Почувствовав толчок в спину, Коля вскочил. За ним поднялся и Панкратов.
- Меня? - спросили они в один голос.
- Да, да, вас обоих, - повторил Ибрагимов. - Посмотрим, как вы усвоили третий признак равенства треугольников.
Гимназисты удивились: как же двое будут говорить одно и то же?
Мальчики подошли к доске и стали в разных концах.
Коля взял мел и, разломав его на два кусочка, протянул один Панкратову.
- Господин учитель, - спросил он, - что же мы одну теорему вдвоем будем доказывать? Я ведь смогу и сам, без помощи...
Ибрагимов нахмурился.
- Вам помогать никто не собирается. Расчертите мелом -доску пополам и запишите условие...
Мальчики записали.
- Так, - одобрил учитель. - Так, а теперь вы попробуйте каждый по-своему доказать ее, только чтобы в построении, а также в доказательстве теоремы всякий шаг ваш был обоснован.
Ученики еще больше удивились. Никогда еще такого не слышали, чтобы можно было доказать одну и ту же теорему по-разному.
Панкратов подумал-подумал и, вздохнув, бойко застучал мелом: на доске появились треугольники точно по учебнику и буквы те же самые.
Коля стоял, отвернувшись от написанного на доске, и продолжал вертеть в руках захваченные соломинки.
- Что же вы не приступаете, Лобачевский? - спросил его Ибрагимов. Доказательства не знаете?
- Знаю, - ответил Коля.
- Почему же не приступили к чертежу?
- А мне чертеж и ни к чему. Я так могу доказать вам, что если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны. Без чертежа. И даже без лишних слов.
По классу прошелестел шепот и затих, несколько мальчиков, того не замечая, даже привстали на скамейках. Черные глаза Ибрагимова блеснули.
- Доказывайте, - коротко сказал он.
Коля сжал губы, словно подтверждая этим, что не проронит ни слова. Щеки его вспыхнули. Он согнул три красные соломинки, пополам каждую, и, вставив их концами одна в другую, образовал треугольник. То же самое проделал с тремя некрашеными, золотистыми соломинками. Выдвигая и вдвигая концы соломинок, он добился, что стороны одного треугольника стали соответственно равны сторонам другого. Затем, высоко подняв оба треугольника, наложил их сторонами друг на друга так, что всем хорошо было видно: треугольники равны. Глаза его выжидающе смотрели на учителя.
- Прекрасно, прекрасно! - одобрил Ибрагимов. - Треугольники сделаны вами своеобразно и доказательство наложением весьма наглядно. Так и Евклид равенство фигур определял. Способ этот хорош. Садитесь.
Коля прошел на свое место и сел, положив треугольники на стол.
- Однако же, - продолжал Ибрагимов, обращаясь ко всему классу, - данный способ далеко не везде применим, например в землемерии, в домостроении. Потому и требуются иные способы судить о равенстве треугольников без наложения. Обратимся к доказательству Панкратова.
Истомившийся ожиданием, Панкратов живо повернулся к доске.
- Опишем из точек А и С треугольника ABC радиусами АВ и СВ дуги... начал он и, ни разу не споткнувшись, благополучно закончил доказательство.
- Хорошо, - похвалил и его Ибрагимов. - Но это мы знаем из учебников. А не придумаете ли сами, как еще можно доказать? Может, кто из класса возьмется?
Гимназисты переглянулись.
- Но разве существует еще третье доказательство? - спросил чей-то удивленный голос.
- Есть, - кивнул Ибрагимов. - Например, у того же Румовского. И даже более простое, изящное. А можно, если хорошо подумать, обнаружить и свое доказательство. Учение по учебнику - это проторенная дорога, на ней преодолевать неожиданные преграды не требуется. Однако намного достойнее научиться быть первооткрывателем. Хотя бы сначала в столь малом, как открытие нового доказательства для известной теоремы.
Коля, слушавший внимательно, уже несколько раз порывался поднять руку. Ибрагимов заметил это.
- Лобачевский, вы что-то хотите сказать?
Перебирая на столе свои разноцветные треугольники,
Коля поднялся.
- Господин учитель, вы только что говорили о поисках новых, самостоятельных доказательств. Но я не понимаю в этом смысла: ведь, кажется, достоверность нашей теоремы видна с первого взгляда, без доказательства.
Ибрагимов прошелся по классу, выжидая: не поднимутся ли еще руки. Нет, все молчали.
- Вас, молодой человек, - усмехнулся он, - голыми руками не возьмешь... Действительно, так: наглядность чертежа или модели геометрических фигур позволяет обнаружить некоторые их свойства. На таком непосредственном созерцании была основана геометрия древних египтян. Они пользовались ею для узкопрактических целей.
Сейчас на примере треугольников вы нам тоже остроумно представили подобный образец наглядности... Да вы садитесь!.. Но для установления более сложных геометрических свойств материальных тел природы такой способ уже не годится. Сомневаетесь?.. Тогда сейчас убедитесь в этом сами...
Урок превращался в интересную беседу. Лица мальчиков порозовели.
- Мы будем рассматривать сегодня, - продолжал Ибрагимов, - теорему о равенстве суммы внутренних углов треугольника двум прямым. Ее доказательство...
Коля, не дослушав, поднял руку.
- Ну что ж, говорите, Лобачевский.
- Господин учитель, ведь и здесь доказательство можно заменить одним словом "Смотрите!", - возразил Коля, Ученики замерли: неужели переспорит учителя?
Но Ибрагимов сказал спокойно:
- Вот, еще вам один Бехаскера Чарж нашелся. Ну, ну, выходите сюда. Убедите нас.
Коля направился к доске.
- Дай-ка, - на ходу попросил у гимназиста, сидевшего за первым столом, большой треугольник из толстой бумаги. Затем, оторвав с боков два уголка и приложив их слева и справа к верхнему так, что получился один развернутый угол, поднял их над головой. - Смотрите!
- Выше! - сказал Ибрагимов. - Поднимите выше.
Пусть видят все... Вам, понятно? - спросил он учеников, И те, перебивая друг друга, закричали: