Итак, что мы имеем. Мы имеем какие-то объекты (в данном случае - куздры и бокры) и отношения между ними (в данном случае - отношение будлания). Относительно этих объектов и отношений нам не известно ничего, кроме некоторых их свойств, сформулированных в заявленных утверждениях, в данном случае - в утверждениях (1) - (4). Эти заявленные утверждения суть не что иное, как аксиомы (в данном случае - аксиомы куздроведения). Они используются для того, чтобы, принимая их в качестве истин, выводить из них теоремы, то есть дальнейшие утверждения о наших объектах и отношениях (одну теорему куздроведения мы доказали, другую предложили доказать читателю). Так строится любая аксиоматическая теория, в частности - геометрия. Ограничимся для простоты планиметрией, то есть геометрией плоскости, без выхода в трёхмерное пространство. Основные объекты планиметрии суть точки и прямые. Основных отношений четыре:
1. Отношение инцидентности между точками и прямыми: точка и прямая могут быть или не быть инцидентны друг другу. В школьной геометрии употребляется более приземлённая терминология: когда точка и прямая инцидентны, говорят “точка лежит на прямой” или же “прямая проходит через точку”.
2. Отношение ‘между’, связывающее тройки точек: из трёх точек одна может лежать или не лежать между двумя другими.
3-4. Отношение конгруэнтности отрезков и отношение конгруэнтности углов: два отрезка или два угла могут быть или не быть конгруэнтны друг другу. Когда-то в наших школах не боялись слова “конгруэнтны”; сейчас, к сожалению, там велено заменить это слово на слово “равны”. Почему “к сожалению”? А потому, что ведь имеется в виду отношение не между длинами отрезков или между величинами углов (и те, и другие действительно равны, если соответствующие отрезки или углы конгруэнтны), а между отрезками и между углами как геометрическими фигурами. А каждая сущность, геометрическая фигура в частности, может быть равна только самой себе.
Аксиоматическое построение геометрии не предполагает разъяснения того, чтбо такое точки, прямые и названные отношения. Вместо этого формулируются аксиомы, в которых указывается, каким законам подчиняются точки, прямые, инцидентность, отношение ‘между’, конгруэнтность отрезков и конгруэнтность углов. Из этих аксиом и выводятся теоремы геометрии. Говоря формально, аксиомы могут быть какими угодно, лишь бы они не противоречили друг другу. Но ежели мы желаем, чтобы теория описывала реальность, то, как уже отмечалось, и аксиомы, связывающие идеальные объекты и отношения теории, должны отражать свойства тех сущностей реального, физического мира, отражением каковых и служат указанные идеальные объекты и отношения, положенные в основу теории. В частности, отношение конгруэнтности геометрических фигур должно отражать возможность одной фигуры быть совмещённой с другой посредством перемещения.
На примере куздр, бокров и будлания мы попытались вкратце изложить суть аксиоматического метода. Несколько заключительных замечаний относительно этого примера. Заменим в вышеприведённых аксиомах (1) - (4) слово “куздра” на слово “точка”, слово “бокр” на слово “прямая”, слово “будлать” на выражение “лежать на”. Аксиома (4) превратится тогда в такое утверждение (!4): На каждой прямой лежат по меньшей мере две точки . Аналогично, аксиомы (1), (2) и (3) превратятся в утверждения (!1), (!2) и (!3), которые мы просим любезного читателя образовать самостоятельно. Утверждения (!1), (!2), (!3) и (!4) составляют в своей совокупности группу так называемых аксиом связи планиметрии, регулирующих то, как точки связаны с прямыми. Читатель может теперь перевести аксиому о параллельных на язык куздр: Для куздры, не будлающей заданного бокра, существует не более одного бокра… (благоволите продолжить). И последнее - странные эти слова мы заимствовали у выдающегося отечественного языковеда Льва Владимировича Щербы, который в двадцатых годах XX века учил студентов извлекать максимум лингвистической информации из фразы: Глокая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокрёнка .
