Известно, что обычный человеческий глаз способен различить две точки, находящиеся на угловом расстоянии 1'. В случае особо острого зрения глаз может различить точки на угловом расстоянии 30''. Дело в том, что характерный размер колбочек в центре глазного дна соответствует 24''. Поэтому покрытие звезды планетой, то есть их "совпадение", фактически означает, что угловое расстояние между ними при взгляде с Земли составляет около 1'.
Современная теория позволяет вычислять положения Венеры и Марса в прошлом с точностью до 1' по широте, на интересующем нас историческом интервале времени. Точность вычисления долготы движущихся Марса и Венеры составляет около 3'. Этого достаточно, так как именно значение широты определяет сам факт накрытия звезды планетой. Дело в том, что долгота планеты меняется быстро, по сравнению с широтой. Локально долготу можно считать пропорциональной времени. Тем самым, небольшая неточность в определении долготы приводит лишь к небольшой неточности в определении момента покрытия звезды планетой. Поэтому в случае Венеры и Марса покрытия, описанные Птолемеем, могут быть точно рассчитаны на базе современной теории.
Теория движения Юпитера и Сатурна сложнее и несколько менее точна, чем в случае Венеры и Марса. В.К.Абалакин резонно пишет: "Что касается внешних планет - Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна, Плутона... средние элементы орбит [этих планет] отнюдь не могут быть использованы для решения проблемы устойчивости и служить в течение миллионов лет... [Они] пригодны в течение нескольких столетий до и после нынешней эпохи" [457], с.302.
Однако ситуация с Альмагестом такова, что для Юпитера и Сатурна мы и не нуждаемся в исключительно точных формулах. Дело в том, что, согласно Альмагесту, наблюдение Сатурна имеет лишь вспомогательное значение, поскольку Сатурн не накрыл звезду, а оказался лишь в неких "двух единицах" от нее. Вопрос же о том, что понимал Птолемей под "единицей" в данном контексте, не совсем ясен. Поэтому вычисления положений Сатурна с точностью до 1' в нашем случае бессмысленны.
Что касается Юпитера, то хотя Птолемей и утверждает, что "Юпитер накрыл звезду", расчеты по современной теории показывают, что на самом деле Юпитер не приближался на всем историческом интервале к данной звезде меньше чем на 15'. Поэтому имеет смысл искать лишь моменты сближения Юпитера с $\delta$ Рака на расстояние примерно 15'-20'. Для этой цели также не нужна повышенная точность формул. Нам вполне достаточно той точности, которая гарантирована современной теорией.
Как Птолемей локализует во времени эти четыре накрытия звезд движущимися планетами? Универсальной эрой для Птолемея является эра Набонассара [439]. Как правило, он пересчитывает те или иные датировки древних наблюдений на эту эру. Как мы уже видели, согласно Птолемею, интервалы между накрытиями таковы:
а) Между накрытиями Венерой и Марсом - не более одного года: 476 год и 476 год. Если же "вариант с опечаткой" на самом деле опечаткой не является, то интервал составит 70 лет: 476-406=70.
б) Между накрытиями Марсом и Юпитером - 32 года про эре Дионисия: 45-13=32. Либо около 31 года, если считать по эре Александра: 83-52=31.
в) Между накрытиями Юпитером и Сатурном - около 11 лет: 519-508=11.
Накрытие звезды Юпитером произошло, согласно Птолемею, в 508 году Набонассара. Это легко следует из првиеденных выше данных.
Итак, поставим точную математическую задачу. См. Требуется найти конфигурацию астрономических событий, показанную на рис.1.40.
С какой точностью необходимо удовлетворить перечисленным выше временны'м интервалам между покрытиями звезд планетами? Ясно, что необходим допуск НЕ МЕНЕЕ ДВУХ ЛЕТ, поскольку использовалось приведение всех дат к одной и той же эре. При этом, пересчитывая формально, мы можем получить естественную ошибку в 1-2 года уже только за счет того, что разные эры иногда использовали РАЗЛИЧНОЕ НАЧАЛО ГОДА. Известно, что начало года полагали на март, август, сентябрь, октябрь, январь. Использовали даже переменное начало года [265], [266]. Для интервала между соседними наблюдениями мы взяли в качестве допуска 4 года. То есть, обнаруженный интервал не должен отличаться от "птолемеевского" более чем на 4 года.
Теперь сформулируем полученный нами ответ, результат вычислений по средним элементам.
НА ИСТОРИЧЕСКОМ ИНТЕРВАЛЕ ОТ 500 ГОДА ДО Н.Э. ВПЛОТЬ ДО 1700 ГОДА Н.Э. СУЩЕСТВУЮТ ТОЛЬКО ТРИ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ВЫШЕ АСТРОНОМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ. См. рис.1.41. ЭТИ РЕШЕНИЯ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ТОЧНЫМИ, ОНИ ПРИБЛИЖЕННЫЕ.
