок (термин теории катастроф), образующими нижнюю границу «отростков».
Отметим, что линии складок продолжаются внутрь области устойчивости 2-цикла и
сходятся в точке, которую в теории катастроф называют точкой сборки ( a=0, b=2), которая, однако, на рисунке не видна. Описанная совокупность бифуркационных линий
демонстрирует весьма типичную структуру на картах, названную французским
специалистом в области нелинейной динамики К.Мира «crossroad area» – «перепутье».
На карте можно видеть две аналогичные конфигурации на базе 8-циклов. Самые
широкие окна устойчивости реализуются на основе 3-циклов, внутри них можно
идентифицировать конфигурации «crossroad area», отвечающие областям устойчивости
6-циклов и т. д.
Правда, карты динамических режимов обладают одним недостатком. Если
142
провести сканирование карты различными способами (например снизу вверх, или слева
направо), то отдельные фрагменты карт получаются отличающимися. Это связано со
свойством мультистабильности динамических систем. Оно состоит в том, что при
заданных значениях параметров могут сосуществовать одновременно несколько
(иногда мало, иногда много) аттракторов. Соответственно, в зависимости от начальных
условий траектория может выйти на тот или иной аттрактор. Поэтому, построив карту, полезно попробовать сделать тоже самое, но при других начальных условиях.
Полезным также является прием, когда, сделав маленький шаг по параметру, в качестве
начальной в фазовом пространстве берут точку аттрактора, получившегося на
предыдущем шаге. Иногда об этом способе говоря, что карту строят с наследованием
начальных условий.
Интересно, что карты режимов можно строить не только для отображений, но и
для дифференциальных систем, если использовать метод сечений Пуанкаре. Суть
метода состоит в том, что в фазовом пространстве выбирается некоторая поверхность.
После этого мы следим не за всей фазовой траекторией дифференциальной системы, а
лишь за точками ее пересечения с этой поверхностью. Таким образом, мы приходим к
дискретному отображению, которые исследовать уже умеем. Удивительно то, что
карты режимов дифференциальных систем оказываются очень похожими на карты
отображений и содержат элементы, совершенно аналогичные показанным на рисунке
106.
В современной нелинейной динамике достаточно много существенных для
теории (иногда говорят эталонных) динамических систем. Среди них и уже знакомое
Вам отображение Эно. Набор карт для них образует своеобразный атлас, с некоторыми
«страничками»
этого
атласа
можно
познакомиться
здесь
http://www.sgtnd.narod.ru/science/atlas/rus/index.htm .
Итак, большинство нелинейных систем характеризуются сложной топографией
карт динамических режимов. Степень сложности полученных изображений такова, что
их можно назвать «фрактальными пейзажами». Как правило, карты содержат детали, неоднократно повторяющиеся во все меньших и меньших масштабах. Можно
установить определенные законы самоподобия или, как говорят, скейлинга. Но это уже
отдельная тема.
Задачи
1. Создайте программу, которая строит карты динамических режимов одномерных
отображений. С ее помощью постройте карту кубического отображения.
2. Создайте программу, которая строит карты динамических режимов двумерных
143
отображений. С ее помощью постройте карты отображения Эно и отображения
прыгающего шарика.
3. Напишите программу, которая при щелчке мыши на карте строит портрет
аттрактора в соответствующей точке. С ее помощью пронаблюдайте эволюцию
аттракторов при путешествии по карте отображения Эно. Тоже самое для
отображения прыгающего шарика.
4. Модифицируйте предыдущую программу так, чтобы визуализировался не один
аттрактор, а одновременно все (или почти все) притягивающие множества, для
чего при щелчке мыши в избранной точке плоскости параметров используйте
конденсацию облака изображающих точек на фазовой плоскости. Дополните эту
программу анализом периода высвеченных аттракторов и обозначьте их
разными
цветами.
Продемонстрируйте
возможность
сосуществования
различных аттракторов в фиксированных точках плоскости параметров. Какие
области плоскости параметров отображения Эно и прыгающего шарика более
богаты мультистабильными состояниями?
144
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть I. Как работают и думают физики
1. Что такое физика?
2. Числа в физике.
3. Оценки физических величин.
4. Характерный размер.
5. Масштаб.
6. Точность в физике.
7. Зависимости физических величин. Функции и графики в физике.
8. Асимптотическое поведение зависимостей.
9. Измерения и эксперимент в физике.
10. Размерности физических величин.
11. Подобие - один из способов узнать зависимость физических величин.
12. Кое-что о формулах.
13. Рисунок к задаче.
14. Физические термины.
15. Справочник - помощник физика.
16. Научные журналы и библиотека.
17. Интернет
18. Обсуждаем проблему.
19. Сами формулируем задачу.
20. Заключительные задачи.
Часть II. О физической теории
1. Физическая модель.
2. Алгебра приближенных чисел.
3. Геометрия разных масштабов.
4. Два масштаба времени в одной задаче.
5. Уравнения в физике.
6. Качественная теория.
7. Критическое состояние.
8. «Эталонные задачи».
9. Исследовательские задачи
145
Часть III. Физики тоже любят математику
1. Числовые последовательности
2. Производная в математике и физике
3. Задачи на максимум и минимум
4. Экспонента
5. Интеграл
6. Дифференциальные уравнения
7. Математический кругозор
Часть IV. Нелинейный минимум.
1. Нелинейный мир
2. Отображения на примере школьной задачи
3. Логистическое отображение и бифуркационное дерево
4. Прыгающий шарик
5. Отображение Эно
6. Фазовое пространство и аттракторы
7. Карты динамических режимов
146