Уже в школьной геометрии мы встречаемся с двумя видами одинаковости - с конгруэнтностью фигур и с их подобием. Напомним, что фигуры называются конгруэнтными, если они совпадают друг с другом при наложении. В школе конгруэнтные фигуры как бы не различают, и потому конгруэнтность называют равенством. Конгруэнтные фигуры имеют одинаковые размеры во всех своих деталях. Подобие же, не требуя одинаковости размеров, означает одинаковость пропорций этих размеров; поэтому подобие отражает более сущностное сходство фигур, нежели конгруэнтность. Геометрия в целом - более высокая ступень абстракции, нежели физика, а физика - чем материаловедение. Возьмём, к примеру, шарик подшипника, биллиардный шар, крокетный шар и мяч. Физика не вникает в такие детали, как материал, из которого они сделаны, а интересуется лишь такими свойствами, как объём, вес, электропроводность и т. п. Для математики - все они шары, различающиеся только размерами. Если шары имеют разные размеры, то они различаются для метрической геометрии, но все они одинаковы для геометрии подобия . С точки зрения геометрии подобия одинаковы и все шары, и все кубы, а вот шар и куб - не одинаковы.
А теперь посмотрим на тор. Тор - эта та геометрическая фигура, форму которой имеют баранка и спасательный круг. Энциклопедия определяет тор как фигуру, полученную вращением круга вокруг оси, расположенной вне этого круга. Призываем благосклонного читателя осознать, что шар и куб “более одинаковы” между собой, чем каждый из них с тором. Наполнить это интуитивное осознание точным смыслом позволяет следующий мысленный эксперимент. Представим себе шар сделанным из материала столь податливого, что его можно изгибать, растягивать, сжимать и, вообще, деформировать как угодно, - нельзя только ни разрывать, ни склеивать. Очевидно, что шар тогда можно превратить в куб, но вот в тор превратить невозможно. Толковый словарь Ушакова определяет крендель как выпечку (буквально: как сдобную витую булку) в форме буквы В. При всём уважении к этому замечательному словарю, слова “в форме цифры 8 ” кажутся мне более точными; впрочем, с той точки зрения, которая выражена в понятии гомеоморфии, и выпечка в форме цифры 8 , и выпечка в форме буквы В, и выпечка в форме фиты имеют одну и ту же форму. Даже если предположить, что хлебопёки сумели получить тесто, обладающее вышеуказанными свойствами податливости, колобок невозможно - без разрывов и склеиваний! - превратить ни в баранку, ни в крендель, как и последние две выпечки друг в друга. А вот превратить шарообразный колобок в куб или в пирамиду - можно. Любезный читатель несомненно сумеет найти и такую возможную форму выпечки, в которую нельзя превратить ни колобок, ни крендель, ни баранку.
Не назвав этого понятия, мы уже познакомились с гомеоморфией. Две фигуры называются гомеоморфными, если одну можно превратить в другую путём непрерывной (т. е. без разрывов и склеиваний) деформации; сами такие деформации называются гомеоморфизмами . Мы только что выяснили, что шар гомеоморфен кубу и пирамиде, но не гомеоморфен ни тору, ни кренделю, а последние два тела не гомеоморфны между собой. Просим читателя понимать, что мы привели лишь приблизительное описание понятия гомеоморфии, данное в терминах механического преобразования.
Коснёмся философского аспекта понятия гомеоморфии. Представим себе мыслящее существо, живущее внутри какой-либо геометрической фигуры и не обладающее возможностью посмотреть на эту фигуру извне, “со стороны”. Для него фигура, в которой оно живёт, образует Вселенную. Представим себе также, что когда объемлющая фигура подвергается непрерывной деформации, существо деформируется вместе с нею. Если фигура, о которой идёт речь, является шаром, то существо никаким способом не может различить, пребывает ли оно в шаре, в кубе или в пирамиде. Однако для него не исключена возможность убедиться, что его Вселенная не имеет формы тора или кренделя. Вообще, существо может установить форму окружающего его пространства лишь с точностью до гомеоморфии, то есть оно не в состоянии отличить одну форму от другой, коль скоро эти формы гомеоморфны.