Глава 9. Проблема на миллион долларов
Давно известна классическая формула репортёров: если собака укусила человека, это не новость; если человек укусил собаку - это новость. Сведения о том, что петербургский математик Григорий Перельман решил великую математическую проблему, стоявшую более ста лет, начали появляться в средствах массовой информации с 2003 года. Но это была ещё не новость. Подлинной новостью, согласно приведённой формуле, стала сенсация, облетевшая СМИ и заметное время удерживаемая ими летом 2006 года: Перельман отказался от всех присуждённых ему наград - в частности, от миллиона долларов. Корреспондентам, пытавшимся взять у него интервью, Перельман вежливо, но решительно отказал во встрече, сославшись на неуместную шумиху, но прежде всего на то, что должен идти в лес по грибы, - эти причины отказа были названы им в оглашённой по телевидению записи телефонного разговора с домогающимися корреспондентами. Одновременно сообщалось, что проблема не только трудная и знаменитая, но и существенная для теоретической физики, а именно для понимания устройства окружающего нас физического пространства.
Пожалуй, со времени вхождения в общекультурный оборот проблемы Ферма ни одна математическая проблема с сопровождающим её шлейфом обстоятельств не приобретала такой массовой известности. Произошло вторжение математической проблематики в общественное сознание. Следует ли закрепить величие великой проблемы тем, что оставить её окружённой ореолом тайны, открытой лишь для посвящённых и полностью недоступной пониманию широкой публики? Не знаю; может быть, и стоит. Тем не менее в этой главе мы попытаемся в самых общих чертах объяснить читателю-нематематику, в чём состоит проблема.
Но сперва о “шлейфе обстоятельств”. Григорию Яковлевичу Перельману, безработному кандидату физико-математических наук, в отличие от якобы доказавших теорему Ферма “академиков” (см. выше главу 2) и в самом деле решившему так называемую проблему Пуанкаре, ещё только предстоит отказаться (или не отказаться) от миллиона долларов.
До тех пор, пока премия не будет ему предложена, Перельман, по его собственным словам, не намерен заниматься решением вопроса, принимать её или нет. Что касается самой этой премии, то расположенный в Массачусетсе частный Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) действительно включил проблему Пуанкаре в список из семи математических “Проблем Тысячелетия” и за решение каждой из них обещает выплатить миллион. Но выплата происходит по прошествии определённого срока и после специальной экспертизы. В случае проблемы Пуанкаре ни то, ни другое, кажется, ещё не произошло. К тому же к рассмотрению, как правило, принимаются лишь решения, опубликованные в авторитетных изданиях, реферируемых в специальных реферативных журналах. Ни одно из бумажных изданий Перельман не удостоил и своё решение обнародовал лишь в Интернете. От чего Перельман действительно отказался, так это от медали Филдса.
Математика, как известно, не входит в список наук, за которые присуждают Нобелевские премии. Существует забавная литература, посвящённая попыткам выяснить причину того, почему математика не была включена в завещание Нобеля. Наиболее популярное объяснение сводится к cherchez la femme! - якобы Нобель не поделил женщину с неким знаменитым шведским математиком и не хотел, чтобы тому досталась премия его имени. Однако такие объяснения всего лишь привлекательны, но не слишком достоверны.
Медаль Филдса по уровню престижа занимает в мире математиков примерно такое же положение, какое занимает Нобелевская премия в мире, скажем, физиков, и как бы заменяет собою эту премию. Имеются по меньшей мере три отличия филдсовской медали от Нобелевской премии. Нобелевская премия присуждается ежегодно, филдсовская медаль - раз в четыре года; зато присуждается от двух до четырёх медалей сразу. В нобелевском случае возраст лауреата ничем не ограничен, и премия зачастую присуждается за достижения весьма и весьма давние. Возраст математического лауреата ограничен 40 годами, и потому Уайлс, решивший проблему Ферма в возрасте 41 года, медали не получил; вместо медали председатель Филдсовского комитета торжественно вручил ему специальную серебряную табличку. Наконец, хотя медаль и сопровождается некоей суммой, но сумма эта в несколько десятков раз меньше Нобелевской премии. Медали вручают на происходящем раз в четыре года Международном конгрессе математиков. Президент Международного математического союза специально прилетал в Петербург, чтобы уговорить Перельмана посетить конгресс в Мадриде, предстоявший в августе 2006 года, и получить там медаль из рук короля Испании. Перельман остался непреклонен и на конгресс не поехал.
