Был только один такой год в XX веке: 1961.
Единственные цифры, которые не искажаются в зеркале, это 1, 0 и 8. Значит, искомый год может содержать в себе только такие цифры. Кроме того, мы знаем, что это один из годов XIX века, т. е. что его первые две цифры 18. Легко сообразить теперь, какой это год: 1818. В зеркале 1818 год превратится в 8181-й: это ровно в 4,5 раза больше, чем 1818:
1818 × 4,5 = 8181.
Других решений задача не имеет.
Ответ прост: 1 и 7. Других таких чисел нет.
Таких чисел сколько угодно:
3 и 1: 3 × 1 = 3; 3+1 = 4;
10 и 1: 10 × 1 = 10; 10+1 = 11,
и вообще всякая пара целых чисел, из которых одно — единица.
Это оттого, что от прибавления 1 число увеличивается, а от умножения на единицу — остается без перемены.
Числа эти 2 и 2. Других целых чисел с такими свойствами нет.
1, 2 и 3 дают при перемножении и при сложении одно и то же:
1 + 2 + 3 = 6;
1 × 2 × 3 = 6.
Те же пять тракторов! Ведь 5 тракторов засевают 1 гектар в 1 час; значит, 100 гектаров они засеют за 100 часов.
Таких чисел очень много. Например:
2:1 = 2;
2 × 1 = 2.
7:1 = 7;
7 × 1 = 7.
43: 1 = 43;
43 × 1 = 43.
Вот как это надо сделать (зачеркнутые цифры заменены нулями):
011
000
009
Действительно: 11 + 9 = 20.
Если вы делаете первый ход, вы должны взять
2 ореха, остается 9. Сколько бы ни взял после вас второй игрок, вы следующим ходом должны оставить на столе только 5 орехов; легко сообразить, что вы всегда можете это сделать. А сколько бы из этих пяти ни взял ваш противник, вы вслед за ним оставляете ему один орех — и выигрываете.
Если игру начинаете не вы, то ваш выигрыш зависит от того, знает ли противник секрет беспроигрышной игры или нет.
Задача имеет не одно, а три разных решения. Вот они:
123 + 4–5 -67 = 55;
1-2-3-4 + 56 + 7 = 55;
12 — 3 + 45 — 6 + 7 = 55.
Написать число 100 пятью единицами очень просто:
111-11.
5 × 5 × 5 — (5 × 5).
Это равно 100, потому что 125 — 25 = 100.
ЗЗ × З + 3/5 = 100.
22 + 2 + 2 + 2 = 28.
222/3 = 111.
1 =33/33 (есть и другие способы);
Мы привели здесь только по одному решению, но можно придумать и еще. Например, 8 можно составить не только так, как здесь показано, но еще и так:
Не умел считать торговец, Степка же сосчитал правильно. В самом деле: за первый час Степке причитался 1 орех, за 2-й — 2, за 3-й — 4, за 4-й — 8, за 5-й — 16, за 6-й — 32, за 7-й — 64, за 8-й —128, за 9-й — 256, за 10-й — 512.
Пока как будто не разорительно для торговца: все вместе составляет немного больше тысячи орехов. Но будем продолжать подсчет: за 11-й час Степке следовало 1024 ореха, за 12-й — 2048, за 13-й — 4096, за 14-й — 8192, за 15-й— 16384. Числа получаются изрядные; но какие же тут тысячи тачек? Однако погодите:
за 16-й час причитается 32 768,
«17-й ««65 536,
«18-й ««131 072,
«19-й ««262 144,
«20-й ««524 288.
Все вместе составляет уже больше миллиона орехов. Но сутки не кончены — остается еще 4 часа:
За 21-й час причитается 1 048 576,
«22-й ««2 097 152,
«23-й ««4 194 304,
«24-й ««8 388 608,
А если сложить все 24 числа вместе, то составится 16 777 215 — почти 17 миллионов орехов. Это и будет та тысяча тачек, о которой говорил Степка.
4 = 4 + 4 × (4–4);
8 = 4 + 4 + 4–4, или 4 × 4–4 — 4;