144
Однако если предпосылка мыслится теперь в стольких смыслах, то [нам] предстоит сейчас исследовать, конечно же, не драматическую диспозицию накажет бог - и не те вопросы, которые ставятся у риторов, но ту предпосылку, о которой сказано в конце и которая является принципом доказательства. В этом виде и геометры принимают свою предпосылку, желая доказывать то или иное геометрически.
Вследствие этого сейчас же нужно сказать, что если принимающие что-либо на основе предпосылки без доказательства удовлетворяются для ее подтверждения только простым высказыванием, то можно спросить их о следующем, используя такого рода заключение. Именно, допущение чего-либо на основе предпосылки является или крепким и прочным в смысле достоверности, или недостоверным и бессильным. Но если оно крепко, то окажется достоверным и прочным также и принятое на основе предпосылки противоположное допущение, так что мы утвердим противоречивое. А если оказывается недостоверной предпосылка у того, кто принимает противоположное на основе [голой] предпосылки без доказательства, то недостоверной окажется она и здесь, так что мы не сможем утверждать ни того, ни другого из них. Следовательно, на основе предпосылки нельзя ничего принимать.
Далее, предпосылаемый предмет или истинен и таков, каким мы его предполагаем, или ложен. Но если он истинен, то незачем его постулировать путем прибегания к предмету весьма подозрительному, а именно к предпосылке, но мы принимаем его на основе его же самого, поскольку при помощи предпосылки никто не принимает истинного и существующего, как, например, того, что сейчас день или что я разговариваю и дышу. Ведь ясность этих предметов обладает уже сама собой прочным положением, а не той предпосылкой, которая [только еще] подвергается исследованию. Поэтому если предмет истинен, то мы уже не постулируем его так, как будто бы он не был истинным. Если же он не таков, но есть ложь, то из предпосылки не получится никакой пользы. Пусть мы будем его принимать в качестве предпосылки хотя бы бесчисленное множество раз, на гнилом фундаменте, как говорят, не получится никакого вывода из исследования, раз это последнее исходит из несуществующих принципов.
145
Впрочем, если считать достоверными выводы из всего, что бы ни допускалось в качестве предпосылки, то как бы этим не устранилось всякое вообще исследование. Пусть, например, каждый из нас предположит, что три равно четырем, и, допустивши это, сделает вывод, что и шесть равно восьми. Ведь если три равно четырем, то шесть будет равно восьми. Но как гласит предпосылка, три равно четырем. Следовательно, шесть равно восьми. Далее, пусть мы опять будем постулировать, что движущееся находится в покое, и, согласившись с этим предметом, сделаем вывод, что пламя неподвижно. Действительно, если движущееся находится в покое, то пламя неподвижно. Но движущееся именно находится в покое. Следовательно, пламя неподвижно. Однако как геометры назовут эти предпосылки нелепыми (ведь основание необходимо должно быть прочным, чтобы можно было согласиться и со следствием), так и мы не допустим без доказательства ничего из того, что у них принимается на основании предпосылок.
И - иначе. Если предпосылаемое прочно и достоверно [уже] тем самым, что оно предпосылается, то пусть они предпосылают не то, на основании чего они что-нибудь доказывают, но само это доказываемое, т.е. не посылки доказательства, но его вывод. Ведь какова сила предпосылки для [суждений], раскрывающих предметы, такова же должна она быть и для раскрываемых на основе данного доказательства предметов. Ведь если вывод из доказательства без самого доказательства является, несмотря на многократное полагание в виде предпосылки, недостоверным, то должно оказаться недостоверным и то, что допускается для его построения, если оно не преподано при помощи доказательства.
Но клянусь Зевсом, они говорят, что если вывод из предпосылок оказывается истинным, то обязательно должно оказаться истинным и предпосылаемое, т.е. то, из чего произведен вывод. Однако это в свою очередь глупо. Ведь на основании чего именно [надо заключать], что следующее из некоторых моментов доказательства является обязательно истинным? Они это могут утверждать или на основании самой [доказанной вещи], или на
146
основании тех посылок, из которых сделан вывод. Но на основании самой вещи этого нельзя сказать, потому что она неясна, а неясное на основании самого себя не является достоверным; во всяком случае они принимаются доказывать ее как то, что в самом себе не обладает достоверностью. Но это неочевидно и на основании посылок, поскольку о них-то и происходит весь спор. Если они еще не обладают достоверностью, то не может быть прочным и то, что на их основании доказывается. Также если последующее истинно, то это еще далеко не значит, что таково же и предыдущее. Ведь как из истин-ного обычно вытекает истинное и изо лжи - ложь, так же считается необходимым, чтобы изо лжи выводилось истинное, вроде того, например, как из суждения "земля летает", хотя оно и ложно, следует суждение "земля существует", которое истинно. Вследствие этого если последующее истинно, то это далеко еще не значит, что истинно предыдущее, но при истинности последующего предыдущее может быть ложью.
