которую имеет молекула, обладающая средним для всех частиц значением энергии Вырожденный газ. При увеличении числа частиц в идеальном газе их распределение по скоростям сохраняет форму прерывистой кривой на рис. 87, б. Растет только площадь, ограничиваемая этой кривой: она пропорциональна полному числу частиц. Однако когда количество частиц в заданном интервале скоростей оказывается слишком большим, наступает ограничение, накладываемое законами квантовой механики, называемое вырождением. Оно связано с тем, что импульсы частиц могут принимать только дискретные значения, а слишком близких частиц с одинаковыми импульсами быть не может (принцип Паули). Поэтому начиная с некоторых значений плотности (при T = 107 °K это 103 г/см3), дальнейшее ее увеличение происходит за счет пополнения области более быстрых частиц. При полном вырождении распределение становится плоским (сплошная кривая на рис. 87,6). Тем самым суммарный импульс единицы объема (т.е. давление) перестает зависеть от температуры и определяется только концентрацией частиц (т.е. плотностью). Скорость частиц, следовательно, также растет с плотностью. В квантовой статистике для уравнения состояния вырожденного газа вместо формулы (7.9) получается зависимость Р ~ r 5/3. Понятие об элементарных процессах. В астрофизике особое значение имеет анализ так называемых элементарных процессов, связанных с изменением энергии атомов, позволяющий установить зависимость между тепловой энергией газа и его излучением. Прежде всего важно знать, как часто сталкиваются между собой частицы газа. Сначала рассмотрим упрощенный случай: движется одна большая молекула, имеющая вид шарика с поперечным сечением s , а все остальные можно считать неподвижными точками. Пусть при этом взаимодействия происходят всякий раз, когда на пути большой молекулы. встречается какая-нибудь другая. Тогда она может двигаться без столкновения только до тех пор, пока не пройдет свободного объема, приходящегося на одну частицу. Если концентрация молекул п частиц/см3, то на каждую из них в среднем приходится объем пространства см3. Частица с поперечным сечением s, двигаясь со скоростью v*, пройдет такой объем за время
(7.17)
Это дает средний промежуток времени между двумя последовательными столкновениями. Обратная величина показывает, сколько столкновений происходит в среднем за 1 сек, и называется частотой столкновений
N = nv*s .(7.18)
Путь, проходимый частицей между последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега, которая, очевидно, равна
(7.19)
Так как остальные частицы в среднем тоже имеют поперечники s , а площадь пропорциональна квадрату радиуса, то вместо s в выведенные формулы надо подставить величину в 4 раза большую. Кроме того, учет движений всех частиц, если они одинаковы, дает увеличение еще в раз. Однако мы не будем вводить этих уточнений в полученные выше формулы, так как гораздо существеннее, что для микрочастиц (атомы, ионы, свободные электроны) представление о геометрических размерах вообще теряет смысл. Поэтому формулы (7.17)-(7.19) имеют смысл только в том случае, если под величиной а понимать лишь некоторый параметр, характеризующий вероятность того, что произойдет сближение рассматриваемых частиц, которое завершится данным явлением. Таким явлением может, например, быть упругое столкновение с простым перераспределением кинетической энергии, или столкновение, при котором определенным образом произойдет изменение внутренней энергии молекулы или атома и т.д. Как мы видим, этот параметр имеет размерность площади и потому называется эффективным сечением. Он показывает, что в данном процессе рассматриваемая частица ведет себя так же, как если бы она имела геометрический поперечник s, а частицы, с которыми она взаимодействует, - были бы неподвижными точками. Так, например, для столкновений молекул в воздухе при обычных условиях эффективное сечение около 10-14 см2. Свободные электроны в газе при высоких температурах, сталкиваясь с нейтральными атомами, могут отрывать от них электроны (ионизовать). Эффективное сечение этого процесса при температуре 10 000° для водорода порядка 10-16 см2. Встретив ионизованный атом, свободный электрон может быть захвачен им и вернуться на прежнее место (рекомбинация). Для этого процесса эффективное сечение при тех же значениях температуры порядка 10-21 см2. Чтобы пользоваться формулами (7.17)-(7.19), надо предварительно по формуле (7.14) вычислить наиболее вероятную скорость v*, которую имеет рассматриваемая частица при данной температуре. Молекулы воздуха движутся в среднем со скоростью 400 м/сек, а водородные атомы при температуре 10 000 °K - со скоростью около 10 км/сек. Средняя энергия частиц одинакова. Поэтому более легкие свободные электроны движутся в 37 раз быстрее атомов водорода. При нормальных условиях в воздухе столкновения очень часты (около десяти миллиардов в секунду), а длина свободного пробега составляет сотые доли микрона. Однако в некоторых космических условиях, например, во внешних слоях атмосфер звезд, длина свободного пробега значительно больше и может достигать сантиметров, а в туманностях газ настолько разрежен, что столкновения частиц могут происходить раз в десятки и сотни лет. За это время частицы успевают совершить огромные пробеги в десятки астрономических единиц.