Это был первый случай отказа от филдсовской медали. Проблемы и даже скандалы, сопровождавшие процедуры присуждения и вручения филдсовских медалей, возникали и раньше. Так, по причине Мировой войны не было ни конгрессов, ни присуждений в промежутке между 1936 и 1950 годами (в 1936 году в Осло прошёл последний предвоенный Международный конгресс математиков, а в 1950 году в Кембридже, что в Массачусетсе, - первый послевоенный). Все последующие причины были порождены советскими властями. Например, конгресс в Варшаве, намеченный на 1982 год, был перенесён на август 1983 года из-за объявленного в Польше военного положения. В 1966 году французский математик Александр Гротендик, один из крупнейших математиков XX века, в знак протеста против советской политики в Восточной Европе не приехал в Москву на очередной конгресс, где ему должны были вручить медаль. Церемония вручения проходила в Кремле, во Дворце съездов; вручавший медали президент Академии наук М. В. Келдыш скороговоркой огласил список лауреатов и всех чохом пригласил на сцену для получения медалей; кто есть ху, понять из зала было невозможно. В 1970 и в 1978 годах конгрессы состоялись, соответственно, в Ницце и в Хельсинки. На них должны были получить свои медали два математика из СССР: в Ницце - Сергей Петрович Новиков (родился в 1938 году; кстати, племянник того самого Келдыша), а в Хельсинки - Григорий Александрович Маргулис (родился в 1946 году). Их поездки были признаны, по советской бюрократической терминологии, “нецелесообразными”, а сами они не были выпущены за пределы СССР. Маргулис был тогда кандидатом наук, и в “Московском комсомольце” (едва ли не единственном издании, откликнувшемся на присуждение ему высшей математической награды) появилась статья с замечательной фразой: “и… [даже] докторская диссертация на подходе”. Владимир Игоревич Арнольд был номинирован на медаль Филдса 1974 году. Далее - изложение рассказа самого Арнольда; надеюсь, что помню его правильно. Всё было на мази, Филдсовский комитет рекомендовал присудить Арнольду медаль. Окончательное решение должен был принять высший орган Международного математического союза - его исполнительный комитет. В 1971 - 1974 годах вице-президентом Исполнительного комитета был один из крупнейших советских (да и мировых) математиков академик Лев Семёнович Понтрягин. Накануне своей поездки на заседание исполкома Понтрягин пригласил Арнольда к себе домой на обед и на беседу о его, Арнольда, работах. Как Понтрягин сообщил Арнольду, он получил задание не допустить присуждение тому филдсовской медали. В случае, если исполком с этим не согласится и всё же присудит Арнольду медаль, Понтрягин был уполномочен пригрозить неприездом советской делегации в Ванкувер на очередной Международный конгресс математиков, а то и выходом СССР из Международного математического союза. Но чтобы суждения Понтрягина о работах Арнольда звучали убедительно, он, Понтрягин, по его словам, должен очень хорошо их знать. Поэтому он и пригласил Арнольда, чтобы тот подробно рассказал ему о своих работах. Что Арнольд и сделал. По словам Арнольда, задаваемые ему Понтрягиным вопросы были весьма содержательны, беседа с ним - интересна, а обед - хорош. Не знаю, пришлось ли Понтрягину оглашать свою угрозу, но только филдсовскую медаль Арнольд тогда не получил - и было выдано две медали вместо намечавшихся трёх. К следующему присуждению медалей родившийся в 1937 году Арнольд исчерпал возрастной лимит. В 1995 году Арнольд уже сам стал вице-президентом, и тогда он узнал, что в 1974 году на членов исполкома большое впечатление произвела глубина знакомства Понтрягина с работами Арнольда.