Этим достаточно доказано, что ученые, принимающие принципы доказательства и каждой теоремы на основании предпосылки, приговаривая это свое "пусть будет дано", поступают нехорошо.
[2. ПЛАН ДАЛЬНЕЙШЕГО ИССЛЕДОВАНИЯ]
Если же перейти к дальнейшему, то мы выставим учение, что [самые] принципы их науки оказываются ложными и неубедительными. И поскольку об этом можно было бы, очевидно, сказать многое, как мы говорили в начале нашего рассуждения, то должно быть приведено к апории то, с устранением чего устранится одновременно и прочее. Поэтому если после дискредитирования принципов уже не могут двинуться с места и отдельные доказательства, то мы выскажем то, что относится к этим принципам.
Итак, если перейти прямо к делу, они поучают нас как чему-то первичному и элементарному, что тело есть то, что обладает тремя изменениями: длиной, шириной и глубиной [5]. Первое измерение из этих есть измерение по длине сверху вниз, второе - по ширине справа налево и третье - по глубине спереди назад. Поэтому при трех измерениях получается шесть направлений, два по каждому: по первому - вверх и вниз, по второму - налево и направо и по третьему - вперед и назад.
147
Они, кроме того, утверждают, что из движения точки возникает линия, из движения линии - поверхность и из движения поверхности - твердое тело. В связи с этим они, употребляя общее описание, говорят, что точка есть знак, не содержащий никаких частей и промежутков, или граница линии, линия - длина без ширины, или граница поверхности, поверхность же - граница тела, или ширина без глубины. Рассуждая по порядку, мы скажем сначала о точке, потом о линии, а после этого о поверхности и теле. Ведь с устранением этого и геометрия перестанет быть наукой, раз она не обладает тем, от чего зависит успех ее построения.
[3. ТОЧКА]
Итак, точка, которую они называют знаком, не содержащим никаких промежутков, мыслится или в качестве тела, или в качестве бестелесного [6]. Но телом она у них не может быть, поскольку то, что не имеет протяжения, не есть тело. Следовательно, остается, чтобы она была бестелесной. А это опять неубедительно. Ведь бестелесное не мыслится способным что-нибудь порождать, будучи как бы тем, к чему нельзя и прикоснуться. А точка мыслится способной порождать линию. Следовательно, точка не есть знак, не содержащий никаких промежутков.
Далее, если явление есть видение неочевидного [7], то, поскольку в области явлений невозможно воспринять точки и границы чего-нибудь, не имеющей размеров, ясно, что подобное не может быть допущено и в области мыслимого. Но, как я установлю, в области чувственного ничего нельзя воспринять без размеров. Поэтому нельзя [найти этого] и в области мыслимого. Действительно, все наблюдаемое в области чувственного как граница чего-нибудь и точка воспринимается вместе с тем и в качестве крайней точки чего-нибудь, и в качестве части того, чего она является крайней точкой. Если мы, например, отнимаем ее, то должно уменьшиться и то, от чего произошло отнятие. Но то, что является частью чего-нибудь, тем самым оказывается способным и восполнять его. А то, что способно восполнять что-нибудь, во всяком случае должно увеличивать его размер. И то, что способно увеличивать размер, то по необходимости
148
само обладает размером. Следовательно, всякая точка и крайний предел чего-нибудь в области чувственного, обладая известным размером, не является лишенным размеров. Вследствие этого если мы даже и мыслим предмет мысли на основании перехода от чувственного, то мы должны мыслить его вместе с тем и в качестве точки и предела линии, а вместе с этим и в качестве того, что способно его заполнять. Поэтому и оно обязательно должно обладать протяжением, будучи способно создавать протяжение.
И иначе. Они утверждают, что исходящая из центра прямая образует на плоскости круг вращением одного из своих концов. Это значит, что если конец данной прямой есть точка и если эта последняя в результате вращения отмеривает окружность, то она должна быть тем, что заполняет эту окружность. Но эта окружность во всяком случае обладает протяжением. Следовательно, и способная заполнить ее точка тоже должна обладать каким-то протяжением.
Далее, шар, как считают, касается плоскости в одной точке; и когда он катится, то он образует линию. Ясно, что линия образуется благодаря ниспадению точек, составляющих всю ее. Следовательно, если точка способна заполнить величину линии, то она и сама должна обладать величиной. Однако признано, что она есть то, что способно заполнить величину линии. Следовательно, она должна обладать и величиной и не быть лишенной размеров.