§105. Ослабление света при прохождении сквозь вещество
Поглощающие свойства среды принято характеризовать оптической толщиной t, под которой понимается натуральный логарифм отношения светового потока до прохождения через рассматриваемый слой и после прохождения сквозь него:
(7.20)
(Десятичный логарифм того же отношения, т.е. называют оптической плотностью.) Из этого определения следует, что после прохождения слоя с оптической толщиной t световой поток, а также интенсивность I уменьшаются в et раз, т.е.
F = F0e-t(7.21)
и
I = I0e-t(7.22)
где е = 2,718...- основание натуральных логарифмов. В частности, если измерять ослабление света в звездных величинах, то, сравнивая выражения (7.8) и (7.20), получаем ослабление света, выраженное в звездных величинах:
Dm = 1,08t.(7.23)
Оптическая толщина нескольких параллельных слоев равна сумме их оптических толщин. Действительно, если имеется, например, два параллельных слоя с оптическими толщинами t 1 и t 2, причем первый из потока F0 пропускает F1 , а второй из F1 - его часть F2 , то согласно определению
и
В результате последовательного прохождения сквозь оба слоя поток F0 уменьшается до величины F2 , так что общая оптическая толщина обоих слоев равна
(7.24)
То же самое легко доказать и для нескольких слоев. Как частный случай, отсюда следует, что для однородной среды, которую, очевидно, можно разбить на множество одинаковых слоев, оптическая толщина пропорциональна геометрической толщине. Как видно из формулы (7.22), при прохождении сквозь слой с оптической толщиной t = 1 свет ослабляется в е = 2,718 раз. При t , заметно большем 1, слой становится сильно непрозрачным (оптически толстым). Так, например, слой с t = 3 пропускает лишь 5% падающего на него света. Слой, оптическая толщина которого t < 1, называется оптически тонким. Разлагая в ряд правую часть формулы (7.22), получаем для малых t
I = I0(1 - t ),(7.25)
откуда следует, что оптическая толщина тонкого слоя равна относительному уменьшению интенсивности проходящего сквозь него излучения, т.е.
