Нулик растерянно молчал.
- Подумай. Ведь мы об этом только что говорили!
- Ой! - просиял президент. - Как же я забыл! Ведь это квинта! Квинта, которая получается, когда струну делят в отношении 3:2.
- Верно, - сказал я. - Но что из этого следует?
- Из этого следует, - догадался Олег, - что октава состоит из квинты и кварты.
Нулик завистливо вздохнул.
- Удивительный человек Пифагор! Какие названия выдумал - квинта, кварта...
- Ну, положим, названия эти появились гораздо позже.
- Когда?
- Много будешь знать - скоро состаришься. Раз ты такой любопытный, попытайся лучше выяснить, во сколько раз квинта больше кварты.
Президент засучил рукава.
- С удовольствием! - И написал на клочке бумаги:
3/2 : 4/3 = 9/8.
Верно?
- Верно. Заодно не мешает сказать, что интервал, равный девяти восьмым, условились считать за один музыкальный тон.
На сей раз Нулика мое сообщение совершенно не обрадовало.
- Квинты, кварты! - проворчал он, пожимая плечами. - А где же все-таки среднее гармоническое?
- К нему-то мы и подошли. Дело в том, что, кроме чисел 1, 2, 3 и 4, Пифагору приглянулась еще одна четверка чисел: 6, 8, 9 и 12. Они полюбились ему уже хотя бы потому, что отношение 12:6 равно отношению 2:1 и дает октаву; отношение 12:8 равно отношению 3:2 и дает квинту; а отношение 12:9 равно отношению 4:3 и дает кварту. Пифагор обратил внимание также на средние числа этой великолепной четверки - 8 и 9. Здесь интересно вспомнить, что отношение 9:8 соответствует одному тону...
- Но что замечательного нашел Пифагор в этих числах? - спросил Сева.
- Во-первых, девять - это среднее арифметическое шести и двенадцати, то есть крайних чисел этой четверки:
(6+12)/2 = 9.
- А восемь?
- А восемь, - неожиданно сказал Олег, - восемь - это их среднее гармоническое. Вот смотрите:
2*6*12/(6+12) = 8.
- Наконец-то! - закричал президент и на радостях снова задудел на своей гребенке, после чего стало совершенно ясно, что с музыкой на сегодня необходимо покончить.
Объявили перерыв. Все потянулись к бутербродам, разложенным на большом блюде. Но вот когда они были съедены и мы уже готовились приступить ко второй части нашего заседания, Олег внес в комнату красивую суповую вазу, покрытую, как полагается, специальной крышкой. Президент так и замер.
- Неужели это оно? - спросил он с робкой надеждой в голосе.
- Не оно, а он, - поправил Олег.
Нулик благоговейно приблизился к столу и осторожно поднял замысловатый фарфоровый купол. В лицо ему дохнул запахом ванили густой молочный кисель. Президент издал победный клич и хотел уже запустить в него ложку, но Таня тут же ее отняла.
- Сперва надо подобрать подходящее ведерко, не то не едать нам киселя.
- Ну, тогда подберем его поскорее! - волновался Нулик. - Кто просит слова?
- Кто же еще? Разумеется, ты, - засмеялся Сева.
- Ошибаешься - я киселя прошу! А слова просит... - Нулик обвел глазами присутствующих, стараясь отгадать, кто решит задачу без проволочек.
- Слова прошу я! - сказала Таня. - Предлагается вычислить радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник. При этом известно только то, что гипотенуза равна 13 дециметрам, а сумма обоих катетов - 17 дециметрам.
Таня вычертила на бумажке прямоугольный треугольник и обозначила его стороны буквами a, b и c.
- Нет, нет! - запротестовал Нулик. - Так не годится. Твоя гипотенуза сразу видно - меньше 13 дециметров, да и катеты тоже...
- Числа тут ни при чем, - отмахнулась Таня. - Вычислить радиус вписанного круга можно при любых данных.
- С той оговоркой, что сумма катетов всегда больше гипотенузы, - тихо подсказал Олег.
- Конечно, - кивнула Таня. - Итак, вписываю в прямоугольный треугольник круг. Пусть его радиус равен r.
- Раз числа ни при чем, пусть будет r, - согласился Нулик.
Таня провела три радиуса в точки касания круга со сторонами треугольника.
- Прежде чем решать задачу, - сказала она, - заметьте, что точки касания делят стороны треугольника на две части. Кроме того, очень важно вспомнить, что радиус, проведенный в точку касания, всегда перпендикулярен касательной. Стало быть, после того как мы провели радиусы в точки касания, при вершине прямого угла у нас образовался квадрат. А у квадрата все стороны между собой равны. Отсюда следует, что катет a разделился на части r и a-r, а катет b - на части r и b-r. Остается выяснить немногое: на какие части точка касания разделила гипотенузу. Кто хочет высказаться?
Сева почтительно привстал.
- Позвольте мне, профессор. Надеюсь, всем известно, что касательные к кругу, проведенные из одной точки, равны между собой?
- Всем известно! - буркнул Нулик, нетерпеливо барабаня пальцами по столу. - Только для чего это надо?
- А для того, что отсюда сразу ясно: гипотенуза разделилась в точке касания на отрезки a-r и b-r. Теперь мы можем сказать, что гипотенуза равна сумме двух отрезков: a-r и b-r, то есть c=a-r+b-r. А уж отсюда ничего не стоит вывести, что диаметр круга равен сумме катетов минус гипотенуза, то есть
2r = a+b-c.
- Как просто! - захихикал Нулик. - Но все-таки проверим. Значит, c у нас равно 13, а (a+b) равно 17. Тогда 2r=17-13, то есть 4 дециметрам. А ну, налейте-ка мне тарелочку молочного киселя...
Когда тарелки опустели, президент сказал, довольно потирая руки: