Единственным способом получения такого доказательства, объявил Атли Джексон (Atlee Jackson) , физик из Университета Иллинойса, является формулировка теории науки. Чтобы показать, какой трудной будет эта задача, Джексон подскочил к доске и нацарапал чрезвычайно сложный график последовательности операций, который, предположительно, представлял науку. Когда слушатели тупо уставились на него, Джексон перешел к афоризмам. Чтобы определить, имеет ли наука границы, сказал он, надо определить науку, и как только вы определите науку, вы навяжете ей границу. С другой стороны, добавил он, «я не могу определить свою жену, но я могу ее узнать». Награжденный вежливыми смешками, Джексон отправился на свое место.
Теоретик антихаоса Стюарт Кауффман время от времени появлялся на семинаре, выступал с минилекциями в стиле дзэн-буддизма, а затем снова исчезал. Во время одного из появлений он напомнил нам, что само наше выживание зависит от нашей способности классифицировать мир. Но мир не появляется уже распакованным по предварительно подготовленным категориям. Мы можем классифицировать несколькими путями. Более того, чтобы классифицировать явления, мы должны отбросить часть информации. Кауффман закончил выступление заклинанием:
— Быть — это классифицировать и действовать, и все это означает выбрасывать вон информацию. Так что просто сам акт знания требует невежества.
Слушатели выглядели одновременно озадаченными и раздраженными.
Тогда несколько слов сказал Ральф Гомори (Ralph Gomory) . Бывший вице-президент по вопросом исследований в «IBM», Гомори теперь возглавляет Фонд Слоана, филантропическую организацию, которая спонсирует относящиеся к науке проекты, включая семинар в Сайта-Фе. Когда Гомори слушал выступления других и даже выступал сам, его лицо выражало полное неверие. Он то склонял голову вперед, словно вглядывался в нечто в невидимый бинокль, то сводил на переносице густые черные брови и хмурил лоб.
Гомори объяснил, что он решил поддержать семинар, потому как давно считал, что образовательная система делает слишком большой упор на том, что известно, и слишком мало внимания уделяет тому, что неизвестно или даже не может быть познано. Большинство людей даже не осознают, как мало известно, сказал Гомори, потому что образовательная система представляет такой бесшовный, непротиворечивый взгляд на реальность. Все, что мы знаем о древних Персидских войнах, например, исходит из единственного источника — Геродота. Откуда нам знать, был ли Геродот точным репортером? Может, у него была неполная или неточная информация! Может, у него было предвзятое отношение или он что-то придумал! И мы этого никогда не узнаем!
В дальнейшем Гомори заметил, что марсианин, наблюдая за тем, как люди играют в шахматы, может быть способен точно вывести правила игры. Но может ли марсианин когда-либо быть уверенным, что это — истинные правила или единственные правила? Все с минуту размышляли над загадкой Гомори. Затем Кауффман стал рассуждать о том, как на нее мог бы ответить Виттгенштейн. Виттгенштейн стал бы «крайне страдать», сказал Кауффман, из-за того, что игроки в шахматы могут сделать ход — преднамеренно или нет, — который нарушает правила. В конце концов, как может марсианин сказать, был ли ход ошибочным или это результат другого правила?
— Вы меня понимаете? — спросил Кауффман у Гомори.
— Для начала я не знаю, кто такой Виттгенштейн, — раздраженно ответил Гомори.
Кауффман приподнял брови.
— Он был очень известным философом.
Они с Гомори неотрывно смотрели друг на друга, пока кто-то не сказал:
— Давайте оставим Виттгенштейна в покое.
Патрик Саппс (Patrick Suppes) , философ из Стэнфорда, все время прерывал дискуссию, чтобы указать, что Кант, обсуждая антиномии, предвидел практически все проблемы, с которыми борются участники семинара. В конце концов, когда Саппс привел еще одну антиномию, кто-кто крикнул:
— Не надо больше Канта!