Для математики значение гипотезы Пуанкаре, превратившейся теперь из гипотезы в теорему Пуанкаре - Перельмана, огромно (не зря ведь за решение проблемы был предложен миллион долларов), равно как огромно и значение найденного Перельманом способа её доказательства, но объяснить это значение здесь - вне нашего умения. Что же касается космологической стороны дела, то, возможно, значимость этого аспекта была несколько преувеличена журналистами. Впрочем, некоторые авторитетные специалисты заявляют, что осуществлённый Перельманом научный прорыв может помочь в исследовании процессов формирования чёрных дыр.
Чёрные дыры, кстати, служат прямым опровержением положения о познаваемости мира - одного из центральных положений того самого передового, единственно верного и всесильного учения, которое 70 лет насильственно вдалбливалось в наши бедные головы. Ведь, как учит физика, никакие сигналы из этих дыр не могут к нам поступать в принципе, так что узнать, что там происходит, невозможно. О том, как устроена наша Вселенная в целом, мы вообще знаем очень мало, и сомнительно, что когда-нибудь узнаем. Да и сам смысл вопроса о её устройстве не вполне ясен. Не исключено, что этот вопрос относится к числу тех, на которые, согласно учению Будды, не существует ответа. Физика предлагает лишь модели устройства, более или менее согласующиеся с известными фактами. При этом физика, как правило, пользуется уже разработанными заготовками, предоставляемыми ей математикой.
Математика не претендует, разумеется, на то, чтобы установить какие бы то ни было геометрические свойства Вселенной. Но она позволяет осмыслить те свойства, которые открыты другими науками. Более того. Она позволяет сделать более понятными некоторые такие свойства, которые трудно себе вообразить, она объясняет, как такое может быть. К числу таких возможных (подчеркнём: всего лишь возможных!) свойств относятся конечность Вселенной и её неориентируемость.
Долгое время единственной мыслимой моделью геометрического строения Вселенной служило трёхмерное евклидово пространство, то есть то пространство, которое известно всем и каждому из средней школы. Это пространство бесконечно; казалось, что никакие другие представления и невозможны; помыслить о конечности Вселенной казалось безумием. Однако ныне представление о конечности Вселенной не менее законно, чем представление о её бесконечности. В частности, конечна трёхмерная сфера. От общения с физиками у меня осталось впечатление, что одни отвечают “скорее всего, Вселенная бесконечна”, другие же - “скорее всего, Вселенная конечна”.
Ниже мы попытаемся объяснить теоретическую возможность конечности Вселенной . Пока что заметим лишь, что конечность Вселенной не означает наличие у неё края, “стены”. Ведь само по себе отсутствие у геометрической фигуры конца и края ещё не означает её бесконечности. Поверхность нашей планеты, например, конечна, но края у неё нет. В детстве я, как и другие, наслаждался старинной картинкой, на которой был изображён монах, дошедший до Края Земли и просунувший голову сквозь небесный свод. Ещё более, чем упомянутая картинка, детское воображение увлекала модная гипотеза (потом она как-то заглохла), что некие две далёкие туманности, наблюдаемые с Земли в противоположных концах небосвода, являются на самом деле не различными астрономическими объектами, а одним и тем же объектом, видимым с разных сторон. Если бы это подтвердилось, это было бы доказательством конечности Вселенной. Вот три мысленных эксперимента, способные засвидетельствовать указанную конечность, если она действительно имеет место. Первый: экспериментатор отправляется в космическое путешествие и, двигаясь всё время в одну сторону, возвращается в исходную точку. Второй: обнаруживается окружность, длина которой меньше той, которую сообщают нам в школе, то есть меньше двух пи, помноженных на длину радиуса. Третий (предложен Эйнштейном): экспериментатор окружает себя сферой, сделанной из прочной и неограниченно растягивающейся плёнки, и начинает эту сферу раздувать; площадь поверхности сферы сперва будет возрастать, но начиная с некоторого момента - уменьшаться, а в итоге вся сфера стянется в точку - при том, что экспериментатор остаётся внутри сферы.
Чтобы понять, как такое возможно, надо напрячь воображение, а затем рассуждать по аналогии.