Проблема, которую решил Перельман, состоит в требовании доказать гипотезу, выдвинутую в 1904 году великим французским математиком Анри Пуанкаре (1854 - 1912) и носящую его имя. О роли Пуанкаре в математике трудно сказать лучше, чем это сделано в энциклопедии: “Труды Пуанкаре в области математики, с одной стороны, завершают классическое направление, а с другой - открывают пути к развитию новой математики, где наряду с количественными соотношениями устанавливаются факты, имеющие качественный характер” (БСЭ, изд. 3-е, т. 2).
Гипотеза Пуанкаре как раз и имеет качественный характер - как и вся та область математики (а именно топология), к которой она относится и в создании которой Пуанкаре принял решающее участие.
На современном языке гипотеза Пуанкаре звучит так: всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.
В следующих абзацах мы постараемся хотя бы частично и очень приблизительно разъяснить смысл этой устрашающей словесной формулы.
Для начала заметим, что обычная сфера, которая есть поверхность обычного шара, двумерна (а сам шар - тот трёхмерен). Двумерная сфера состоит из всех точек трёхмерного пространства, равноудалённых от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей. Трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного пространства, равноудалённых от своего центра (сфере не принадлежащего). В отличие от двумерных сфер трёхмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота квадратный трёхчлен. Не исключено, однако, что все мы как раз в трёхмерной сфере и находимся, то есть что наша Вселенная является трёхмерной сферой. В этом состоит значение результата Перельмана для физики и астрономии. Термин “односвязное компактное трёхмерное многообразие без края” содержит указания на предполагаемые свойства нашей Вселенной. Термин “гомеоморфно” означает некую высокую степень сходства, в известном смысле неотличимость. Формулировка в целом означает, следовательно, что если наша Вселенная обладает всеми свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия без края, то она - в том же самом “известном смысле” - и есть трёхмерная сфера.
Понятие односвязности - довольно простое понятие. Представим себе канцелярскую резинку (то есть резиновую нить со склеенными концами) столь упругую, что она, если её не удерживать, стянется в точку. От нашей резинки мы потребуем ещё, чтобы при стягивании в точку она не выходила за пределы той поверхности, на которой мы её расположили. Если мы растянем такую резинку на плоскости и отпустим, она немедленно стянется в точку. То же произойдёт, если мы расположим резинку на поверхности глобуса, то есть на сфере. Для поверхности спасательного круга ситуация окажется совершенно иной: любезный читатель легко найдёт такие расположения резинки на этой поверхности, при которой стянуть резинку в точку, не выходя за пределы рассматриваемой поверхности, невозможно. Геометрическая фигура называется односвязной, если любой замкнутый контур, расположенный в пределах этой фигуры, можно стянуть в точку, не выходя за названные пределы. Мы только что убедились, что плоскость и сфера односвязны, а поверхность спасательного круга не односвязна. Не односвязна и плоскость с вырезанной в ней дырой. Понятие односвязности применимо и к трёхмерным фигурам. Так, куб и шар односвязны: всякий находящийся в их толще замкнутый контур можно стянуть в точку, причём в процессе стягивания контур будет всё время оставаться в этой толще. А вот баранка не односвязна: в ней можно найти такой контур, который нельзя стянуть в точку так, чтобы в процессе стягивания контур всё время находился в тесте баранки. Не односвязен и крендель. Можно доказать, что трёхмерная сфера односвязна.