(7.26)
С другой стороны, для поглощенной энергии пропорциональна массе q, приходящейся на 1 см2 поверхности поглощающего слоя. Если оптической толщине t соответствует геометрическая l, то
(7.27)
где k - коэффициент поглощения, рассчитанный на 1 г вещества, r - плотность. Коэффициент поглощения можно рассматривать как оптическую толщину такого слоя вещества, на каждый квадратный сантиметр которого приходится масса в 1 г. Действительно,
(7.28)
Заметим, что выражение
t = k r l(7.29)
часто рассматривают как определение оптической толщины. Из формулы (7.20) следует, что оптическая толщина является величиной безразмерной. Следовательно, коэффициент поглощения k в формуле (7.29) имеет размерность cм2/г. Чтобы выяснить физический смысл этого результата, примем за единицу массы массу одной частицы (или отдельного атома) поглощающего вещества. Тогда масса q численно равна количеству атомов в столбике вещества сечением в 1 см2 и длиной l. Если обозначить через п см -2 число частиц в 1 см3 (концентрацию), то Q = п× l и
t = kа п1,(7.30)
где kа - коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом. Как видно из этой формулы, коэффициент поглощения, рассчитанный на одну частицу, имеет размерность площади. Если бы поглощающее действие атома можно было рассматривать как геометрическое экранирование проходящего излучения, то kа было бы площадью экранчика, действие которого эквивалентно поглощению излучения одной частицей. Возьмем теперь слой вещества такой толщины l, чтобы t = 1. Тогда площадь всех “экранчиков”, проектирующихся на каждый квадратный сантиметр поверхности этого слоя, будет равна 1 см2. Предположим, что такое поглощение вызывается экранирующим действием частиц (например, пылинок) с площадью поперечного сечения 10-8 см2. Тогда сразу получаем, что в столбе сечением в 1 см2 на луче зрения находится 108 таких пылинок. Если известна к тому же геометрическая толщина поглощающего слоя, то можно найти концентрацию частиц п в 1 см3. Это представление аналогично понятию эффективного сечения, рассмотренному в § 104. Оно также может быть использовано для нахождения количества поглощающих атомов. Однако следует иметь в виду, что в этом случае аналогия с “экранчиками” лишена физического смысла, ибо поглощающие свойства атомов определяются внутренней их энергией. Для сравнения укажем, что коэффициент поглощения kа , например, атома водорода, находящегося в основном состоянии в условиях атмосферы звезды, составляет около 10-13 см2 причем это поглощение происходит в узкой области спектра, называемой спектральной линией. В непрерывном спектре поглощение на 4 порядка меньше.
§ 106. Свойства излучения и основы спектрального анализа
Анализ изучения - наиболее важный астрофизический метод; с его помощью получена основная часть наших знаний о космических объектах. Тепловое излучение. Всякое, даже слабо нагретое тело излучает электромагнитные волны (тепловое излучение). Однако при низких температурах, не превышающих 1000 °К, излучаются главным образом инфракрасные лучи и радиоволны. По мере дальнейшего нагревания спектр теплового излучения меняется: во-первых, увеличивается общее количество излучаемой энергии, во-вторых, появляются лучи все более и более коротких длин волн - видимые (от красных до фиолетовых), ультрафиолетовые, рентгеновские и т.д. При каждом данном значении температуры нагретое тело излучает сильнее всего в некоторой области спектра, определяющей видимый цвет объекта. Так, например, при температуре 2000°, как правило, наиболее интенсивно излучаются красные лучи, при 6000° - желто-зеленые, а при более высоких температурах (10 000-20 000°) голубые, синие и фиолетовые лучи. Однако точное распределение энергии и конкретный вид спектра в общем случае зависят не только от температуры, но и от химического состава и физического состояния светящегося тела. Излучение абсолютно черного тела. Особую роль играет один частный случай, для которого законы теплового излучения имеют наиболее простой вид. Если излучающее тело полностью изолировать от окружающей среды идеально теплонепроницаемыми стенками, то после того как всюду в его пределах температура станет одинаковой, оно придет в состояние теплового равновесия (термодинамического равновесия). В этом случае его излучение определяется только температурой и называется равновесным. Фактически подобные условия нигде не осуществляются, так как нет идеальных теплоизоляторов. Однако часто встречаются условия, близкие к термодинамическому равновесию, например, когда излучающее тело, скажем, внутренние слои звезды, окружено сильно непрозрачным слоем газа - атмосферой. Тело, находящееся в условиях термодинамического равновесия, называется абсолютно черным : поскольку оно не может терять своей тепловой энергии, оно полностью поглощает всякое излучение. Излучательная способность абсолютно черного тела может быть вычислена по формуле Планка или