Вообразим себе обычную двумерную сферу, населённую двумерными же существами; их принято называть флатландцами . Мы с вами живём на сфере (на поверхности Земли), флатландцы же пребывают в теле сферы, в её “толще”; эта “толща”, конечно, не имеет толщины, но ведь и флатландцы её не имеют. Органы чувств не позволяют флатландцам ощутить что-нибудь вне пределов этой сферы, которая для них составляет Вселенную. Сфера большая, а двумерные жители обитают на небольшом её участке и - внимание! - полагают, что их Вселенная представляет собою двумерное евклидово пространство, то есть плоскость. Посмотрим, что может поколебать их в этом убеждении. Если считать, что флатландцы умеют видеть чрезвычайно далеко, то удалённый от них объект они видят с двух сторон: ведь в их Вселенной луч света идёт по сфере, огибая её. Космический путешественник, двигающийся всё время в одну сторону, возвращается, обогнув сферу, в исходную точку. Радиус окружности двумерные существа проводят по сфере, и его длина оказывается больше радиуса той же окружности, проведённого в недоступном им “внешнем” пространстве, - а потому длина окружности окажется меньшей, нежели та, которая вычисляется через “фатландский радиус” по нашей школьной формуле. Посмотрим теперь, что произойдёт, если двумерный экспериментатор окружит себя канцелярской резинкой, способной неограниченно растягиваться, придаст ей форму окружности и станет увеличивать радиус этой окружности. Сперва длина окружности будет возрастать, а после прохождения через “экватор” уменьшаться и в итоге уменьшится до нуля.
А теперь картину, только что изложенную нами для двумерного мира, надо по аналогии перенести на мир трёхмерный. Мы, как и флатландцы, убеждены, что пребываем в “прямом” евклидовом пространстве школьной геометрии. Однако не исключено, что на самом деле - в (не “на”, а “в”) сфере, только трёхмерной. И эту трёхмерную сферу можно представлять себе расположенной в евклидовом четырёхмерном пространстве - наподобие того, как двумерная сфера расположена в пространстве трёхмерном. Четырёхмерного пространства мы, разумеется, не воспринимаем своими органами чувств, но ведь и флатландцы не воспринимают пространства трёхмерного. Как и флатландцы, мы можем убедиться в кривизне мира, увидев какой-нибудь весьма отдалённый предмет с двух противоположных сторон или сравнивая длину окружности с той, которая выражает эту длину через радиус по стандартной, известной из школы формуле. Вместо эксперимента с канцелярской резинкой надлежит произвести тот эксперимент с растягивающейся плёнкой, о котором было сказано выше.
Нередко представления об устройстве Вселенной, уже включённые наукой в перечень подтверждённых, кажутся парадоксальными; не исключено, что некоторые её свойства могут оказаться ещё более парадоксальными. Пожалуй, сейчас уже всем известен так называемый парадокс близнецов . Если один из двух близнецов совершает космическое путешествие, а другой остаётся на Земле, то в момент возвращения из космоса космонавт непременно окажется моложе своего брата; если ускорения, которым подвергался космонавт во время путешествия, были достаточно велики и длительны, разница в возрасте будет заметна на глаз. Сейчас мы опишем другое явление - парадокс зеркального отражения . Встретится ли когда-либо названный парадокс в действительности, неизвестно; в отличие от парадокса близнецов, описывающего реальные (точнее сказать - общепризнанные) свойства мироздания, возможность осуществления зеркального отражения чисто теоретическая, она всего лишь не опровергнута.
Итак, парадокс зеркального отражения . В 1896 году Г. Дж. Уэллс написал свою “Историю Платтнера” (“The Plattner story”) - уже упоминавшийся рассказ о том, как школьный учитель Готфрид Платтнер претерпевает фантастическое путешествие, после чего возвращается зеркально перевёрнутым. До путешествия он не был левшой и имел нормальное строение тела за исключением лёгкой асимметрии: “Левый глаз немного больше правого и челюсть чуть-чуть отвисает с левой стороны”. А вот каким он сделался после своего путешествия: “Правый глаз немного больше левого, и правая часть челюсти слегка тяжелее левой. ‹…› Сердце Готфрида бьётся с правой стороны! ‹…› Все другие несимметричные части его тела расположены не на своих местах. Правая доля его печени расположена с левой стороны, левая - с правой, аналогично перепутаны и лёгкие. ‹…› Он может писать только левой рукой, причём справа налево”.
Уэллс объясняет происшедшие с Платтнером изменения выходом в другой мир, в четвёртое измерение: “Если вы вырежете из бумаги любую фигуру, имеющую правую и левую стороны, вы можете легко переместить эти стороны, если подымете и перевернёте фигуру. Но с предметом объёмным дело обстоит иначе. Теоретики-математики говорят нам, что единственный способ, посредством которого правая и левая сторона какого-нибудь твёрдого тела могут перемениться, - это если изъять тело из пространства (в том виде, в каком мы понимаем пространство), вынуть его из обычных условий и переместить куда-то вне пространства. ‹…› Случившаяся у Платтнера перемена местами правой и левой частей есть не что иное, как доказательство того, что он переходил из нашего пространства в так называемое Четвёртое Измерение, а затем снова вернулся в Наш Мир”.
