среднее геометрическое = sqrt(AB)
Что, верно?
- Верно.
- Но какое отношение все это имеет к среднему гармоническому?
- Самое прямое, - сказал я. - Потому что среднее гармоническое так относится к среднему геометрическому, как среднее геометрическое к среднему арифметическому.
- Давайте запишем и это, - предложил президент.
- Запишем, - согласился я и написал на бумажке:
среднее гармоническоесреднее геометрическое
- ----- - = - ------.
среднее геометрическое среднее арифметическое
А если подставить сюда уже известные нам буквенные выражения, пропорция эта будет выглядеть так:
среднее гармоническое sqrt(AB)
- ----- - = - --.
sqrt(AB) (A+B)/2
Отсюда
sqrt(AB)*sqrt(AB)2AB
среднее гармоническое = - ---- - = - -.
(A+B)/2A+B
- Ага! - обрадовался Нулик. - Теперь подставим сюда цены скрипки и контрабаса. Допустим, цена скрипки - A. Подставляем, стало быть, 8. Цена контрабаса - B. Подставляем 18. Тогда
среднее гармоническое = 2*8*18/(8+18)
Теперь все это взбалтываем, смешиваем и получаем 144/13, или 11(1/13).
- Ну вот, - облегченно вздохнул Сева. - Их президентское высочество ублаготворены: леопарды и ягуары сошлись.
- По-моему, - вставил Олег, - надо еще обратить внимание на то, что из всех трех средних самое большое - среднее арифметическое, а самое маленькое среднее гармоническое.
Нулик поднял светлые бровки.
- Всегда?
- Нет, не всегда, а только в том случае, если числа A и B не равны между собой.
- А если равны?
- Ну, тогда все три средних тоже равны между собой.
- Все это хорошо, - важно сказал президент, - но не кажется вам, что разговор у нас какой-то чудной? Сперва говорили про музыку, потом про Пифагора, а потом забыли и про то, и про другое.
- Ничего мы не забыли, - возразил я. - Теперь мы выяснили наконец, что такое среднее гармоническое, и потому можем вернуться к вопросу о связи математики с музыкой. Стало быть, и к Пифагору, который много занимался гармонией. А гармония для Пифагора была понятием широким. Он искал ее и в геометрии, и в арифметике, и в движении небесных тел, и в музыке. И находил во всех этих областях науки общие законы гармонии. Пифагор создал целое учение о гармонии и главную роль в этом учении отводил числам. Особое значение придавал он первым четырем числам натурального ряда - 1, 2, 3 и 4. По его мнению, эти числа лежат в основе всякой гармонии...
- Вот уж не нахожу, - перебил Нулик. - Четыре - еще куда ни шло, но тройка, тем более - двойка... Ничего в них хорошего нет! Так, по крайней мере, говорит моя мама, когда я показываю ей свой школьный дневник.
- Ну, мама, очевидно, подразумевает совсем другое, - улыбнулся я, - а Пифагор считал эти числа фундаментом мировой гармонии. Он пристально изучал их отношения, или, лучше сказать, соотношения, и очень неожиданно применил их в музыке.
- Что ж такое он сделал? - спросил президент, весьма заинтригованный.
- Да на первый взгляд ничего особенного: взял обыкновенную струну и натянул ее на доску.
- Это и я могу! - отозвался президент. - Струну можно снять со скрипки, а доску добыть - дело нехитрое.
- Нет, скрипку разорять ни к чему, - быстро сказал Сева, к великому разочарованию президента, обожавшего все разбирать и развинчивать. - Скрипка это ведь, собственно, и есть дощечка с натянутыми на нее струнами.
- Отлично! - согласился я. - Возьмем скрипку и познакомимся с изобретением Пифагора на личном опыте. Вот струна. Ущипни-ка ее, Нулик.
Президент выполнил мою просьбу с удовольствием. - А теперь прижми струну к грифу точно посередине и ущипни ее еще разок... Слышишь? Этот звук получился гораздо тоньше первого, или, как говорят музыканты, выше.
- Слышу! - подтвердил президент, не переставая терзать бедную струну.
- Так вот, разность этих высот, или, как говорят, интервал между ними, принято называть октавой. И получилась октава оттого, что струну разделили в отношении 2:1. Теперь разделим струну на три части и прижмем на расстоянии двух третей. Ну-ка, что там у нас получилось?
- Получился звук хоть и повыше, чем тогда, когда дергали целую струну, зато чуть пониже, чем когда разделили струну на две части.
- Правильно. Звук при этом получается выше не на октаву, а на так называемую квинту. И происходит это тогда, когда струну делят в отношении 3:2. А теперь разделим струну в отношении 4:3. Попросту прижмем ее на расстоянии трех четвертей. Что получилось? Получился звук еще чуть ниже, чем тогда, когда мы ущипнули две трети струны. Этот интервал между высотой звучания всей струны и высотой звучания трех ее четвертей называется квартой.
- Ишь ты, сколько интересного мы сегодня узнали, - сказал Нулик, загибая пальцы, - октава, квинта, кварта...
- Попробуем узнать и еще кое-что. Вычислим, во сколько раз октава больше кварты.
- Вычислим, - повторил Нулик. - Вычтем из двух...
- Нет, - остановил я его, - тут надо сделать другое. Надо найти, во сколько раз отношение 2:1 больше отношения 4:3.
- Ну это просто. Надо разделить 2/1 на 4/3:
2/1 : 4/3 = 6/4.
А это все равно, что 3/2...