Только Олег позвонил в колокольчик и открыл заседание словами: "Итак, вернемся к нашим баранам!", как президент, хрипя и давясь, заявил, что не позволит оскорблять Магистра и Единичку.
- Действительно неудобно как-то, - поддержала его Таня. - Ну при чем тут бараны? Помнится, Магистр сам сказал что-то такое. Но относилось это к губернатору...
- Да не к губернатору оно относилось, - возразил Сева. - "Вернемся к нашим баранам" говорят тогда, когда хотят вернуться к существу дела.
- Объяснение точное, - подтвердил я. - Остается выяснить, откуда пошло это иносказательное выражение.
- Понятия не имею, - честно признался Сева.
- Беда поправимая, - сказал я. - Есть такая веселая французская пьеска "Адвокат Патлен". Появилась она давным-давно, в шестнадцатом веке. Действие происходит в суде. Слушается дело о баранах. Хитрый адвокат Патлен все время старается запутать ясный вопрос и отвлечь от него внимание судьи. А замороченный судья то и дело восклицает: "Вернемся же к нашим баранам!"
- Забавная, наверное, сценка! Интересно, кто ее написал?
- То-то и дело, что автор неизвестен.
- Автор неизвестен, автора давным-давно нет, а бараны его все живут, философствовал Нулик.
- По этому случаю вернемся наконец к нашим баранам, - предложил я. Первым долгом обсудим вопрос Единички: чего больше - натуральных чисел или их квадратов?
- Но Единичка уже ответила на него! - возразила Таня. - И Магистру вряд ли удастся ее опровергнуть.
- Между прочим, - напомнил Олег, - этим вопросом мы уже занимались. В прошлом году, когда говорили о множествах...
- А ведь верно! - сказала Таня. - Вопрос Единички и в самом деле касается множеств...
- Притом бесконечных множеств, - уточнил Сева. - И Единичка, конечно же, права: раз каждое число натурального ряда можно возвести в квадрат, значит, квадратов существует ровно столько, сколько натуральных чисел, то есть бесконечное множество.
- Надо сказать, Единичка доказала это очень простым способом, - вмешался я. - Над каждым квадратом она надписала его порядковый номер, то есть попросту пересчитала их. Недаром множества, которые можно перенумеровать, называются счетными.
- А разве есть множества, которые пересчитать нельзя? - спросил Нулик.
- Конечно. Вот, например, множество точек на отрезке прямой. Оно несчетное, хотя количество точек на любых отрезках прямой всегда одинаково.
- Как же так? - прошептал Нулик, окончательно потеряв голос от изумления.
- Вот так. Где, по-твоему, точек больше: на средней линии треугольника или на его основании?
- Что за вопрос! - фыркнул Нулик. - Конечно, на основании! Ведь оно вдвое длиннее средней линии.
- Не угадал. Пусть средняя линия вдвое меньше основания, а точек и тут и там совершенно одинаковое множество.
Я нарисовал треугольник, начертил его среднюю линию и провел из вершины с десяток лучей, которые пересекли и среднюю линию и основание.
- Как видишь, каждый луч, пересекающий среднюю линию, непременно пересечет и основание треугольника. Таких лучей я могу провести сколько угодно через любую точку средней линии. А раз так, значит, любой точке средней линии непременно соответствует какая-нибудь точка основания. Стало быть, множество точек и тут и там одинаково. Вот что бывает, когда имеешь дело с бесконечными несчетными множествами. Здесь сплошь да рядом часть равна целому.
- Ну и фокус! - выдохнул Сева.
- В бесконечности такие фокусы - дело обычное.
- Да, с бесконечностью лучше не связываться, - сказал Нулик. - И вообще пора нам отправляться на индульгенцию к вице-губернатору.
- А может, все-таки на аудиенцию? - подмигнул Сева.
- Все остришь, да зря, - остановила его Таня. - Он ни того, ни другого не знает.