Здесь существенна заключённая в скобки оговорка: “…в том виде, в каком мы понимаем пространство…” Имеется в виду стандартное, школьное понимание пространства. Математики, однако, обнаружили теоретическую возможность такой формы трёхмерного пространства, что поменять местами правую и левую части тела можно и без выхода за пределы этого пространства. При стандартном школьном понимании формы окружающего нас трёхмерного пространства действительно никаким перемещением в этом пространстве невозможно превратить кисть правой руки в кисть левой руки. Но это невозможно именно при стандартном школьном понимании. Существуют, однако, и иные формы пространства, допускающие такое перемещение. Попытаемся разъяснить, как такое может быть.
Как справедливо замечает Уэллс, вырезанный из бумаги силуэт правой ладони невозможно превратить в силуэт левой ладони, ограничиваясь перемещением по плоской поверхности стола; чтобы это сделать, надо поднять силуэт над столом, то есть выйти в третье измерение, перевернуть и снова положить на стол. Существует, однако, такая поверхность, перемещением по которой правое превращается в левое. Два немецких математика, Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мёбиус, независимо друг от друга открыли её в 1858 году. По имени одного из них поверхность получила название лист Мёбиуса .
Изображение листа Мёбиуса можно встретить на обложках математических изданий и значках математических сообществ (в частности - на значке мехмата Московского университета). Рекомендуем любезному читателю самому изготовить эту знаменитую поверхность. Сделать это просто. Если взять бумажную ленту и склеить её торцы, то полученная поверхность будет боковой поверхностью цилиндра. Если же перед склеиванием ленту крутануть на 180 градусов, как раз и получится лист Мёбиуса. Во избежание недоразумений повторим сказанное на языке математики. Надо взять прямоугольник ABCD, у которого сторона AB параллельна стороне CD, а сторона AD параллельна стороне BC, и склеить друг с другом стороны AD и BC (“торцы”). Склейку можно производить различными способами. Если сделать это без перекрутки, точка A склеится с точкой B, а D - с C, и получится боковая поверхность цилиндра. Если же A склеить с C, а D с B, получим лист Мёбиуса. Случается, что, подпоясавшись и застегнув ремень, вы обнаруживаете, что ремень перекрутился; такой перекрученный и застёгнутый ремень может служить примером листа Мёбиуса3.
Лист Мёбиуса обладает рядом замечательных свойств. Так, он имеет всего лишь одну сторону. Чтобы убедиться в этом, проделаем такой мысленный эксперимент. Представим себе сделанный из прочного материала и расположенный в невесомости лист Мёбиуса, поставим на него человека и попросим этого человека прогуляться. Можно выбрать такой маршрут, что в какой-то момент прогулки человек окажется в положении антипода по отношению к тому положению, какое он имел в исходный момент. Ясно, что ни для боковой поверхности цилиндра, ни для плоскости, ни для сферы такая прогулка невозможна. Лист бумаги можно закрасить с одной стороны в чёрный цвет, оставив другую его сторону незакрашенной. Точно так же и поверхность цилиндра, и сферу можно выкрасить с одной стороны, оставив другую незакрашенной. Поступить так с листом Мёбиуса не удастся. И плоскость, и поверхность цилиндра, и сфера суть поверхности двусторонние . Лист же Мёбиуса является односторонней поверхностью.