Саппс запротестовал, что есть еще одна антиномия, которую он хочет упомянуть, действительно важная, но его коллеги не дали ему ничего сказать. (Несомненно, они не хотели, чтобы им напоминали, что в основном они просто заново утверждают, при помощи новомодного жаргона и метафор, доказательства, представленные давно, и не только Кантом, но даже древними греками.)
Чайтин, строча как пулемет, вернул разговор обратно к Геделю. Теоремы неполноты, утверждал Чайтин, это далеко не парадоксальный курьез с малым отношением к прогрессу математики или науки, как нравится считать некоторым математикам, а только одна часть множества глубоких проблем, поставленных математикой.
— Некоторые люди отвергают результаты Геделя как эксцентричные, патологические, происходящие из соотносящегося с самим собой парадокса, — сказал Чайтин. — Сам Гедель иногда беспокоился, что это был просто парадокс, созданный нашим использованием слов.
А теперь неполнота кажется такой естественной, что вы можете спросить, как мы, математики, вообще можем что-то сделать!
Работа самого Чайтина по алгоритмической теории информации предполагала, что, по мере того как математики будут обращаться к проблемам все увеличивающейся сложности, им придется продолжать пополнять свою базу аксиом; другими словами, чтобы знать больше, нужно больше предполагать. В результате, утверждал Чайтин, математике предстоит стать все более экспериментальной наукой с меньшими претензиями на абсолютную истину. Чайтин также установил, что так же, как и природа, математика состоит из фундаментальной неуверенности и беспорядочности. Он недавно нашел алгебраическое уравнение, которое может иметь бесконечное или конечное количество решений, в зависимости от значения переменных в уравнении.
— Обычно предполагается, что если люди думают, что нечто истинно, то это истинно в связи с чем-то.
В математике причина называется доказательством, а работа математика — это нахождение доказательств, причин, выводов из аксиом и принятых принципов. Они истинны случайно. И именно поэтому мы никогда не найдем истину: потому что нет истины, и нет причины, что эти доказательства истинны.
Чайтин также доказал, что никогда нельзя определить, является ли любая компьютерная программа самым возможно кратким методом решения проблемы; всегда возможно, что существуют более сжатые программы. (Это открытие подразумевает, как подтвердили и другие исследователи, что физики никогда не могут быть уверены в том, что нашли окончательную теорию, которая представляет самое компактное описание природы.) Чайтин явно наслаждался положением носителя таких ужасных известий. Он казался разрушителем, который крушит храм науки.
Касти ответил, что математики могут избежать эффектов Геделя, применяя простые формальные системы, такие как арифметика, состоящая только из сложений и вычитаний (но не умножений и делений). Недедуктивные системы рассуждений, добавил Касти, могут также обойти проблему; теоремы Геделя способны ввести в заблуждение, когда дело касается естественных наук.
Франциско Антонио «Чико» Дориа (Francisco Antonio «Chico» Doria) , бразильский математик, тоже считает анализ Чайтина слишком пессимистичным. Математические барьеры, идентифицированные Геделем, утверждает Дориа, далеки от того, чтобы привести математику к концу, они могут ее обогатить. Например, Дориа предположил, что, когда математики встречают явно нерешаемое утверждение, они могут создать две новые ветви математики: одну, которая предполагает, что предложение истинно, и другую, которая предполагает, что оно ложно.
— Вместо границы знания, — сделал вывод Дориа, — мы можем получить богатство знаний.
Слушая Дориа, Чайтин закатил глаза. Саппс тоже, казалось, сомневался. Неожиданное предположение, что нерешаемые математические утверждения истинны или ложны, заявил Саппс, подобно «преимуществу кражи над честным тяжелым трудом». Он приписал свое мудрое изречение кому-то знаменитому.
Разговор продолжал менять направление — словно в странном аттракторе — к одной из любимых тем философствующих математиков и физиков: проблеме континуума. Реальность непрерывна или дискретна? Аналоговая или цифровая? Как лучше описывать мир — так называемыми вещественными числами, которые могут быть поделены на актуально бесконечно малые величины, или целыми числами? Физики от Ньютона до Эйнштейна полагались на вещественные числа. Но квантовая механика предполагает, что материя и энергия, а возможно, даже время и пространство (в очень малых диапазонах), появляются в состоящих из частей неделимых кусках. Компьютеры также представляют всё как целые числа: единицы и нули.