ПЕРВОЕ РЕШЕНИЕ, СРЕДНЕВЕКОВОЕ, X-XI ВЕКА.
1(а). В 960 году н.э. 18 октября, Венера накрыла звезду $\eta$ Девы. Расчетное расстояние составляет в этом случае 1'-2'.
1(б). В "варианте с опечаткой" (см. выше) искомое накрытие Венерой звезды $\eta$ Девы произошло в 887 году н.э., 9 сентября. Расчетное расстояние между ними меньше 1'. Однако здесь условия наблюдения были плохими.
1(в). В "варианте с опечаткой" возможен и другой вариант решения. А именно, искомое накрытие звезды Венерой произошло через год, в 888 году н.э., 21 октября. Расчетное расстояние между ними составляет здесь менее 5'.
2) В 959 году н.э., 14 февраля, Марс "покрыл" звезду $\beta$ Скорпиона. Расчетное расстояние между ними составляет $15'$.
3) В 994 году н.э., 25 июля, Юпитер приблизился к звезде $\delta$ Рака на расстояние приблизительно 15'. Кстати, это расстояние близко к минимально возможному между Юпитером и $\delta$ Рака в рассматриваемом интервале времени.
4) В 1009 году н.э., 16 августа, Сатурн оказался на расстоянии 25'-30' от звезды $\gamma$ Девы, причем ниже ее.
Для первого решения допуск в интервалах между следующими друг за другом наблюдениями по сравнению с птолемеевскими интервалами составляет не более 4 лет, если рассматривать все указанные по Птолемею расстояния в годах. В самом деле:
а) Между накрытиями Венеры и Марса интервал составляет 1 год, а именно: 960 год н.э. (Венера) и 959 год н.э. (Марс). А нужно было не более одного года с точностью до 4 лет.
б) Между накрытиями Марса и Юпитера интервал составляет 35 лет: 959 год н.э. (Марс) и 994 год н.э. (Юпитер). А нужно было 31 или 32 года с точностью до 4 лет.
в) Между накрытиями Юпитера и Сатурна интервал составляет 15 лет: 994 год н.э. (Юпитер) и 1009 год н.э. (Сатурн). А нужно было 11 лет, с точностью до 4 лет.
ВТОРОЕ РЕШЕНИЕ - "ТРАДИЦИОННОЕ", III ВЕК ДО Н.Э.
Оно приведено также в книге Р.Ньютона [156], с.335.
1) В ночь с 11 на 12 октября 272 года до н.э. (то есть в -271 году) Венера "приблизилась" к звезде $\eta$ Девы. Расстояние между Венерой и звездой при этом было около 1'-3'.
2) Утро 18 или утро 16 января 272 года до н.э. (то есть в -271 году) Марс "приблизился" к звезде $\beta$ Скорпиона. Однако, как отмечает Р.Ньютон, утром 18 января "в момент наблюдения Марса планета находилась примерно в 50' от $\beta$ Скорпиона [АРО, раздел XI.4], И ВРЯД ЛИ ТАКОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ НАЗВАЛИ БЫ КАСАНИЕМ. Но Марс и звезда почти касались друг друга утром 16 января -271 г., так что, возможно, БЫЛА НЕВЕРНО ЗАПИСАНА ДАТА, или же Птолемей НЕПРАВИЛЬНО ПРОЧЕЛ ЕЕ" [156], с.312, комментарий 3. На самом деле расстояние между Марсом и звездой 18 января 272 года до н.э. было около 50'-55', а 16 января - более 15', а именно, около 17'-18'. Так что Р.Ньютон справедливо относится к этому решению как к сомнительному.
3) Утром 4 сентября 241 года до н.э. Юпитер "приблизился" к звезде $\delta$ Рака. Однако расчеты показывают, что расстояние между Юпитером и звездой было тогда более 25'.
4) 1 марта 229 года до н.э. Сатурн был на расстоянии около 30' от звезды $\gamma$ Девы.
Все приведенные даты даны по юлианскому календарю с началом года 1 января.
В "античном" решении интервалы между накрытиями таковы: накрытия Марса и Венеры произошли в один и тот же год, между накрытиями Марса и Юпитера прошел 31 год, а между накрытиями Юпитера и Сатурна прошло 12 лет.
ТРЕТЬЕ РЕШЕНИЕ, ПОЗДНЕСРЕДНЕВЕКОВОЕ, XV-XVI ВЕКА.
1) В 1496 году н.э. 19 сентября, Венера накрыла звезду $\eta$ Девы. Расчетное расстояние составляет в этом случае около 1'.
2) В 1497 году н.э., 19 января, Марс накрыл звезду $\beta$ Скорпиона. Расчетное расстояние между ними составляет около 15'.
