Когда ему невыгодно иметь дело с «количеством» или «величиной», он заменяет их «множеством».
Дух может придумать «нелепость», умно назвать ее «иррациональностью» и протаскивать как нечто особенное через века, заставляя миллионы маленьких детей во всех школах мира в слезах постигать мудрость этой «особенной» нелепости.
Но и после школы Дух не оставляет детей в покое. Он заставляет их и в зрелом возрасте мучиться в поисках доказательств того, что числа π и e- нелепы и трансцендентны.
Он заставляет, не указывая, ради чего, искать строгих доказательств: невозможности решить уравнение xn+ yn = zn в тех случаях, если числа х, у, z и n - целые; тому, что любое число N может быть представлено в виде суммы ограниченного числа n-ных степеней целых чисел. Например, 7 = 22 + 12 + 12 + 12или 9 = 23 + 13 или 20 = 24 +14 + I4 + I4 + I4, тому, что всякое число вида άβ - есть нелепое число при условии, если число β тоже окажется нелепым числом. И т.д. и т.п.
Причем, все это называется великими проблемами, разрешение которых оценивается как блестящее проявление человеческого гения. Человек, потративший полжизни на доказательство, что 7 = 22 + 12 + 12 + 12или на то, что π, e, άβ - есть нелепости, большинством голосов избирается в действительные члены Академий и Ученых королевских обществ и т.д. и т.п.
В тех случаях, когда Гордый и Свободный Дух наталкивается в своей свободной практике на вещи, которые даже ему. Духу, непостижимы, - в таких случаях он, нимало не задумываясь, называет их «мнимыми», например,
«Мнимость» сама по себе Гордого Духа не смущает, потому что все мнимое - его сущность: он ее обоготворяет, он ее так же, как и четвертое измерение или n-мерное пространство, признает Реальностью. Но на свете имеются простаки, которые нет-нет, да зададут вопрос: а как все же понимать число i? Простаков Дух не уважает - считает их невеждами, но побаивается, и только в силу этой боязни Духу приходится кривить душой, прятать мнимость. Число i, наверное, лет 300 болталось по всей Европе, не находя себе применения, пока Коши в середине XIX века не удалось его пристроить к комплексным числам.
Мнимое число i - одно из противоречий математики, притом как говорит Энгельс, «не просто противоречие, но даже абсурдное противоречие, действительная бессмыслица», и, к счастью, она существует не в мире реальных вещей, а всего лишь в голове Духа. Ценность этой «бессмыслицы» состоит в том, что она является лучшим показателем существования какой-то другой «бессмыслицы», имеющей место в мире реальных вещей.
Духу следовало бы заняться именно этой, реальной «бессмыслицей», исследовать ее, что называется из первых рук Природы, а не принимать ее отражение за саму реальность, не пристраивать это непонятное отражение к комплексным числам.
По-видимому, в комплексных числах имеется свое, собственное непонятное отражение, которое, соединившись с другим непонятным отражением, локализуется и не сказывается, в конечном счете, на положительном результате. В математике, по-видимому, как и в грамматике, два отрицания, поставленные рядом, ведут к одному утверждению.
То обстоятельство, что за каждым «абсурдным» противоречием, возникающим в математике, всегда стоит противоречие реального мира и для того, чтобы не ошибиться в выводах, следует всегда обращать внимание в первую очередь на сам реальный мир, а не на его отражение - вот этого простого обстоятельства до сих пор не понимает Гордый и Свободный Дух идеализма в математике.
Можно много привести примеров неосознанных действий в современной математике. Но все примеры, как бы их много не было, останутся всего лишь примерами, а критика - критикой. Без позитивной стороны и критика, и примеры - беспредметны.
Попробуем кое-что сказать о позитивной стороне затронутого вопроса. Для этого вернемся к «предмету» или к тому, что принято называть «обоснованием математики». Ф. Энгельс нам оставил классическое определение:
Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть - весьма реальный материал
Ф.Энгельс. Анти Дюринг
Из этого определения ясно следует, что объект математики - реальный мир. Это, пожалуй, самое важное и первое, что необходимо запомнить, если мы хотим что-либо понять в математике.