Надеемся, что читатель не забыл ещё разницу между отрезком и интервалом, которой обучают в школе. Отрезок имеет два конца, он состоит из этих концов и всех точек, расположенных между ними. Интервал же состоит только из всех точек, расположенных между его концами, сами же концы в состав интервала не входят; можно сказать, что интервал - это отрезок с удалёнными из него концами, а отрезок -это интервал с добавленными к нему концами. Интервал и отрезок являются простейшими примерами одномерных многообразий, причём интервал есть многообразие без края, а отрезок - многообразие с краем; край в случае отрезка состоит из двух концов. Главное свойство многообразий, лежащее в основе их определения, состоит в том, что в многообразии окрестности всех точек, за исключением точек края (которого может и не быть), устроены совершенно одинаково. При этом окрестностью какой-либо точки A называется совокупность всех точек, расположенных вблизи от этой точки A . Микроскопическое существо, живущее в многообразии без края и способное видеть только ближайшие к себе точки этого многообразия, не в состоянии определить, в какой именно точке оно, существо, находится: вокруг себя оно всегда видит одно и то же. Ещё примеры одномерных многообразий без края: вся прямая линия целиком, окружность. Примером одномерной фигуры, не являющейся многообразием, может служить линия в форме буквы T : здесь есть особая точка, окрестность которой не похожа на окрестности других точек - это точка, где сходятся три отрезка. Другой пример одномерного не-многообразия - линия в форме восьмёрки; в особой точке здесь сходятся четыре линии. Плоскость, сфера, поверхность спасательного круга служат примерами двумерных многообразий без края. Плоскость с вырезанной в ней дырой также будет многообразием - а вот с краем или без края, зависит от того, куда мы относим контур дыры. Если мы относим его к дыре, получаем многообразие без края; если оставляем контур на плоскости, получаем многообразие с краем, каковым и будет служить этот контур. Разумеется, мы имели здесь в виду идеальное математическое вырезание, а при реальном физическом вырезании ножницами вопрос, куда относится контур, не имеет никакого смысла.
Несколько слов о трёхмерных многообразиях. Шар вместе со сферой, служащей его поверхностью, представляет собою многообразие с краем; указанная сфера как раз и является этим краем. Если мы удалим этот шар из окружающего пространства, получим многообразие без края. Если мы сдерём с шара его поверхность, получится то, что на математическом жаргоне называется “ошкуренный шар”, а в более научном языке - открытый шар . Если удалить открытый шар из окружающего пространства, получится многообразие с краем, и краем будет служить та самая сфера, которую мы содрали с шара. Баранка вместе со своей корочкой есть трёхмерное многообразие с краем, а если отодрать корочку (которую мы трактуем как бесконечно тонкую, то есть как поверхность), получим многообразие без края в виде “ошкуренной баранки”. Всё пространство в целом, если понимать его так, как оно понимается в средней школе, есть трёхмерное многообразие без края.
Математическое понятие компактность отчасти отражает тот смысл, какой слово “компактный” имеет в повседневном русском языке: ‘тесный’, ‘сжатый’. Геометрическая фигура называется компактной, если при любом расположении бесконечного числа её точек они накапливаются к одной из точек или ко многим точкам этой же фигуры. Отрезок компактен: для любого бесконечного множества его точек в отрезке найдётся хотя бы одна так называемая предельная точка, любая окрестность которой содержит бесконечно много элементов рассматриваемого множества. Интервал не компактен: можно указать такое множество его точек, которое накапливается к его концу, и только к нему, - но ведь конец не принадлежит интервалу! За недостатком места мы ограничимся этим комментарием. Скажем лишь, что из рассмотренных нами примеров компактными являются отрезок, окружность, сфера, поверхности баранки и кренделя, шар (вместе со своей сферой), баранка и крендель (вместе со своими корочками). Напротив, интервал, плоскость, ошкуренные шар, баранка и крендель не являются компактными. Среди трёхмерных компактных геометрических фигур без края простейшей является трёхмерная сфера, но в нашем привычном “школьном” пространстве такие фигуры не умещаются.