3) В 1528 году н.э., 3 июля, Юпитер приблизился к звезде $\delta$ Рака на расстояние приблизительно 25'.
4) В 1539 году н.э., 5 сентября, Сатурн оказался на расстоянии около 30' от звезды $\gamma$ Девы, причем ниже ее.
Для поздне-средневекового решения XV-XVI веков допуск в интервалах между следующими друг за другом наблюдениями по сравнению с птолемеевскими интервалами составляет не более 1 года. С ТОЧНОСТИ ЗРЕНИЯ ВРЕМЕННЫ'Х ИНТЕРВАЛОВ МЕЖДУ ПОКРЫТИЯМИ, ЭТО РЕШЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ НАИЛУЧШИМ ИЗ ВСЕХ ТРЕХ, ОНО ИДЕАЛЬНО. В самом деле:
а) Интервал между накрытиями Венерой и Марсом составляет всего четыре месяца, а именно: 19 сентября 1496 года н.э. для Венеры и 19 января 1497 года н.э. для Марса. То есть меньше года. А нужно было, по Птолемею, не более одного года.
б) Между накрытиями Марса и Юпитера интервал составляет 31 год: 1497 год н.э. для Марса и 1528 год н.э. для Юпитера. А нужно было, по Птолемею, 31 или 32 года.
в) Между накрытиями Юпитера и Сатурна интервал составляет 11 лет: 1528 год н.э. для Юпитера и 1539 год н.э. для Сатурна. Как это и нужно было, по Птолемею, то есть ровно 11 лет.
"Античное" решение хуже найденных нами двух средневековых решений. Хронологи, исследовавшие Альмагест, не смогли удовлетворить данным самого Птолемея. Кроме того, ясно, что первостепенное значение хронологи придавали не соответствию описываемого Птолемеем наблюдения с современными расчетами и даже не годам, приписанным Птолемеем этим наблюдениям, а сомнительной интерпретации птолемеевских названий месяцев и тем астрономическим характеристикам, - долгота Солнца, момент наблюдения, долгота планеты и т.д., - которые вычислялись Птолемеем на основе неточной теории. Эти данные в любом случае не могут служить основанием для датировки самих этих наблюдений. В основу датировки следует положить те характеристики наблюдений, которые Птолемей цитирует, а не вычисляет, - то есть год покрытия звезды планетой и сам факт этого покрытия.
Наши расчеты покрытий звезд планетами, приведенные в предыдущем пункте, были основаны на астрономических формулах из справочника Г.Н.Дубошина [457]. При этом, в 1990 году, когда мы проводили эти расчеты, мы пользовались лишь средними элементами орбит. Которые в XIX-XX веках были определены с большой точностью, однако без учета периодических добавок дают несколько огрубленное положение планет. Отсутствие периодических добавок в наших расчетах накрытий планет ясно видно из планетных формул, которые мы приводили выше. Для целей, которые мы тогда ставили перед собой, такого расчета было вполне достаточно. В самом деле, из чисто геометрических соображений нетрудно понять, что найденное нами приближенное решение, по средним элементам, обладает достаточной устойчивостью. Поэтому точное решение можно получить из него, лишь несколько "пошевелив" даты.
Однако за последние годы вычислительные методы в планетной теории были значительно усовершенствованы. Различными коллективами астрономов, на основе различных подходов, были предложены формулы, которые дают близкие ответы даже для далеких от современности эпох. Конечно, это еще не доказательство надежности этих теорий для далеких эпох. Но, по крайней мере, - веский довод в пользу этой надежности. В целом, состояние вычислительной планетной теории на сегодняшний день несколько отличается от того состояния, которое было зафиксировано в книге Г.Н.Дубошина на [457] 1976 год.
Поэтому сегодня имеет смысл еще раз вернуться к задаче датировки накрытий звезд планетами, воспользовавшись на этот раз более современными, уточненными формулами, уже с учетом периодических возмущений. Такую проверку мы и сделали в 1997 году.
Для уточненных расчетов положений планет мы воспользовались известной компьютерной программой Turbo-Sky (TSKY), составленной в 1995 году астрономом А.Волынкиным (Астрономический институт имени Штернберга, Московский государственный университет). Программа позволяет также определить условия видимости тех или иных небесных светил по отношению к местному горизонту для произвольной точки земного шара, в зависимости от времени и места наблюдения. Поэтому с ее помощью можно проверить такие подробности описаний накрытий звезд планетами у Птолемея, как время дня - утро, на рассвете, вечером и т.п. В своих предыдущих, более грубых расчетах, мы эти подробности просто не рассматривали. Поскольку с точки зрения грубых формул это не имело смысла.
Начнем с того, что обсудим средневековое решение X-XI веков н.э. Оказывается, что уточнение этого, ранее обнаруженного нами астрономического решения, а именно,
Венера: 960 год н.э. Для "варианта с опечаткой" мы имеем: 888 год