Реальный мир и реальный материал - вот предмет такой «отвлеченной» науки, какой является математика. Но этот мир, как известно, весьма большой; он имеет много сторон, например, имеет такие фундаментальные стороны:
- материя;
- движение (этой материи);
- способность отражать;
- способность самоорганизовываться.
Науки тем и отличаются друг от друга, что каждая из них изучает лишь одну из этих сторон. Физика изучает реальный мир со стороны «движения», химия - со стороны «материи», кибернетика - «отражения», биология - «самоорганизации».
Математика тоже имеет свою сторону реального мира - количественную. Энгельс именно об этом сказал: - «количественные отношения действительного мира...».
И, тем не менее, в приведенном выше определении Энгельса появилась та щель, через которую сейчас просачивается умный вульгарный материализм и вместе с ним его брат субъективный идеализм. В определении «возникло» два неясных положения, связанные со словами:
«...отношения...» и
«пространственные формы...»
«...отношения...», - будь они хоть трижды «количественные» и хоть четырежды «реального мира», - ползучий материализм расценивает как нечто нереальное, выдуманное, понятийное; их нельзя запихать в рот и желудок. Поэтому сказать такому материализму просто: «...количественные отношения реального мира...» - равносильно тому, что сказать:
«Количественные нереальности реального мира», что означало бы поставить под удар сам реальный мир. Такими вещами не шутят: ползучий материализм явление весьма распространенное и с ним нельзя не считаться.
Второе положение - «пространственные формы» - начало звучать тоже довольно двусмысленно. В то время, когда Энгельс писал эти слова, науке было известно всего лишь одно пространство: реальное - метрическое. Теперь известны и другие пространства - мерное, проективное, топологическое, гильбертово - каждую интерпретацию любой теории теперь называют «пространством». Причем, в действительности все они остаются интерпретациями и отнюдь не явлениями реального мира, однако не в голове тех, кто им придумывает название «пространств».
Оставление в формулировке Энгельса двух слов - «пространственные формы» - послужит предлогом для широкого протаскивания в предмет математики различного рода идеалистических нереальностей.
Энгельс, конечно, для своего времени дал вполне правильную формулировку предмета математики, но в наше время надо быть весьма осмотрительным.
Нам надо остерегаться не только предлогов, дающих возможность для просачивания идеализма и вульгарного материализма в математику, но и опасности сковать ее дальнейшее развитие, которое полно всяких неожиданностей. Поэтому формулировка предмета математики должна быть достаточно определенной и вместе с тем достаточно широкой.
Можно предложить следующее определение:
Математика изучает количественную сторону материального мира.
В приведенной формулировке мы поступаемся ПОЛНОТОЙ - различного рода уточняющими обстоятельствами: «формами», «пространством», «отношениями» и т.д. Мы не спорим заранее по поводу этих частностей, не хотим ими связывать математику. Во-первых, потому, что достоверно не знаем, насколько эти частности сами по себе реальны или нереальны. И, во-вторых, сколько бы их не уточняли - все их не уточнить. Следовательно, надо взять всеобщее уточняющее обстоятельство, которое было бы свойственно и присуще всем явлениям, частностям и уточнениям. Таким всеобщим свойством является «количественная сторона», «количество». А поскольку мы не намерены иметь дело с нереальными вещами, уточняющее обстоятельство еще раз подчеркивается словами - «материального мира».
Скажи вместо слов - «материального мира» слова «реального мира» - этим непременно воспользуется математический идеалист. Поскольку все понятия, не взирая на их достоверность, по его мнению относятся к реальностям, он непременно подсунет «гильбертово пространство» в качестве предмета исследования с количественной стороны.
Исследование понятий вместо исследования вещей, явлений, процессов - детская болезнь, которой страдает математика.
Идет усиленная путаница в трех соснах. Современный математик как никто запутался в этой троице.
Что считается в математике ЯВЛЕНИЕМ? ОБРАЗОМ? ПОНЯТИЕМ? Задайте этот вопрос современному математику, и вы убедитесь, что он не думал над ним.
Май 1963 г.