Однако Эратосфен [8], возражая против подобных аргументов, по своему обыкновению говорит, что точка не занимает никакого места и не отмеривает никаких отрезков линии, но что она создает линию своим движением. Этого, однако, невозможно себе представить. Ведь движение мыслится относительно того, что простирается от одного какого-нибудь места к какому-нибудь другому. Такова, например, вода. Если же мы будем представлять себе точку чем-то вроде этого, то получится, что она не может быть лишенной всяких частей, но что, наоборот, она обладает многими частями.
[4. ЛИНИЯ]
Вот что [можно сказать] о точке. Рассмотрим далее и то, что должно быть сказано о линии [9], поскольку она помещается после точки.
149
Итак, даже если согласиться, что какая-то точка существует, [все равно] линия не может существовать. Действительно, если она есть движение точки и длина без ширины, то она является или одной точкой, протянутой в длину, или многими точками, расположенными на известных расстояниях в виде ряда. Однако, как мы установим, она не есть одна точка, протянутая в длину, и, как мы укажем и на это, она не есть и множество точек, расположенных в виде ряда. Следовательно, линии не существует.
Действительно, если она есть одна точка, то сама эта точка или занимает только одно место, или передвигается с места на место, или протягивается с какого-нибудь одного места к какому-нибудь другому. Но если она заключена внутри одного места, то она будет не линией, но точкой, поскольку линия мыслится в движении. Если же она будет переходить с места на место, то она или переходит, как я выше сказал, оставляя одно место и занимая другое или держась за одно место и протягиваясь к другому. Но если она оставляет одно место и занимает другое, то она опять будет не линией, а точкой. Ведь на каком основании то, что занимает первое место, мыслится в качестве точки, а не линии, на том же основании и занимающее второе место должно мыслиться в качестве точки. А если она держится за одно место и протягивается к другому, то она протягивается или соответственно делимому месту, или неделимому. И если она протягивается по неделимому месту, то она опять будет не линией, а точкой, поскольку то, что занимает не содержащее частей место, и само не содержит таковых" а то, что не содержит частей, является точкой, а не линией. Если же [точка протягивается] по делимому [месту], то, поскольку делимое обязательно имеет части (раз оно протягивается по всему данному месту), а то, что имеет части, благодаря которым оно протягивается по частям данного места, есть тело, отсюда точка должна быть делимой и телом. А это нелепо. Поэтому линия не есть одна точка.
Однако она не есть и множество точек, расположенных в виде ряда. Действительно, эти точки мыслятся или взаимно соприкасающимися, или несоприкасающимися. И если они взаимно не соприкасаются, то, содержа в себе промежутки, она разделится на некоторые отрезки, а то, что разделяется на отрезки, уже не может создать единую
150
линию. Если же их мыслить взаимно соприкасающимися, то или все они будут касаться друг друга целиком, или же [каждая] своей частью - части [другой]. И если они будут касаться своими частями частей же, то они уже не будут лишены промежутков и не будут лишены частей. Ведь точка, которая мыслится, например, между двумя точками, одной своей частью будет касаться предыдущей точки, а другой своей частью - последующей, да и плоскости - тоже иной какой-то частью, а еще каких-либо мест - иными, так что в действительности она уже не будет лишенной частей, но будет обладать многими частями. Если же точки будут касаться друг друга целиком, то ясно, что точки будут содержаться внутри точек и будут занимать то же самое место. А в силу этого они уже не будут лежать в виде ряда, чтобы получалась линия, но раз они занимают одно и то же место, получится одна точка. Поэтому если, чтобы мыслить линию, нужно прежде помыслить точку, в понятии которой заключена линия, но показано, что линия не есть точка и не состоит из точек, то значит, ее и не будет.
Более того, оставив в покое понятие точки, можно и прямо устранить линию и показать ее немыслимость.
Действительно, линия, как можно слышать от самих геометров, есть длина без ширины. Подвергнувши это точному рассмотрению, мы найдем, что ни в мыслимом, ни в чувственном нельзя допустить никакой длины без ширины. И в чувственном потому, что, какую бы чувственную длину мы ни взяли, мы везде и обязательно возьмем ее вместе с определенной шириной. В мыслимом же потому, что мы можем мыслить одну длину более узкой, чем другая, и когда, сохраняя одну и ту же длину одинаковой, мы будем делить в мысли ее ширину и будем делать то же самое до известного момента, то мы должны будем мыслить, что ширина становится все меньше и меньше, а когда представим себе, что длина совсем лишилась ширины, то мы не сможем представить себе уже и длины, но исчезнет и само понятие длины.