(7.31)
Излучательная способность el определяется так, что произведение el dl равно потоку, излучаемому 1 см2 поверхности тела по всем направлениям, в интервале спектра от l до l + dl . Поэтому ее размерность составляет эрг/см2× сек× см = эрг/см3× сек. Если выражение (7.31) разделить на p, то получится яркость излучающей поверхности. Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела, описываемое формулой Планка, графически изображено на рис. 91 (стр. 223) для нескольких значений температур. Из этого рисунка видно, что все планковские кривые имеют заметно выраженный максимум, приходящийся на длину волны
(7.32)
если ее выражать в сантиметрах. Это закон смещения максимума излучения Вина: с увеличением температуры максимум излучения абсолютно черного тела смещается в коротковолновую область спектра. По мере увеличения температуры меняется не только цвет излучения, но и его мощность. Мощность излучения абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени температуры (закон Стефана - Больцмана). Каждый квадратный сантиметр поверхности абсолютно черного тела излучает за 1 сек по всем направлениям во всех длинах волн энергию
e = sT 4, (7.33)
где s = 5,67×10 -5 эрг/сек× см2× град4 - постоянная Стефана - Больцмана. Поскольку e дает поток излучения, оно имеет размерность эрг/см2× сек и численно равно площади, ограниченной кривой Планка и осью абсцисс. По обе стороны от максимума Излучательная способность, описываемая формулой Планка, убывает по-разному. В области коротких волн (фиолетовый конец спектра) знаменатель второго сомножителя в формуле Планка велик, и единицей можно пренебречь. Тогда получаем формулу Вина
(7.34)
описывающую очень крутое падение излучательной способности у фиолетового конца спектра. На противоположном конце спектра (инфракрасные и радиоволны) падение излучательной способности с длиной волны происходит значительно медленнее, так как при больших l .
и формула Планка переходит в формулу Рэлея - Джинса
(7.35)
Таким образом, в длинноволновой части спектра излучательная способность пропорциональна температуре. Эта формула используется в радиоастрономии для характеристики космического радиоизлучения. Пропорциональность потока излучения температуре позволяет выражать интенсивность наблюдаемого радиоизлучения через температуру абсолютно черного тела, имеющего такую же лучеиспускательную способность. Доля излучения, поглощаемая данным телом в некотором участке спектра, называется поглощательной способностью (или коэффициентом поглощения) и обозначается kl . По определению, поглощательная способность абсолютно черного тела kl = 1. Поэтому для абсолютно черного тела отношение излучательной и поглощательной способности равно функции Планка. Это хорошо известный закон Кирхгофа: для излучения с данной длиной волны отношение излучательной и поглощательной способности абсолютно черного тела зависит только от температуры. Элементарные процессы излучения и поглощения. Разреженные газы (например, часто встречающиеся в Млечном Пути диффузные туманности) дают линейчатые спектры, в которых излучение сосредоточено в узких участках - ярких спектральных линиях, характеризующихся определенными значениями длин волн. Расположение и количество спектральных линий в различных участках спектра зависит от химического состава излучающего газа, а также от его температуры и плотности. Каждая спектральная линия излучается атомом какого-либо одного химического элемента, обладающего определенным запасом внутренней энергии. Такой атом называется возбужденным. Энергию своего возбуждения атомы черпают как за счет излучения, которое они способны поглощать, так и из кинетической энергии частиц, с которыми они постоянно сталкиваются. Атом каждого химического элемента имеет бесконечное множество строго определенных (дискретных) значений внутренней энергии, характерных только для данного рода атомов. Эти дискретные значения внутренней потенциальной энергии называются энергетическими уровнями. Как правило, атом находится в возбужденном состоянии в течение всего лишь сотых долей микросекунды, после чего он спонтанно (самопроизвольно) переходит в состояние с меньшей энергией, излучая всю или часть потенциальной энергии в виде кванта