Другое свойство листа Мёбиуса особенно важно для целей нашего изложения. Оно состоит в так называемой неориентируемости . Лист Мёбиуса, как и всякая поверхность, не имеет толщины. Если на листе изображён силуэт ладони, то невозможно сказать, правая она или левая, - это зависит от того, с какой стороны посмотреть. (Читатель да не смутится употреблением здесь слова “сторона”: лист Мёбиуса в целом односторонен, но тот малый его участок, на котором изображена ладонь, двусторонен, и гуляющий по этому участку не может стать своим антиподом.) Если рядом изображены две ладони, то можно сказать, одинаковы ли они или же одна есть зеркальное отражение другой. Так вот, можно совершить такое передвижение силуэта ладони по листу Мёбиуса, при котором этот силуэт вернётся на прежнее место зеркально отражённым, а возможность такого передвижения и означает неориентируемость. Каждый может проверить наличие указанной возможности; для наглядности полезно представлять себе лист Мёбиуса изготовленным из промокательной бумаги, так что любой рисунок, нанесённый чернилами, проступает насквозь. Снова прибегнем к методу аналогии и перенесёмся из двумерного мира в трёхмерный. Очень трудно представить себе трёхмерную геометрическую фигуру, которая была бы неориентируемой, то есть такой, внутри которой возможна траектория, приводящая к зеркальному отражению. В нашем обычном трёхмерном пространстве такие фигуры не умещаются. Те из них, которые компактны и не имеют края, не умещаются даже в “обычном” (то есть евклидовом) четырёхмерном пространстве - подобно тому, как неориентируемые компактные поверхности без края не умещаются в трёхмерном пространстве (умещающийся в трёхмерном пространстве лист Мёбиуса имеет край). Однако уже не вызывает протеста предположение о существовании таких фигур в высших измерениях - ведь и двумерный лист Мёбиуса, не умещаясь на плоскости, требует для своего размещения трёхмерного пространства. И действительно, все неориентируемые трёхмерные тела хорошо себя чувствуют в пятимерном евклидовом пространстве.
Итак, неориентируемая поверхность - это поверхность, перемещая по которой силуэт правой ладони можно (без выхода за пределы поверхности!) превратить его в силуэт левой ладони. Лист Мёбиуса - самая известная и самая простая из неориентируемых поверхностей. Из других наиболее известна так называемая бутылка Клейна, названная по имени знаменитого немецкого математика Феликса Клейна, запустившего её в математический оборот в 1874 году. Представим себе бутылку с очень длинным и очень гибким горлышком. Толщиной материала, из которого изготовлена бутылка, мы пренебрегаем, так что бутылку воспринимаем как двумерную фигуру, то есть как поверхность. Можно ли изогнуть горлышко так, чтобы дотронуться им до дна бутылки? Разумеется, можно; прикосновение при этом произойдёт с наружной стороны дна. Коснуться же горлышком дна изнутри бутылки невозможно, для этого горлышку пришлось бы пройти сквозь стенку. Но вот если бы это удалось, как раз и получилась бы бутылка Клейна.
Так зачем же говорить о такой поверхности, которой нет и не может быть, возмутится читатель. А дело в том, что такая поверхность есть, только “живёт” она в четырёхмерном пространстве. Чтобы понять, как можно изготовить бутылку Клейна при помощи четвёртого измерения, следует вновь обратиться к флатландской аналогии. Обычная бутылка есть двумерная поверхность в трёхмерном пространстве. Что является её аналогом на плоскости? Тень бутылки? Нет, аналог должен быть на одно измерение меньше окружающего пространства, то есть в данном случае одномерным. Обведём карандашом контур тени, сделав в этом обводе перерыв на месте отверстия горлышка. Полученная линия и является искомым одномерным аналогом двумерной бутылки. Представим себе эту линию в виде тонкой и гибкой проволоки. У этой проволочной фигуры можно выделить дно, горлышко и две стенки. Можно ли, не выходя за пределы плоскости, изогнуть горлышко так, чтобы коснуться им дна? Разумеется, можно, но только с наружной стороны; коснуться с внутренней стороны (то есть со стороны тени) невозможно, для этого пришлось бы пересечь одну из стенок. Однако можно коснуться и с внутренней стороны, если разрешить выход за пределы плоскости: в том месте, где проволочное горлышко хочет пересечь проволочную стенку, надо приподнять горлышко над плоскостью, провести его над стенкой наподобие моста, а затем снова опустить на ту же плоскость - но уже внутри бутылки. И дотянуть горлышко до дна. А теперь, напрягая воображение и прибегая к аналогии, можно постараться представить себе изгибание горлышка двумерной бутылки в четвёртом измерении - с последующим касанием дна изнутри.
И евклидово пространство средней школы, и трёхмерная сфера ориентируемы. В них отсутствуют траектории, приводящие к зеркальному отражению. Но теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что она неориентируема. А тогда путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть осуществлено и без выхода из нашего трёхмерного мира. Таким образом, не вполне прав был поэт, сказавший:
Какая тяжкая обида