Чайтин охарактеризовал вещественные числа как чушь, точность которых, учитывая размытость мира, — обман.
— Физики знают, что каждое уравнение — ложь, — объявил он.
Кто-то возразил цитатой из Пикассо: «Искусство — это ложь, которая помогает нам видеть истину».
Конечно, вещественные числа — это абстракции, включился Трауб, но это очень мощные и эффективные абстракции. Математическая модель схватывает суть явления. Никто не притворяется, что она охватывает все его целиком.
Саппс проследовал к доске и написал несколько уравнений, которые, как ему казалось, могут исключить проблему континуума раз и навсегда. На слушателей это не произвело впечатления. (Это, подумал я, главная проблема философии: никто на самом деле не хочет, чтобы философские проблемы решались, потому что тогда у них не будет, о чем говорить.)
Другие участники отметили, что ученые сталкиваются с преградами к знаниям, гораздо менее абстрактными, чем неполнота, нерешаемость, континуум и так далее. Одним из них был Пит Хат (Piet Hut) , голландский астрофизик из Института специальных исследований. Он сказал, что при помощи мощных статистических методов и компьютеров они с коллегами-астрофизиками узнали, как преодолеть печально известную проблему N-тел, в соответствии с которой невозможно предсказать курс трех или более гравитационно взаимодействующих тел. Компьютеры теперь могут моделировать эволюцию целых галактик, включающих миллиарды звезд и даже галактических скоплений.
Но, добавил Хат, астрономы сталкиваются с другими границами, которые кажутся непреодолимыми. У них есть только одна Вселенная для изучения, так что они не могут проводить на ней контролируемые эксперименты. Космологи могут проследить историю Вселенной только до определенного момента, и они никогда не узнают, что предшествовало Большому Взрыву или что существует за границами Вселенной, если вообще что-то существует. Более того, физиков частиц, возможно, ждут трудности при тестировании теорий (например, тех, которые включают в себя суперструны), которые сочетают силу тяжести и другие силы природы, потому что эффекты становятся очевидными только на дистанционных шкалах и энергиях, находящихся за рамками какого-либо ускорителя из тех, которые можно себе представить.
Подобная пессимистическая нота прозвучала и в заявлении Рольфа Ландауэра (Rolf Landauer) , физика из «IBM» и пионера изучения физических границ вычислений. Ландауэр говорил с немецким акцентом, его голос походил на рычание, и это еще более подчеркивало его чувство юмора. Когда один выступающий постоянно мешал ему демонстрировать слайды, Ландауэр рявкнул:
— Хотя ваши речи и могут быть прозрачными, сами-то вы непрозрачны!
Ландауэр доказывал, что ученые не могут рассчитывать на бесконечное увеличение мощности компьютеров. Он допускал, что многие из предполагаемых сдерживающих моментов физики, которые, как когда-то думали, навязываются вычислениям вторым началом термодинамики или квантовой механикой, показали, что являются ложными. С другой стороны, стоимость производства компьютеров так быстро увеличивалась, что это угрожало остановить спад в цене вычислений, длившийся десятилетиями. Ландауэр также сомневался, смогут ли создатели компьютеров вскоре обуздать экзотические квантовые эффекты, такие, как суперпозиция — способность квантовой сущности быть в более, чем одном состоянии одновременно — и таким образом превзойти способности современных компьютеров, как предположили некоторые теоретики. Подобные системы окажутся такими чувствительными к несущественным перебоям на квантовом уровне, что они будут фактически ничтожными, доказывал Ландауэр.