И вообще, все мыслимое мыслится двумя первыми способами: или как очевидное впечатление, или в результате перехода от очевидного; и это последнее - трояко: по уподоблению, по соединению [разнородных впечатлений] и по аналогии [10]. В результате фактической очевидности мыслится белое, черное, сладкое и горькое. В результате перехода от очевидного мыслится: уподо
151
бительно, например, по изображению Сократа сам Сократ; соединительно, например, по лошади и человеку гиппокентавр (потому что путем смешения лошадиных и человеческих черт мы представляем себе не человека и не лошадь, но составленного из них обоих гиппокентавра). Аналогистически же нечто мыслится опять двумя способами: либо увеличительно, либо уменьшительно. Например, если иметь в виду людей вообще, "тех, что смертные ныне", то увеличительно мы мыслим киклопа, который не сходен
...был с человеком, вкушающим хлеб, и казался лесистой,
Дикой вершиной горы [11],
уменьшительно же - пигмея, которого мы чувственно не воспринимаем.
При стольких способах мышления если мыслится длина без ширины, то, очевидно, она должна необходимо мыслиться или в результате очевидного чувственного впечатления, или в результате перехода от очевидного. Однако в результате очевидного впечатления она не может мыслиться, поскольку мы не встречаем никакой длины без ширины. Остается, следовательно, утверждать, что она находится в мысли в результате перехода от очевидного. Но это в свою очередь относится к самому невозможному. Действительно, если бы она так мыслилась, то она мыслилась бы обязательно или по уподоблению, или по соединению, или по аналогии. Но, как мы установим, она не может появиться в мысли ни одним из этих способов. Следовательно, никакая длина без ширины не мыслится.
Действительно, мыслить какую-нибудь длину без ширины по уподоблению было бы невозможно. Ведь у нас нет никакой мыслимой длины без ширины в области явлений, чтобы мы могли подобно ей мыслить какую-нибудь длину без ширины. Ведь подобное чему-нибудь обязательно подобно познаваемому, а подобного непознаваемому невозможно и найти. Поэтому если мы не имеем такой длины без ширины, которая встречалась бы нам очевидным образом, то мы не сможем мыслить и что-нибудь ей подобное.
Далее, для геометров невозможно вывести понятие о ней и в результате соединения. В самом деле, пусть они скажут нам, соединяя что именно из познаваемого в качестве фактически очевидного и с чем именно, мы можем мыслить длину без ширины, подобно тому как раньше мы представляли гиппокентавра, создавая его из человека и лошади.
152
Им остается, следовательно, прибегнуть к понятию, полученному по способу аналогистического увеличения или уменьшения, что в свою очередь явно ведет к апории. Ведь то, что мыслится по аналогии, содержит в себе нечто общее с тем, в отношении чего оно мыслится, как, например, в отношении величины человека вообще мы мыслили увеличительно киклопа и уменьшительно пигмея, так что существует нечто общее у того, что мыслится по аналогии, с тем, в отношении чего оно мыслится. Однако мы не имеем ничего общего в мышлении длины без ширины и длины с шириной, чтобы, отправляясь от последнего, мы могли бы помыслить длину без ширины. Если же мы не имеем ничего общего для них, то мы не будем в состоянии создать мышление длины без ширины и по аналогии.
Вследствие этого если всякий мыслимый предмет мыслится указанными способами, а показано, что длина без ширины не мыслится никаким из этих способов, то длина без ширины совершенно ускользает от всякой мысли.
Однако даже на такие очевидные аргументы геометры, набираясь по возможности храбрости, говорят, что длина без ширины мыслится "по усилению свойства" [12]. Именно, взявши какую-нибудь длину с определенной шириной, они утверждают, что эта ширина с усилением ее свойства быть узкой уменьшается; так что, если ширина будет все более и более сужаться, то когда-нибудь достигнет одной длины без ширины в конце такого усиления, а тем самым и мы придем к искомому понятию.
Однако, скажет кто-нибудь, мы ведь показали, что совершенное отнятие ширины есть уничтожение и длины [13]. Затем, то, что мыслится по усилению свойства, ничем не отличается от исходно данного понятия, но является им же самим, только в усиленном смысле. Поэтому если мы хотим что-нибудь мыслить "по усилению свойства" узости, исходя из определенной ширины, то мы никоим образом не мыслили бы длины вполне без ширины (поскольку это относится уже к другому роду), по мы воспримем некую узкую ширину, так что получится остановка мысли на очень малой ширине, однако все-таки на ширине. А после этого возникнет направленность мысли на предмет другого рода, т. 0. на то, что не есть ни длина, ни ширина.
153