\/ 1-(v/c)**2
(27)
t+vx/c**2 t' = ------------------ .
-------------,
\/ 1-(v/c)**2
Из соотношений (27) следует:
1. При v/c 1 преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (12).
2. Интервалы длины и времени преобразуются соответственно:
^x ^x' = ------------------ ,
-------------,
\/ 1-(v/c)**2
(28)
^t ^t' = ------------------ .
-------------,
\/ 1-(v/c)**2
Наметим далее вывод из метрических свойств пространства Минковского уравнения движения материальной точки
p=mu, (29)
где u - скорость частицы.
В ньютоновской механике v = dx/dt; m=const (t абсолютное время). Чтобы обобщить импульс в рамках теории относительности, нужно проделать две операции, специфические для теории относительности: 1) условиться о системе отсчета, в которой определяется время; 2) обобщить 3-мерные векторы ньютоновской физики на 4-мерное пространство Минковского. Иначе говоря, следует ввести 4-мерный вектор, который при v/c -> 0 переходил бы в 3-мерный евклидов вектор, а в рамках теории относительности был бы аналогом 4-вектора (t,x,y,z). Найдем 4-мерный аналог скорости v=dx/dt. В русле идей теории относительности существует выделенная (собственная) система отсчета, связанная с материальной точкой. Действительно, в этой системе величина dx=const и время t=TAU однозначно связано с инвариантным интервалом ds. В том же случае, когда тело "истинно" точечное (dx=0), то ds=c d TAU. Поэтому естественно в формуле для скорости положить
u=dx/d TAU (23)
и на основании (23)
v|||||
x,y,z u||||| = ------------------ , x,y,z -------------,
\/ 1-(v/c)**2
где индексы x, y, z отмечают компоненты по соответствующим осям.
Чтобы величина u была бы 4-вектором, нужно доопределить четвертую компоненту. В нашем распоряжении есть единственная величина, имеющая размерность скорости: скорость света c. Поэтому аналог временной компоненты 4-скорости:
c u| = ------------------ . (32) t -------------,
\/ 1-(v/c)**2
Тогда выражение (29) для импульса можно записать в форме
p| = m|u|, i 0 i
ult m| - масса в собственной системе отсчета. Индекс i
0 отмечает номер компоненты 4-скорости. Легко проверить, что величины p| (i=1,2,3,4 или t,x,y,z) образуют 4-вектор.
i Действительно,
(p|)**2 - (p|)**2 -(p|)**2 -(p|)**2 = (m|c)**2 = Inv . (34) t x y z 0
По существу (34) есть частное следствие общего определения пространства Минковского: квадрат 4-вектора инвариант относительно поворотов и трансляций в этом пространстве. Другим важнейшим примером этого правила является инвариантность интервала. Отличие от векторного определения пространства Евклида сводится к правилу знаков: квадрат временно-подобной компоненты берется со знаком "=", а квадраты пространственно-подобных компонент - со знаком "-". Если потребовать сохранения формы (29) для выражения импульса в релятивистской механике через обычную скорость, то следует изменить определение массы, положив
m m = ------------------ . (35)
-------------,
\/ 1-(v/c)**2
Все выводы релятивистской динамики, и в частности формулы (33) - (35), превосходно согласуются с экспериментальными данными, полученными на ускорителях. Точнее, они служат основой для конструирования больших ускорителей, образуя новую область, лежащую на стыке фундаментальной физики и инженерных дисциплин: релятивистскую инженерную физику.
5. ЭЙНШТЕЙНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ
Специальная теория относительности, геометрический образ которой воплощен в пространстве Минковского, вызывает невольные ассоциации с величайшими творениями искусства. Сочетание величия человеческого духа и лаконичности придают этой теории те качества, которые отличают настоящие ценности.