Брайан Артур (Brian Arthur) , экономист из Института Санта-Фе, говоривший с мелодичным ирландским акцентом, увел дискуссию в область экономики. Пытаясь предсказать, как будет вести себя биржевой рынок, сказал он, инвестор должен строить прогнозы на том, как другие догадаются, какие выводы сделали остальные — и так далее, до бесконечности. Экономическому коему присуща субъективность, он психологичен и, следовательно, непредсказуем; неопределимость «просачивается сквозь систему». Как только экономисты попробуют упростить свои модели — предполагая, что у инвесторов может быть идеальное знание рынка или что цены представляют некое истинное значение, — модели станут нереалистичными; два экономиста, очень компетентные и умные, придут к различным решениям об одной и той же системе. Все, что на самом деле могут сделать экономисты, — это сказать: «Ну, может быть так, а может и этак». С другой стороны, добавил Артур, «если вы сделали деньги, играя на рынке, то все экономисты будут к вам прислушиваться».
Затем Кауффман повторил то, что сказал Артур, но более абстрактно. Люди — это «агенты», которые могут бесконечно настраивать свои «внутренние модели» в ответ на понятые настройки внешних моделей других агентов, таким образом создавая «комплексный, совместно адаптирующийся пейзаж».
Нахмурившись, Ландауэр вставил, что есть гораздо более очевидные причины того, что экономические явления невозможно предсказать, чем эти субъективные факторы. СПИД, третья мировая война, даже диарея главного аналитика огромного совместного фонда могут оказать сильное влияние на экономику, сказал он. Какая модель может предсказать эти события?
Роджер Шепард (Roger Shepard) , физиолог из Стэнфорда, который все время слушал молча, наконец решил поучаствовать в обсуждении. Шепард казался слегка меланхоличным. Это могло быть иллюзией, которую создавали его свисающие усы цвета спелой ржи, — или очень реальным побочным продуктом его увлечения вопросами, на которые нет ответов. Шепард признал, что он пришел сюда для того, чтобы узнать, обнаруживаются ли или изобретаются научные и математические истины. Он в последнее время также много думал о том, существуют ли на самом деле научные знания, и пришел к выводу, что они не могут существовать независимо от человеческого разума. Учебник по физике, если нет человека, который будет его читать, — это просто бумага и капли краски. Но встает вопрос, который Шепард считал волнующим. Кажется, что наука становится все более и более сложной и таким образом все более и более сложной для понимания. Кажется вполне возможным, что в будущем некоторые научные теории, такие, как теория человеческого разума, будут слишком сложными для понимания даже самыми выдающимися учеными.
— Может, я старомоден, — сказал Шепард, но если теория настолько сложна, что ни один человек не может ее понять, какое удовлетворение от нее мы можем получить?
Трауба тоже беспокоил этот вопрос. Мы, люди, можем верить в «бритву Оккама» — принцип, утверждающий, что лучшие теории — это самые простые теории, потому что они являются единственными, которые могут быть поняты нашими скромными умами. Но, может, компьютеры не подвержены этому ограничению, добавил Трауб. Возможно, компьютеры станут учеными будущего.
В биологии, заметил кто-то мрачно, «„бритва Оккама" режет вам глотку».
Гомори отметил, что задача науки — это найти те ниши в реальности, которые позволяют себя понять, учитывая, что мир, в основном, не может быть понят. Один из способов сделать мир более понятным, предположил Гомори, это сделать его более искусственным, поскольку искусственные системы имеют тенденцию быть более понятными и предсказуемыми, чем естественные. Например, чтобы сделать предсказания погоды более легкими, общество может окружить мир прозрачным куполом.
Все на мгновение уставились на Гомори. Затем Трауб заметил:
— Я думаю, что Ральф говорит, что проще создать будущее, чем предсказать его.
По мере того как дискуссия развивалась, Отто Росслер (Otto Rossler) говорил со все большим смыслом. Или все остальные говорили с меньшим? Росслер — биохимик и теоретик хаоса из Тюбингенского университета в Германии, открывший в середине семидесятых математический монстр под названием аттрактор Росслера. Его седые волосы были постоянно растрепаны, как будто он только что вышел из транса. Он был очень похож на марионетку: удивленные глаза, выпяченная вперед нижняя губа, подбородок в форме луковицы, прочерченный глубокими вертикальными морщинами. Ни я и никто другой, как я подозреваю, не мог полностью понять его, но все поворачивались к нему, когда он громким шепотом и заикаясь делал свои заявления.