- Ничего, сейчас мы его просветим. Индульгенция, дорогой президент, слово латинское. В прямом значении это милость, а вообще-то так называется у католиков церковная грамота об отпущении грехов. Вот, например, натворил ты что-нибудь и хочешь искупить свою вину. Ступай к священнику да не забудь денег прихватить - и отпущение тебе обеспечено.
- А если денег у меня нет?
- Нет, так и ходи непрощенный.
- Ну и ладно! - неожиданно рассвирепел Нулик. - Не надо мне такой индульгенции!
- Мне тоже, - серьезно согласился Олег. - Откупаться от грехов деньгами, это не для нас с тобой! Правда, Нулик? Мы люди порядочные. Махнем-ка лучше на прием, то бишь на аудиенцию к губернатору, и займемся задачей о золотом полукруге.
Но президента, видимо, такая перспектива не слишком устраивала. Он вдруг безмолвно замотал головой, указывая пальцем на свое горло.
- А еще порядочный человек! - потешалась Таня. - Спорить у него голоса хватает, а как надо задачу решать - так нет его!
Она взяла циркуль, линейку, вычертила на бумаге полукруг и сделала на нем две отметки: одну посередине диаметра, другую посередине полуокружности.
- Явное нарушение! - не выдержал президент. - Во-первых, решать задачу с помощью линейки по условию нельзя, а во-вторых, полукруг должен быть золотой.
- Во-первых, - весело передразнила Таня, - обойдешься и нарисованным полукругом. Во-вторых, к решению я еще только приступаю. Значит, так. Требуется отделить от полукруга часть, равновеликую квадрату, сторона которого равна радиусу полукруга.
- А это и есть квадратура круга! - запрыгал на одной ножке Нулик.
- Так думает Магистр, - возразила Таня. - И он, как всегда, неправ. В задаче о квадратуре круга требуется заменить равновеликим квадратом весь круг. Мы же должны заменить квадратом всего лишь часть круга.
- Все равно, - не унимался президент, - значит, это частичная квадратура круга.
- Скорее, наоборот, - поправил я, - не частичная квадратура, а квадратура части круга. И если полный круг заменить равновеликим квадратом немыслимо, то хитро выделенную часть круга в квадрат превратить можно. Это и собирается доказать нам Таня.
Таня отмерила циркулем расстояние от конца диаметра до его середины.
- Все видят, что расстояние между ножками циркуля равно радиусу полукруга? - спросила она.
- Все видят, - сказал Нулик.
Тогда Таня воткнула иглу циркуля в левый конец диаметра и, повернув циркуль против хода часовой стрелки, засекла карандашом небольшую дугу. Потом она вставила иголку в середину полуокружности и тем же радиусом засекла другую дугу, которая пересеклась с первой.
- Теперь смотрите внимательно, - сказала Таня. - Из точки пересечения этих двух дужек тем же раствором циркуля, то есть радиусом полукруга, провожу внутри нашего полукруга дугу. Эта дуга начинается из левого конца диаметра и доходит до середины полуокружности. Таким образом, полукруг разделился на две неравные части, и площадь большей из этих двух частей равна r^2, то есть равновелика квадрату со стороной, равной радиусу... Пожалей свое горло, Нулик! Я и так знаю, что ты хочешь сказать, и потому прямо перехожу к доказательству.
Таня соединила концы диаметра с серединой полуокружности. Получился равнобедренный треугольник.
- Доказать, что боковая сторона треугольника разделила меньшую часть полукруга на два равновеликих сегмента, нетрудно. Потому пусть каждый сделает это сам. А теперь посмотрите сюда, на эти три сегмента. Все они образованы боковыми сторонами треугольника, которые одновременно и хорды полукруга. Стало быть, площади этих трех сегментов равны между собой. А раз они равны, значит, треугольник и большая часть полукруга тоже равновелики. Ведь сегмент, отнятый от треугольника слева, прибавляется к этому треугольнику справа! А так как площадь треугольника равна r^2 (ведь основание у него 2r, высота r, а 2r*(1/2)r=r^2), то значит, и площадь искомой нами части полукруга тоже равна r^2.