электромагнитного излучения. Энергия этого кванта равна разности энергий исходного и конечного состояний. Из-за дискретности последних при переходах между определенными энергетическими уровнями всегда излучаются кванты в одних и тех же спектральных линиях. Таким образом, возникновение линейчатых спектров связано с беспрестанно меняющейся внутренней энергией атомов, то поглощающих, то вновь излучающих энергию. Изменение внутренней энергии атома связано с наличием у него одного или нескольких электронов. Поэтому условно иногда говорят, что при излучении или поглощении электрон в атоме “переходит” с одного энергетического уровня на другой. Хотя это выражение не вполне точно (можно говорить только об энергии всей системы атома и связанных с ним электронов), оно оправдывается тем, что при некотором критическом значении внутренней энергии электрон отрывается от атома и начинает двигаться как свободная частица. Этот процесс называется ионизацией, а критическое значение энергии - энергией ионизации. Как и возбуждение, ионизация может вызываться либо столкновением с какой-нибудь быстрой частицей, либо поглощением достаточно мощного светового кванта (например, ультрафиолетовых лучей). Если энергия ионизующей частицы или кванта превышает энергию ионизации, то оторванный электрон получает вдобавок остаток этой энергии в виде кинетической энергии своего свободного движения. Это является причиной, например, того, что горячие звезды, излучающие много ультрафиолетовых квантов, нагревают вокруг себя газ: каждый мощный квант, поглощенный нейтральным атомом, не только ионизует его, но и придает электрону большую скорость; сталкиваясь с другими свободными частицами, оторванные электроны отдают им часть своей кинетической энергии, нагревая тем самым газ. В частично ионизованном газе (плазме) присутствуют, помимо фотонов (т.е. излучения), частицы по крайней мере трех типов: нейтральные атомы, ионы и свободные электроны. Все многообразие элементарных атомных процессов, часто сопровождающихся поглощением и излучением квантов, сводится к взаимодействию между этими частицами, в котором излучение также принимает участие. Помимо ионизации, столкновения электронов с нейтральными атомами могут приводить либо к увеличению их внутренней энергии (возбуждению), либо к ее уменьшению, не сопровождаемому излучением (дезактивация). Излучение также может вызывать увеличение энергии электрона (возбуждение светом - фотовозбуждение или фотоионизацию), или ее уменьшение, как, например, при вынужденном излучении, когда атом избавляется от своей энергии под влиянием “пролетающего” мимо него светового кванта. Встречаясь с ионом, электрон может вернуться “на место” в связанное с атомом состояние, выделяя при этом квант с энергией, равной сумме своей кинетической энергии и энергии ионизации. В результате такой рекомбинации возникает другой важный тип излучения, имеющий непрерывный (сплошной) спектр. В отличие от линейчатого, в нем интенсивность плавно меняется в пределах большой области. Медленные электроны, скорость которых близка к нулю, рекомбинируя, образуют кванты с энергиями, близкими к энергии ионизации. Все остальные электроны, имеющие большие скорости, дают более коротковолновое излучение. Поэтому непрерывное излучение, образующееся при рекомбинации свободных электронов на каждый Данный энергетический уровень атома, имеет резкую границу с красного конца спектра. В коротковолновой области оно постепенно ослабевает. Это связано с тем, что более мощные кванты возникают при рекомбинации более быстрых электронов, количества которых при данной температуре газа, как мы видели, экспоненциально убывает. Непрерывный спектр (континуум) в виде слабого фона наблюдается в спектрах наиболее плотных и ярких туманностей, в которых велика общая масса светящегося газа. Излучение реальных тел. Закон Планка описывает лишь излучение абсолютно черного тела. Излучение реальных тел отличается от планковского, причем в некоторых случаях весьма существенно. Это отличие особенно сильно проявляется в излучении разреженных прозрачных газов уже упоминавшихся диффузных туманностей. Они имеют линейчатый эмиссионный спектр, состоящий из ярких линий излучения. Очевидно, что пока излучающий слой газа прозрачен, яркость линий пропорциональна количеству вещества на луче зрения r l . Обозначая яркость через I (интенсивность), а коэффициент излучения через e , получим
I = e r l.(7.36)
Принимая во внимание определяющее выражение (7.29), получаем, что излучение оптически тонкого слоя пропорционально его оптической толщине:
(7.37)