Тем не менее специальная теория относительности отражение законов природы и поэтому, как и вся физические принципы, характеризуется определенными границами. Произведение искусства - автономно, научная теория неизбежно ограничена невидимыми (а зачастую и зримыми) проявлениями прогресса экспериментальной физики и логикой.
И у специальной теории относительности есть границы применимости. Они проявляются довольно отчетлива, однако (и в этом одна из причуд истории науки) их не принято детально обсуждать. В этом нет, вероятно, никакой злонамеренности. подобная ситуация имеет простую психологическую подоплеку. В первые десятилетия после создания теории относительности у нее существовало столько принципиальных и беспринципных противников, что борьба велась не по линии теории ценных деталей, а по вопросу: быть или не быть теории относительности. И когда экспериментальные данные блестяще подтвердили специальную теорию относительности, а ее противники оказались полными банкротами, в общественном мнении возобладала антитеза отрицания - ее полная абсолютизация.
Однако беспристрастный анализ продемонстрировал, что и у специальной теории есть свои проблемы, которые частично были блестяще использованы Эйнштейном при создании общей теории относительности, а частично вообще ускользнули из поля зрения научной общественности.
Для того, чтобы изложить эти проблемы, мы будем опираться на мысленные эксперименты, которые так часто "проводились" в начале столетия. В частности, на них опирался Эйнштейн в процессе создания теории относительности.
Трудно скрыть известную ностальгию по этой почти ушедшей эре, когда в физике царила наглядность, а формальные аспекты были на втором плане. К сожалению, в науке не всегда возможен стиль "ретро", но все-таки будем стремиться к максимальной наглядности. Вообразим систему отсчета, в которой движутся два тела (1 и 2) с разными скоростями. Тогда в области расположения тела 1 в соответствии с формулами (28) о сокращении масштабов пространство будет искажено: его однородность будет нарушена. Следовательно, будет нарушено основное условие определения инерциальной системы отсчета. Фактически многочастичное макроскопическое тело своим объемом нарушает однородность и изотропию пространства. Тем самым подрываются основы определения инерциальной системы координат. Макроскопическое (неточечное) тело нарушает свойства пространства Минковского: его однородность и изотропию. Поэтому становится проблематичным его использование для описания макроскопического тела.
Это рассуждение - пример мысленного эксперимента. В нашем распоряжении нет твердых тел, которые можно разгонять до релятивистских скоростей, и поэтому непосредственная экспериментальная проверка выводов теории относительности применительно к макроскопическим телам затруднительна. Теоретические же рассуждения на эту тему (релятивистские преобразования температуры) лишены убедительности и однозначности, характерных для специальной теории относительности точечных тел.
Но закроем глаза на эти проблемы, уводящие в сторону от основной линии книги, и попробуем применить эту теорию к конкретному макроскопическому телу - вращающемуся диску, знаменитому диску Эйнштейна. Пусть диск, являющийся абсолютно твердым телом, вращается равномерно вокруг своего центра. Очевидно, что линейные скорости точек диска, расположенные на разных расстояниях от центра, будут различны (пропорциональны расстояниям r). Тогда в соответствии с формулами (29) в этих точках будет различное сокращение. Пространство станет неоднородным, а следовательно, неевклидовым. Вращение диска есть неинерциальное ускоренное движение. Из этих двух фактов Эйнштейн заключил, что ускоренное движение нарушает евклидовость (псевдоевклидовость) пространства.
В случае равномерного вращения диска и соответствующего постоянному во времени ускорению легко оценить, как меняется метрика пространства, заполненного диском, в зависимости от расстояния r. Вычислим, в частности, 4неевклидовость" пространства на расстоянии r, если задана угловая скорость вращения OME. Если OME = 0, то пространство евклидово, т.е. d/r = 2 PI. (d - длина окружности в системе покоя диска). Если OME /= 0 , то в направлении по радиусу диска масштаб останется несмещенным, следовательно, длина окружности увеличится в [1-(OME r/c)**2]**(-1/2) раз. Во вращающейся